量子力学曾谨言第五第1章序言知识点汇总(必属)

1、东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿第一章量子力学的历史渊源1.1Planck的能量子假说经典物理学的成就到19世纪末，已经建立了完好的经典物理学理论：、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的颠簸理论、电磁现象的规律)；、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大批微观粒子的热现象等）。这些理论能令人满意地解说当时所常有的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些增补和修正。经典物理学所遇到的问题、黑体辐射现象

2、，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的坚固性；、固体的低温比热。一、黑体辐射的微粒性1、黑体辐射的几个物理量黑体：全部落到（或照耀到）某物体上的辐射完好被汲取，则称该物体为黑体。辐射本事：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用E(,T)表示。所以在t时间，从面积S上发射出频率在范围内的能量表示为：E(,T)tS作者：张宏标1东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿能量所以，E(,T)的量纲为：=焦耳米2。12秒米秒c能够证明：辐射本事与辐射体的能量密度分布的关系E(v,T)(v,T)，（(,)vT的单位4为焦耳秒）。米3汲取率：照到物体上的辐射能

3、量分布被汲取的份额，用A(,T)表示。G.Kirchhoff（基尔霍夫）证明：对任何一个物体，辐射本事E(v,T)与汲取率A(,T)之比是一个普适的函数，即E(v,T)（f与构成物体的物质没关）。f(,T)A(v,T)关于黑体的汲取率A(v,T)1，故其辐射本事E(,T)f(,T)（等于普适函数与物质无关）。所以只要黑体辐射本事研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。辐射本事也能够用E(,T)描述,由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：E(v,T)dvE(,T)d000c2d由于c知dc2d代入上式得：E(v,T)E(,T)d022E(v,T)E(,T)或E(,

4、T)E(v,T)(焦耳米3秒)cc2、黑体的辐射本事黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。实验测得的辐射曲线满足以下定律：、斯忒藩玻尔兹曼定律（Stefan-BoltzmannLaw）黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度T4成正比，即作者：张宏标2东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿R(T)T425kB45.67108J(K4sm2)，15h3c2此中R(T)E(,T)d为黑体辐射能量。这个定理是斯托藩1879年实验测定的，而1884年玻尔兹曼从热力学理论推导出来。(ii)、Wien位移定律（WienDisplacementLaw）维恩发现，关于一

5、个确立的温度T0，相应地有一波长0使E(0,T0)达到极大值，而0T0常数。即0T01T12T25.1103(Km)这说明跟着温度高升，热辐射峰值向短波高频方向挪动。温度越高，波长越短的光(即绿光和蓝光)越多；温度越低，波长越长的光(即红光)越多。3、经典物理学的缺点利用经典物理学理论推导出的理论公式不可以完好地切合实验，显现出经典物理学理论的限制性。、黑体辐射谱的维恩（Wien）经验公式：维恩(1894)依据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本事3c2vT此中c12hc2B-23o是玻尔兹曼常数。1，而k1.3810JKE(v,T)cvec2hkB维恩公式在高频率(短波段)与实验切合，但在中

6、、低频率（长波段）区，特别是低频率区与实验偏离很大。、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans）公式：瑞利(1900)依据经典电动力学及金斯(1905)由经典统计力学的能均分定理严格获取黑体辐射本事公式：作者：张宏标3东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿E(v,T)8v2kBTc3E(v,T)仅当频率足够低（或长波段），温度足够高（即vT11010oKS）时，切合（即kBThv）实验曲线。但在频率v很高紫外处域（或很小的短波段）时，E(v,T)d，即有名“紫外发散灾害”。这两个公式其实不完好切合实验结果，但理论上给出的结论是的确无疑的。总之，用经典物理学理论解说黑体辐射谱的实验规律完好失

7、败。二、固体低温比热依据经典理论，如一个分子有n个原子，而每个原子有3个自由度。关于1摩尔该分子固体有N0个分子（N06.0210mol称为阿伏加德罗常数），故有3nN0个自由度。所以，23固体定容比热为：CVE3N0nkB3nR，此中R8.314J(oKmol)是气体常数。TV称为能均分定理（DulogRelit经验规律）。实验发现，对单原子固体，在室温下CvConstant切合能均分定理；但在低温下，CvT30，因此这个实验结果与经典理论不符。如何解决这些问题呢？在经典物理学框架下，解说黑体辐射定律的多次失败后，物理学家逐渐地认识到必须引入一个新的理论。三、Planck假说（1900）1、

8、普朗克公式1900/10/19普朗克在柏林物理学会会议上宣告了他经过实验数据，采纳数学插值法获取的公式：()d8h31dc3hekBT1此公式与实验曲线切合得相当好。作者：张宏标4东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿1900/12/14普朗克又在柏林物理学会上给他的公式以量子说明，这就是量子论的生日。2、普朗克的“能量子”假设频率为的电磁辐射的能量以h为单位（h是Planck常数）不连续地变化。h称为能量子或光量子。Ennhvnn0,1,2,式中h6.6261034焦耳秒或h21.05451034焦耳秒。注意：能量不连续的看法与经典物理学中能量是连续的完好不相容的！利用普朗克假设求普朗克

9、公式以下：辐射的均匀能量可这样计算获取：在经典物理学中，在EEdE区间内,经典的能量几率分布:eE(kBT)dEeE(kBT)dE0（玻尔兹曼几率分布），则关于连续分布的辐射均匀能量为EeE(kBT)dEkBTEeE(kBT)00eE(kBT)dEE0kBT；eE(kBT)dEeE(kBT)dE00而关于普朗克假设下的能量分布几率，则为量为eEn(kBT)eEn(kBT)，故分立的均匀辐射能n0EneEn(kBT)nhenh(kBT)hhdenydy)1kBT(1eydynhdyEn0n00eEn(kBT)enh(kBT)eny(1ey)1。n0n0n0h(1ey)2eyhe(1ey)11ey

10、hhyey1eh(kBT)1上式计算中取eyx并用到幂级数张开公式：1xn。1xn0所以，用电动力学和统计力学导出的Rayleigh-Jeans2v2kBT应改为公式：E(v,T)c2作者：张宏标5东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿E(v,T)2hv31c2hv(kBT)1e这就是Planck假设下的辐射本事，它与实验完好切合。由辐射本事与能量密度的c关系E(v,T)(v,T)4知，普朗克公式：8h31d,()dc3h/(kBT)e1此中()d是表示黑体辐射的频率在d内的空间能量密度、c光速、kB玻尔兹曼常数、T绝对温度。Planck公式与实验完好切合。对普朗克公式进行以下谈论:极限状

11、况：当kBThv（高频区）：E(v,T)2hv3ehv(kT)3cvTc12hh,即Wien公式;c2Bc1ve2c2,c2kB当kBT2hv3122kBT,即Rayleigh-Jeans公式。hv（低频区）：E(v,T)c2hv(kBT)1c2e斯托藩-玻尔兹曼定律2h312hkBT4R(T)E(,T)dd3x1)1dxc2h(kBT)1c2hx(ee42kB412kBT3enxdxT462h3xc234cn1hn1n作者：张宏标6东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿维恩位移定律222h312hc21E(,T)E(,T)2h(kBT)5hc(kBT)ccc1e1e关于一个固定的温度值T

12、0,求导dE,T：dhchc(kBT)E(,T)2hc251kT2e0T固定hc(kT)165hc(kT)10eBeB从而有hc1ehc(kBT)50T00.2898102(Km)。kBT固体的低温定容比热（详细见固体物理学（黄昆著）P122-130）由总辐射能量密度（单位：焦耳米3）W(T)(,T)d4E(,T)d85kB4445kB442c15c33T33T3h15chc(横波2所受)可推出固体中原子振动能量密度为45kB4T421，333315chuTuL此中uT和uL分别为固体中的横向声速和纵向声速。低温下，CVT3。该公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波

13、长不短于晶格距离的2倍，即u2au2a），而在低温下，高频其实不激发，所以，影响可忽视（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽视，所以这样推出的公式只适用于低温）。1.2Einstein的光子说一、爱因斯坦“光量子”假说(1905)1、光电效应现象1887赫兹(Hertz)作者：张宏标7东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿光电效应的主要现象：当单色光照耀到金属表面上，有这样一些现象（令人迷惑的特色）：A、发射光电子依赖于频率，而与光强度没关。要有光电子发射，光频率就一定大于某一值，即有一最低频率min。B、当照耀光的频率min时，发射出的光电子动能大小与光强度没关。这从经典物理

14、学角度是特别难以理解的，由于光的能量是正比于强度而与频率没关。所以认为光波强度增添时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而走开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也其实不需要大于必定频率，即与频率没关。所以，经典理论与实验绝然相反。2、Einstein(1905)的“光量子”假设:Einstein（1905）创办了狭义相对论，并在这年将Planck“能量子”假设推行为“光量子”的看法。、“光量子”的看法：一束单色光由辐射能量大小为hv的光量子构成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这类“微粒”带有能量hv。、光子的动量与波

15、长的关系：phch。光子的静止质量m00，依据狭义相对论的光的能量-动量关系：E2m02c4p2c2p2c2；又由于Eh,所以phch（c是光的波长）。对解说光电效应实验以下：电子要飞离金属，一定战胜吸引而做功W0（逸出功），所以飞出光电子电子的动能Ke:KehW0,W0电子在金属中的脱出功由于电子吸引两个光量子的几率几乎为0，故要想飞离金属，则最少Ke0；hvminW0，即有一最低频率。而KehvW0hvvmin。作者：张宏标8东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿我们能够看到，核心的问题是一束单色光能够转移给一个电子的能量除以频率v为一个常数，即h常数v而这个常数h与光的频率v、光的强

16、度、电子以及金属资料都没关。该常数其实不可以由经典物理学中常数所给出。所以，hv是一个与经典物理学完好不相容的关系式。意义：证明电磁场的能量子h能够和单电子互相作用，从而它自己也可视为一种粒子，称为“光子”。3、密立根(Millikan)实验(1916)密立根在1910开始研究光电效应，到1916经过实考据实了爱因斯坦的光电方程，并计算出普朗克常量h6.561034Js。这为爱因斯坦的光量子理论供给了第一个直接而全面的实考凭据。1921年爱因斯坦由于光电效应等理论工作获取诺贝尔物理学奖，密立根也于1923年荣获诺贝尔物理学奖。4、康普顿散射（ComptonScattering）Compton实

17、验(1923)是光在自由电子上的散射(或称光子-电子的碰撞)。证明了光具有粒子性。实验发现，单色x射线与电子作用使电子发生散射，散射x射线的波长增大：A1cos实验结果和特色经典物理没法解说。康普顿引入“光子”的看法并利用相对论力学对散射过程成功地进行理论解说以下：依据爱因斯坦假设：x射线在与电子互相作用时是以“微粒”形式出现，所以它们交换能量和动量。设x入射波长为，则入射的x射线的能量和动量为作者：张宏标9东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿Ehhc。Ehphnnncc假设电子开始处于静止状态，其初始能量为mec2。当x射线与电子发生互相作用后，x射线以动量p沿着方向射出，此时波长为，

18、能量和动量分别为EhhcpEnhnhncc而电子的反冲角为，能量为Eec2pe2me2c4和动量为pe：依据散射前后的能量、动量守恒有hmec2Eehh()mec2Ee(1)pppepppe(2)由(1)2c(2)2得:hmec222Ee2c2pe2me2c4c2pph2()22mec2h()c2p2c2p22c2pp0利用phch,上式变成meh()h21cosphchc2mehcch21cosh(1cos)mec即h(1cos)，此中chmec2.431012m称为电子的康普顿散射波长。mec例题1当光对自由质子散射时，求它的波长的改变。作者：张宏标10东北师范大学本科生物理专业量子力学课

19、程讲稿解：依据康普顿散射公式h(1cos)得mc关于质子，m1840me18409.11031kgh(1cos)2hsin2(2)26.62610341082.651015sin2(2)m。mcmc18409.110313例题2当氢原子放射一个频率的光子时，求它的反冲，并求当反冲时由于把能量传达给原子而产生的的改变。解：设氢原子的质量为m，不反冲光阴子的频率为，反冲光阴子的频率为。由能量和动量守恒得：1mv2222mc2。mv2()2mc222c0综上所述，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实谈论中得出结论：辐射除了显示其颠簸性外，在与物质的能量和动量交换时，还显示出微粒性

20、，二者之间的关系EhpEhh2nnnkkcc式中起侧重要作用，很小，在很多场合，这类量子效应不显示，这时不连续连续，辐射的微粒性消逝。1.3玻尔旧量子论一、原子结构的坚固性1、原子“行星模型”（1911Rutherford）卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，粒子以必定几率散射在大角度方向上，每两万个粒子约有一个粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。以这一模型计算散射微分截面，与实验切合得特别好。作者：张宏标11东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿对原子行星模型，按经典电动力学看法：原子中电子绕原子核加速运动，电子会不断向外辐射电磁波(即发光)以致其运动的总能量

21、减少而减速，从而从轨道半径逐渐减小将发生“原子坍塌”(106秒)。但事实上原子基态是出奇地坚固，也没有辐射发生(因负电荷粒子加速)，这给经典理论带来了困难。2、氢原子光谱的经验公式氢原子特色谱线的频率为：（1885Balmer）11，mn1,2,3,，此中RH10967758.1m1-Rydberg常数。cRH2n2m分为五个线系：远紫外区（赖曼(Lyman)系）、可见光和近紫外区（巴尔末(Balmer)系）、近红外区（帕邢(Paschen)系）、较远红外区（布喇开(Brackett)系）、远红外区（普逢得(Pfund)系）。每个线系均拥有以下规律性：沿波长减小的方向，谱线越来越密集且谱线强度

22、愈来愈弱。谱线公式中的每一项称为“光谱项”：ncRH1，能够为每个光谱项对应着氢原子n2的一种能量状态。这样，氢原子的能量就是不连续地变化的，其可能的值为：EnhnhcRH12这称为氢原子的能谱。n里兹“并合规则”：若1和2在特色光谱中，则有时12和12也在特色光谱中。其意义是氢原子的任何一条谱线的波数都等于断续系列中的某两项之差。为认识释上边的现象，玻尔将卢瑟福的原子结构模型与普朗克-爱因斯坦的光子理论结合，提出了原子结构的旧量子论。二、Bohr模型(1913N.Bohr)作者：张宏标12东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿1、玻尔模型的基本假设：、定态假设电子在原子中只好沿着某些特别

23、轨道运动，当电子在这些轨道上时，既不发出也不汲取光辐射。、跃迁假设当电子由一个定态“跳”（跃迁）到另一个定态时会发出或汲取光辐射，其频率为：(EnEm)h，式中En和Em为跃迁前、后的能量。、角动量量子化条件：电子在原子中的同意轨道上满足下边的条件：它的轨道角动量是的整数倍,即Jrpnn1,2,（关于圆形轨道）。2、经典力学加玻尔假设可成功解说氢原子光谱氢原子中电子绕核运动的方程为：Fmv2e2mv24e2er40r2e0r总能量：12e2e2ETV2mev40r80r再利用玻尔量子化条件：Jnrpmevrmev2n224e2rn40n22mer20rmee2Enmee41hcRH1n1,2,

24、3,2(4222,20)nn此中定义精良结构常数e2137，是电子质量，e是电子电荷。因此me2cRH4cme02h与实验数值完好切合。3、玻尔模型的实考凭据、氢原子光谱和类氢原子光谱，(ii)、Franck-Hertz实验(1913)也证了然原子能量的不连续性；作者：张宏标13东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿、斯特恩-盖拉赫实验(1921)证明角动量量子化的，(iv)、X射线的特色辐射等。三、威尔逊-索末菲（Sommerfeld）量子化条件(1915)索末菲推行了玻尔的角动量量子化，重新表述为:关于任何周期运动的自由度pi,qi，有量子化条件pidqinhn1,2,此中qi广义坐标

25、，pi广义动量。例考虑一个电子绕电荷为Ze的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。22解系统的哈密顿函数为H1(pr2p)Zer22m40r由存心力下角动量守恒，知p常数pH0。由量子化条件pdnh得pn。2p22p22由EprZe得pr2mE2mZer22m2mr240r40rAp20令B2mZe20，则prABCrBA4C2rCr2BrACr2BrArCr2BrA0rC2mEdx1arcsinBx2AxABxCx2xB2A4AC利用公式dx1arcsin2CxBC0得ABxCx2B24ACCxdxABxCx2BdxABxCx2C2CABxCx2BdrrrrdCr2BrApdrCAAma

26、xdrBmindr1maxrr2rrCr2BrA2rminCr2BrA2rminCr2BrArminABr2AB2CrBrmaxABrCr2arcsin2arcsinArB24ACCB24ACrmin此中rmax和rmin由积分Cr2BrA决定，即rmaxBB24AC且C0rdr0B2。min2C4AC0作者：张宏标14东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿BrrmaxBr2Armax由2A1得arcsin2arcsin1B2B2r4ACrminr4ACrmin由2CrrmaxrmaxB1得arcsinBr2A2arcsin1B24ACrminrB24ACrmin故由量子化条件prdrnr

27、h(nr1,2,)得BnrhAC22B2nrh2p2Ze2m2nrhA42EC02242Zem(2nrn)n(n1,2,)EZe1(n1,2,)，此中a0。402E80an2mZe2旧量子理论固然在解说氢原子和类氢原子上获得必定成功，但也存在着严重的缺点：、对含有多个电子系统的复杂原子光谱、半整数角动量等等力所不及，(ii)、不可以求解谱线的强度；(iii)、只好做周期运动；、没法理解人为假设(加速不辐射和量子化条件等)。所以，一定有崭新的理论来解说客观存在的物理现象与经典物理学理论矛盾的事实。1.3物质粒子的颠簸性一、德布罗意的“物质波”假设(deBroglie/1923)德布罗意依据对辐射

28、拥有微粒性的研究，提出“物质波”假设：、拥有必定动量的粒子和必定波长的波相联系hp即pk（|k|2）称为德布罗意关系(ii)、能量E与频率关系:Eh（称为Einstein关系）。这两个关系把表征粒子性的动力学变量（能量和动量）与颠簸性的特色量（频率和波矢）联系起来。也就是说，对一个拥有确立能量和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波矢（波数及必定的流传方向npp）。作者：张宏标15东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿而我们知道，拥有一个固定频率和波长的波（并有必定的流传方向）是一个平面波Aei(krt)Aei(prEt)pk，Ek2n物质波：把拥有必定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布

29、罗意波（物质波）。而一般可计算获取：物质微粒的波长1010?，氧原子0.4?、DNA分子104?、电子波长1?。只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特色尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。平常物质微粒的质量和动量较大，因此德布罗意波长特别短超出了可测的范围而不显示颠簸性，仅在原子尺度下才能显示出颠簸性。关于德布罗意波长的计算：在非相对论状况下：Ekp22mp2mEkh2mEk；hp当粒子是电子时，me9.1081031kg，从而e12.5?。Ek(eV)当粒子是质子或中子时，mpmn1.671027kg，从而有p,n0.286?。Ek(eV)在相对论状况下：Eec2pe2me2c4EEkm0c

30、2p2m0EkEkE2p2c2m02c412h2m0c。hEk2m0Ekp122m0c当m0c2Ek，则h2m0Ek。德布罗意提出“物质波”时并无实验依据，不过一个假设。其目的是为了用电子的颠簸性解说玻尔量子化理论的困难，他把原子定态与驻波联系，即把约束运动实物粒子的能量量子化与有限空间中驻波的波长的分立性联系。比方：氢原子中电子作者：张宏标16东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿做坚固的圆周运动，把玻尔理论中的定态对应于电子在圆周轨道上的驻波，即相当于物质波沿着圆形轨道流传，只有波的首尾相连时波的流传才处于坚固状态。此时，轨道周长等于波长的整数倍，即驻波条件2rn(n1,2,3,)np

31、nhJrpn，这样就获取了玻尔的量子化条件。22德布罗意的“物质波”思想直接以致了量子力学的出生。1925年11月薛定谔在苏黎世的一个谈论会上给出了德布罗意假设波的解说，德拜向他提出一个问题：“波所满足的方程在哪?”。与此同时，1925年海森堡以矩阵力学的形式建立了量子力学，随后1926年薛定谔就以颠簸力学的形式创办了量子力学。二、实物粒子的颠簸性实考凭据1、戴维逊、革末电子衍射实验(1927)（DavissonandGermer,Nature119(1927)558）当可变电子束(30600eV)照耀到抛光的金属镍单晶上，发此刻某角度方向有强的反射（即有许多电子波吸收），而满足asinnhp

32、（a是晶面上相邻原子间距）若hp，则上式与Bragg光栅衍射公式同样(asinn)，证明电子入射到晶体表面发生散射，拥有颠簸性而相应波长hp这现象没法用粒子的图象来解说。2、G.P.Thomson(小汤姆逊)实验(1927)电子经过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象反响了电子的颠簸性(1040keV，波长0.40.06?可穿透厚度为1000?的箔)。如象x射线照到单晶粉末压成的金箔上，满足2dsinn一样，作者：张宏标17东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿电子入射满足2dsinnhp，而产生衍射。（注意此刻不是明暗相间，而是电子数多少。）注意，这是小晶粒（金属箔）构成，所以晶面方向是

33、无规的，总有一些晶粒的面与入射电子夹角满足衍射条件2dsinn，而又由于是无规的（所以，对绕入射束一周，而又保持晶面与入射束的夹角不变的晶粒总是存在。）。所以，形成衍射环。这一特色，不但电子有颠簸性，此后热衷子试验都有，即物质粒子还有颠簸性，当然，经典物理学是没法解说的。一、本章小结基本内容1、黑体辐射、光电效应等现象揭露了光的波粒二象性。Planck的假说：解决了黑体辐射的困难。Planck公式：8h3ddehkT1c3Einstein的光量子假说成功地解说了光电效应。康普顿效应进一步证明了光拥有粒子性。2、原子结构的玻尔理论、1913年玻尔对氢原子光谱线系的巴尔末（Balmer）公式11m

34、1,2,3,nmRcn2m2n2,3,4,做出理论解说。玻尔在原子的核模型（行星模型）的基础上引入定态的看法，并提出量子化假设和频率条件：JrpnEnEmh作者：张宏标18东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿并利用经典力学推导出Balmer公式。索末菲（Sommerfeld）为办理多自由度系统的周期运动的分立能级将玻尔的量子化条件推行为：pidqinihni1,2,3,3、微观粒子的波粒二象性假设、1924年德布罗意(deBroglie)提出了微观粒子拥有颠簸性的假设，从而把光(波场)的波粒二象性推行到实物粒子拥有波粒二象性：德布罗意假设：与必定能量E和动量p的实物粒子相联系的物质波的频

35、率和波长分别为Ehh-德布罗意公式pk、德布罗意把原子中的定态与驻波联系起来，即把粒子能量的量子化问题与有限空间中驻波的频率及波长的不连续性联系起来。在氢原子中作坚固圆形轨道运动的电子所相应的德布罗意驻波的一种波形。驻波条件要求绕原子核流传一周后应圆滑地连接起来，这对轨道有所限制，即轨道的周长应为波长的整数倍：2rnn1,2,3,，利用德布罗意关系h可获取粒子的角动量Jn，这正是p玻尔的量子化条件。德布罗意波：与自由粒子联系的波是平面波AeiprEt1927年戴维逊与革末在电子衍射实验中直接证明了德布罗意波的存在。二、题型分析三、思虑题本章习题解答作者：张宏标19东北师范大学本科生物理专业量子

36、力学课程讲稿1、利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量与绝对温度的四次方成正比，并求比率系数。证明由普朗克公式：8hv3dv得vdvc3ehvkT1Uvdv8hv3dv8k4T4x3dxxhvkTc30ehvkT1h3c30ex10 x3dxx3exxdxx3enxdx13ydy(ynx)x1en1n4ye0e100n10利用积分公式nexdxn!得3ydy3!，又有14x3dx4。xyen1n4；所以0ex11500905454于是，获取U83k3T4T4，式中83k3。15hc15hc2、由黑体辐射公式推导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长max与温度T成反比，即maxTb(常数

37、)并近似计算b的数值，正确到二位有效数字。证明在频率间隔vvdv之间的能量为vdv8hv3dv，用波长表示的能量为c3ehvkT1dvdv由vc得dvcd代入上式得d8hcd125ehckT为了使能量密度取极大值，有d0即8hc1ehckThc50d6ehckT1ehckT1kTehckThc50ehckT1kT令xhc，则上式变成：xexx50exx10是一个超越方程，其根为x4.9651。kTe15所以，maxThcb2.897103m0Kkx作者：张宏标20东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿3、利用玻尔-索末菲的量子化条件求：、一维谐振子的能量，(ii)、在均匀磁场中做圆周运动的

38、电子轨道的可能半径。解(i)、能量为p2122，即p2q2这是一个以(p,q)为变量的椭圆E2mq2mE2Em212m方程。p2mEcos取极坐标为q2E2sin代入量子化条件pdqnh得m22E2E22E22E02mEcosdm2sin0cosd01cos2dnh即En,n1,2,3,。、电子做圆周运动，取转角为广义坐标,而对应的广义动量为角动量p，由广义动量的定义得：pH1mR22mR2mRv，式中R为电子做圆周运动的半径，vR是线速2度。由玻尔-索末菲量子化条件：pdnh得2nhnpdmRvd2mRvnhv。02mRmR另一方面，电子做圆周运动的向心力是电子在匀强磁场中所遇到的洛仑兹力，即FeBvmv2veBRRmeB