初中数学几何模型大全+经典题型

1、中学数学几何模型大全 全等变换+ 经典题型（含答案）平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等；两边进行边或者角的等量代换,产生联系；垂直 也可以做为轴进行对称全等；第 1 页 共 44 页对称半角模型说明：上图依次是 45 、30 、22.5 、15 及有一个角是 30 直角三角形的对称（翻折）,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等；旋转全等模型半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段,直

2、接查找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题第 2 页 共 44 页旋转半角模型说明：旋转半角的特点是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等；自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度,造等边三角形遇 90 度旋 90 度,造等腰直角第 3 页 共 44 页遇等腰旋顶点,造旋转全等 遇中点旋 180 度,造中心对称第 4 页 共 44 页共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容；通过“8” 字模型可以证明；模型变形第 5 页 共 44 页说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变

3、 化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用；第 6 页 共 44 页当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点, 围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等；中点旋转：说明：两个正方形、 两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形；证明方法是倍长所要证等腰直 角三角形的始终角边, 转化成要证明的等腰直角三角形和已知的 等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点,通过证明旋转全等 三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证；第 7 页 共 44 页几何最值模型 对称最值 两点

4、间线段最短 对称最值 点到直线垂线段最短 第 8 页 共 44 页说明：通过对称进行等量代换,离；旋转最值 共线有最值 转换成两点间距离及点到直线距说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值；剪拼模型第 9 页 共 44 页三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的 状；180 度旋转及平移转变图形的形第 10 页 共 44 页矩形正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长,状转变通过平移与旋转完成形第 11 页 共 44 页正方形 + 等腰直角三角形正方形面积等分旋转相像模型第 12 页 共 44 页说明：两个等腰直角三角形成旋转全等,

5、两个有一个角是 300角的直角三角形成旋转相像；推广：两个任意相像三角形旋转成确定角度,成旋转相像；第三边所成夹角符合旋转“8” 字的规律；相像模型第 13 页 共 44 页说明：留意边和角的对应, 相等线段或者相等比值在证明相像中 起到通过等量代换来构造相像三角形的作用；说明：（ 1）三垂直到一线三等角的演化,三等角以 30 度、 45 度、 60 度形式显现的居多；（2）内外角平分线定理到射影定理的演化,留意之间的相同与 不同之处；另外,相像、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆第 14 页 共 44 页幂定理）之间的比值可以转换成乘积,通过等线段、等比值、等 乘积进行代换,进行证明得到需要

6、的结论；说明：相像证明中最常用的帮忙线是做平行,者结论的比值来做相应的平行线；第 15 页 共 44 页依据题目的条件或第 16 页 共 44 页第 17 页 共 44 页第 18 页 共 44 页第 19 页 共 44 页第 20 页 共 44 页第 21 页 共 44 页中学数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图, O 是半圆的圆心, C、E 是圆上的两点, CDAB ,EFAB ,EGCO第 22 页 共 44 页求证： CDGF（初二）ACGOFEBD2、已知：如图,P 是正方形 ABCD 内点,PAD PDA 150求证： PBC 是正三角形（初二）A D PB C3、

7、如图,已知四边形 ABCD 、A 1B 1C1D 1 都是正方形, A 2、B2、C2、D 2 分别是 AA 1、BB 1、CC1、DD 1 的中点求证：四边形 A 2B2C2D 2 是正方形（初二）第 23 页 共 44 页AA2A1D2DD1B1C1BB2C2C4、已知：如图,在四边形ABCD 中,AD BC,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交 MN 求证：DEN F于 E、FFEN CD经 典难题（二）AMB1、已知： ABC 中,H 为垂心（各边高线的交点） ,O 为外心,且 OM BC 于 M （1）求证： AH 2OM ；（2）如BAC 600,求证：

8、AH AO （初二）AOHEBMDC第 24 页 共 44 页2、设 MN 是圆 O 外始终线,过 O 作 OA MN 于 A ,自 A 引 圆的两条直线, 交圆于 B 、C 及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交MN 于 P、QMCPBGDEQN求证： AP AQ （初二）OA3、假如上题把直线 题：MN 由圆外平移至圆内, 就由此可得以下命设 MN是圆 O 的弦,过 MN的中点 A 任作两弦 BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证： AP AQ （初二）MCEQNAP OBD第 25 页 共 44 页4、如图,分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边,在 ABC 的外

9、侧 作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ,点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二）D G经 典难EACBF题（三）PQ1、如图,四边形 ABCD 为正方形, DE AC,AEAC ,AE 与 CD 相交于 F求证： CECF（初二）AFDEBC第 26 页 共 44 页2、如图,四边形 ABCD 为正方形, DE AC ,且 CECA ,直 线 EC 交 DA 延长线于 F求证： AEAF（初二）FADBCE3、设 P 是正方形ABCD一边 BC 上的任一点, PFAP ,CF平分DCE求证： PAPF（初二）ADFBPCE4、如图, PC 切圆

10、O 于 C,AC 为圆的直径, PEF 为圆的割线,AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：AB DC ,BCAD （初A 第 27 页 共 44 页 B O D P三）经 典难题（四）1、已知： ABC 是正三角形, P 是三角形内一点, PA3,PB4,PC5求：APB 的度数（初二）AP2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且 PBA PDA 求证：PAB PCB（初二）DBCAP3、设 ABCDBC为圆内接凸四边形,求证：AB CD AD BCAC BD （初三）A D第 28 页 共 44 页 B C4、平行四边形 ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点

11、,AE 与 CF 相交于 P,且 AECF求证： DPA DPC （初二）A D F经 典难题（五）BPEC1、设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点, LPA PB PC,求证：L22、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PAPBPC 的最小值BACADPCPB 第 29 页 共 44 页3、P 为正方形 ABCD 内的一点,并且PAa,PB2a ,PCAD3a ,求正方形的边长PCB4、如图, ABC 中,ABC ACB 800,D、E 分别是 AB 、AC 上的点, DCA 300,EBA 200,求BED 的度数ADEB C经 典难题（一）第 30 页 共

12、 44 页1. 如下图做 GH AB, 连接 EO；由于 GOFE 四点共圆,所以GFH OEG, 即 GHF OGE, 可 得GF= GO GH=CO CD, 又CO=EO , 所 以CD=GF 得证；2. 如下图做 DGC 使与 ADP 而可得全等,可得 PDG 为等边 ,从DGC APD CGP,得出PC=AD=DC,和DCG= PCG150 所以DCP=300 ,从而得出 PBC 是正三角形第 31 页 共 44 页3. 如下图连接 BC 1 和 AB 1 分别找其中点 延长相交于 Q 点,F,E.连接 C2F 与 A 2E 并连接 EB2 并延长交 C2Q 于 H 点,连接 FB2

13、并延长交 A 2Q 于 G 点,由 A 2E= 2 A1B1= 1 2 B1C1= FB2 ,EB2= 2 AB= 2 BC=FC1 ,又GFQ+ Q=90 0 和GEB2+ Q=90 0,所以GEB 2= GFQ 又B2FC2= A 2EB2 ,可得 B2FC2A 2EB2 ,所以 A 2B2=B 2C2 ,又GFQ+ HB 2F=900和GFQ= EB2A 2 , 从而可得 A 2B2 C2=90 0 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形 A 2B2C2D 2 是正方形；第 32 页 共 44 页4. 如下图连接 AC 并取其中点 Q,连接 QN 和 QM ,所以可得QMF= F,Q

14、NM=DEN 和QMN=QNM ,从而得出DEN F；经 典难题（二）1.1 延长 AD 到 F 连 BF,做 OG AF, 又F= ACB= BHD ,可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2GH+HD=2OM 2 连接 OB ,OC, 既得BOC=120 0,从而可得 BOM=60 0, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证；第 33 页 共 44 页3. 作 OFCD,OG BE,连接 OP,OA ,OF ,AF,OG ,AG ,OQ ；由于AD=AC=CD=2FD=FD,ABAEBE2BGBG由此可得 ADF ABG ,从而可得

15、AFC= AGE ；又由于 PFOA 与 QGOA 四点共圆,可得 AFC= AOP 和AGE= AOQ ,AOP= AOQ ,从而可得 AP=AQ ；第 34 页 共 44 页4. 过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高EG+FH；2EG,CI,FH ；可得 PQ=由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由BFH CBI ,可得 FH=BI ；从而可得 PQ= AI+BI= AB ,从而得证；22经 典难题（三）1. 顺时针旋转 ADE ,到 ABG ,连接 CG. 第 35 页 共 44 页由于ABG= ADE=900+45 0=1350从而可得 B,G,D 在一条直线上,可得AG

16、B CGB ；推出 AE=AG=AC=GC,可得 AGC 为等边三角形；AGB=30 0,既得EAC=30 0,从而可得 A EC=75 0；又EFC= DFA=45 0+30 0=75 0. 可证： CE=CF ；2. 连接 BD 作 CH DE,可得四边形 由 AC=CE=2GC=2CH,CGDH 是正方形；可得CEH=30 0,所以CAE= CEA= AED=15 0,又FAE=90 0+45 0+15 0=150 0,从而可知道 F=150,从而得出 AE=AF ；第 36 页 共 44 页3. 作 FGCD,FEBE,可以得出 GFEC 为正方形；令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z

17、 ,可得 PC=Y-X ；2+XZ ,tan BAP=tanEPF=X Y=Y-Z+Z,可得 YZ=XY-XX即 ZY-X=XY-X ,既得 X=Z ,得出 ABP PEF ,得到 PA PF ,得证；第 37 页 共 44 页经 典难题（四）1. 顺时针旋转 ABP 600,连接 PQ ,就 PBQ 是正三角形；可得 PQC 是直角三角形；所以APB=150 0 ；2. 作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 PC. E,使 AE DC ,BE可以得出ABP= ADP= AEP,可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） ；可得BAP= BEP= BCP,得证；第 38 页 共 44 页3

18、. 在 BD 取一点 E,使BCE= ACD ,既得 BECADC ,可得：BE BC=AD AC,即 AD BC=BE AC,又ACB= DCE,可得 ABC DEC ,既得AB AC=DE DC,即 AB CD=DE AC, BD ,得由 + 可得 : AB CD+AD BC=ACBE+DE= AC证；4. 过 D 作 AQ AE ,AG CF ,由SVADE=SYABCD=SVDFC,可得：2AE PQ=AE PQ,由 AE=FC ；22可得 DQ=DG ,可得DPA DPC （角平分线逆定理） ；第 39 页 共 44 页经 典难题（五）1. （1）顺时针旋转 BPC 600,可得 PBE 为等边三角形；既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ,PE,EF 在一条直线上,即