利用基本不等式求最值的技巧-题型分析

1、基本不等式应用注：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1)y=3x2+2；2(2)y=x+；解:(1)y=3x2+2X2三23x2J2=6.:值域为6，+)(2)当x0时，y=x+；三2x1=2；XX当xVO时，y=x+=(x1)W2x=2XXX值域为(一a,2U2,+8)解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x，求函数y=4X-2+1的最大值。

2、4丿4x-5解:因4x-50，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)1不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,4x-551(1x,5一4x0，y=4x一2+=-5一4x+3，2+3144x554x当且仅当5，4x1，即x二1时，上式等号成立，故当x二1时，y二1。5，4xmaX评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求y=x(8-2x)的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8，2x)=8为定值，故只需将y=x(8，2x)凑上一个系数即可。当，即x=2时取等号当x=2

3、时，y=x(8，2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3变式：设0 x-1)的值域。x+1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。TOC o 1-5 h zF十7r+10十13+5(x十1十4和4尹=(疋+1)+4-53-+1A+1+14当，即时，y2(x+1),+5二9(当且仅当x=l时取“=”号)。x+1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+l,化简原式在分离求最值。(t1)2+7(t1)+1012+5t+44=y=t+54当，即t=时，y

4、2t，+5二9(当t=2即x=l时取“=”号)。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y二mg(x)+B(A0,B0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(X)=x+a的单调性。Xx2+5例：求函数y=的值域。x2+4解：令x2+4二t(t2)，则y=x2+5=x2+4+1=t+1(t2)TOC o 1-5 h zx2+4x2+4丫因t0,t=1，但t=1解得t=1不在区间2,+8)，故等号不成立，考虑单调性。tt因为y=t+1

5、在区间11,+8)单调递增，所以在其子区间b,+8)为单调递增函数，故y5。t20,y0,且一+=1,求x+y的最小值。xy19错解：/x0,y0,且一+，1,J.x+y，.xyx+y)2土2.：xy，12故x+y=12。xymin错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y2后等号成立条件是x，y,在1+9圧等号成立xyxy条件是-，-即y，9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。-正:x0,y0,I，1，J.x+y，x+yxy(19)一+6+10，16xy当且仅吧,时，上式等号成立，又一+,

6、1，可得x，4,y，12时，x+y=16。yxymin变式：（1）若x，yER+且2x+y,1,求丄+丄的最小值xyx+y的最小值(2)已知a，b,x,ywR+且a+b,1，求xy技巧七、已知x,y为正实数，且x2+号=1，求x1+y2的最大值.a2+b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abW同时还应化简1+y2中y2前面的系数为2,x1+y2=x21+y221+y22+2面将x，12y22分别看成两个因式1y22+2_x2+(2+V)2x2+芍+23,W2=2=4即x1+y2=2x1+y22+2技巧八：已知a,b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值.分析：这是一个

7、二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说再用单调因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、丄30-2b法一：a=b+T由a0得302b2b2+30bab=b+T=b+1,0VbV15令t=b+1,1t0，b0，ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W=3x+2y的最值.a+ba2+b2解法一：若利用算术平均与平

8、方平均之间的不等关系，号W迸久，本题很简单3x+2yW2(3x)2+(2y)2=23x+2y=25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0,W2=3x+2y+23x2y=10+23x2y10+(3x)2(2y)2=10+(3x+2y)=20W20=25变式：求函数y=、：2x-1+-2x(丄x-)的最大值。22解析：注意到2x一1与5一2x的和为定值。y2=G-2xT+、;52x)2=4+/(2x-1)(5-2x)0，所以0yab+bc+ca1)正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1一a)(1b)(1c)三8abc

9、例6：已知a、b、c，R+，求证：11-1、8分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1-1=出互竺，可由此变形入手。aaaa1,1-ab+c2pbc12、ac1_2jab解：a、b、c,R+，a+b+c=1。1=。冋理一一1，1aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1)1)1)111a丿b丿ab例：已知x0,y0且丄+-xy求使不等式x+ym恒成立的实数m的取值范围。2加c2ac2ab8。当且仅当abc1时取等号。c3abW18Q18当且仅当t=4,即b=3,a=6时，等号成立。abW18Q18当且仅当t=4,即b=3,a=6时，等号成立。19x+y9x+9y10y9x解：令x+yk,x0,y0,+1，+1.+,+1xykxky