全国中考数学试题分类解析汇编170套75专题专题67探究型最值问题应用平面几何知

1、最大最全最精的教育资源网2014年全国中考数学试题分类分析汇编(170套75专题）专题67：研究型之最值问题（应用平面几何知识）江苏泰州鸣午数学工作室编写一、选择题版权归江苏泰州鸣午数学工作室邹强全部，转载必究】（2014年广西百色3分）已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为【】A（1，1）B（0，0）C（1，1）D2，2【答案】C【考点】1.单动点问题；2.一次函数图象上点的坐标特色；3.垂线段最短的性质；4.等腰直角三角形的判断和性质；5.圆的认识【分析】如答图，过点A作AP与直线y=x垂直，垂足为点P，此时PA最小

2、，则以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小过点P作PM与x轴垂直，垂足为点MRtOAP中，OPA=90，POA=45，OAP=45.PO=PA.PMx轴于点M，OM=MA=OA=1.PM=OM=1.点P的坐标为（1，1）应选C2（2014年广西贵港3分）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的均分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是【】12B4C24AD555【答案】C【考点】1.双动点问题；2.轴对称的应用（最短路线问题）；3.角均分线的性质；4.勾股定理；5.直角三角形的面积新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网1最大最全最精的教育

3、资源网【分析】如答图，过点C作CHAB交AB于点H，交AD于点P，过点P作PQAC于Q，AD是BAC的均分线，PQ=PH.这时PC+PQ有最小值，即CH的长度.AC=6，BC=8，ACB=90，AB=AC2BC2628210SABC=1AB?CH=1AC?BC，22CH=ACBC6824.AB105PC+PQ的最小值为245应选C3（2014年贵州安顺3分）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，点B为劣弧AN的中点点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为【】A.2B.1C.2D.22【答案】A【考点】1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.圆周角定理；3.等腰直角三角形

4、的判断和性质【分析】作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，依据轴对称确立最短路线问题可得AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，依据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出AON=60，而后求出BON=30，再依据对称性可得BON=BON=30，而后求出AOB=90，从而判断出AOB是等腰直角三角形，再依据等腰直角三角形的性质可得AB=2OA，即为PA+PB的最小值：如答图，作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB.新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网2最大最全最精的教育资源

5、网AMN=30，AON=2AMN=230=60.点B为劣弧AN的中点，BON=1AON=160=30.22由对称性，BON=BON=30AOB=AON+BON=60+30=90.AOB是等腰直角三角形.AB=2OA=21=2，即PA+PB的最小值=2应选A4（2014年黑龙江龙东地区3分）一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽视不计）【】A10cmB102cmC5cmD52cm【答案】B.【考点】1.平面睁开-最短路径问题；2.圆锥的计算；3.弧长公式；4.勾股定理

6、【分析】如答图，由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面睁开图AA最短，由题意可得出：OA=OA=10cm，圆锥体底面圆的直径是5cm，圆锥体底面周长为5cm圆锥的底面周长等于它的侧面睁开图的弧长，n10，解得：n=90，AOA=90.AA5180AA=OA22OA102cm.应选B5（2014年湖北荆门3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为【】新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网3最大最全最精的教育资源网A.42dmB.22dmC.25dmD.45dm【答案】A【考点】1.平面睁开（最短路径问题）；2.勾股定

7、理【分析】如答图，把圆柱的侧面睁开，获取矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，AB=2dm，BC=BC=2dm.AC2=22+22=4+4=8.AC=22，这圈金属丝的周长最小为2AC=42cm应选A6（2014年湖北荆州3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为【】A.42dmB.22dmC.25dmD.45dm【答案】A【考点】1.平面睁开（最短路径问题）；2.勾股定理【分析】如答图，把圆柱的侧面睁开，获取矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度圆柱底面的周长

8、为4dm，圆柱高为2dm，AB=2dm，BC=BC=2dm.新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网4最大最全最精的教育资源网AC2=22+22=4+4=8.AC=22，这圈金属丝的周长最小为2AC=42cm应选A7（2014年广西钦州3分）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只好沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有【】A1种B2种C3种D4种【答案】C.【考点】1.网格问题；2.勾股定理的应用；3.实数的大小比较；4.分类思想的应用【分析】如答图所示，从A点到B点的走法有若干种，此中，走法1，2，3的距离是22221221；走法4，5，6

9、的距离是5；走法7，8，9，10的距离是23.221230，解得m1.m10m=2舍去，m=3.点C坐标为（3，2）.由A（1，0）、B（3，0）、C（3，2）得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5.如答图，过C点作CHAB，垂足为H，则AHC=BHC=90，DEBC，DFAC，四边形DECF是平行四边形.AHCH2，AHC=BHC=90CHBHAHCCHB.ACH=CBH.CBH+BCH=90，ACH+BCH=90.ACB=90.DECF是矩形.存在.如答图，连接CD，四边形DECF是矩形，EF=CD.依据垂线段的性质，当CDAB时，CD的值最小，C（3，2），DC的最小值是2.EF的最小

10、值是2.【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.二次函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.相似三角形的判断和性质；6.矩形的判断和性质；7.垂线段的性质【分析】（1）利用交点即可求得.（2）把C（m，m1）代入y1x23x2求得点C的坐标，从而求得AH=4，22CH=2，BH=1，AB=5，而后依据AHCHCH2，AHC=BHC=90得出AHCCHB，BH依据相似三角形的对应角相等求得ACH=CBH，因为CBH+BCH=90所以ACH+新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网21最大最全最精的教育资源网BCH=90从而求得ACB=90，先依占有两组对边平行的四边形是平行四边形

11、求得四边形DECF是平行四边形，从而求得DECF是矩形.3）依据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CDAB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2.2（2014年广东梅州11分）如图，已知抛物线y3x23x3与x轴的交点为A、D（A84在D的右边），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上能否存在点P，使得以A、B、C、P四点为极点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明原由.【答案】解：（1）A(4，0)、D(2，0

12、)、C(0，3).（2）如答图1，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.设直线AC的分析式为y=kx+b，则4k+b0，解得k34.b3b3直线AC的分析式为y=33.x433323的对称轴是直线x41，yxx38428把x=1代入y=33得y=9x.44新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网22最大最全最精的教育资源网M(1，9).4（3）存在，分两种状况：如答图2，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(2，0).如答图3，当BC为梯形的腰时，过点C作CP/AB，与抛物线交于点P，点C，B关于抛物线对称，B(2，3)设直线AB的分析式为y=k1x

13、+b1，4k1+b10k132.则，解得2k1+b13b16直线AB的分析式为36.y=x2CP/AB，可设直线CP的分析式为3xm.y=2点C在直线CP上，m=3.直线CP的分析式为33.y=x2y=33xx1=0 x=6联立2，解得2，y3x23x3y13y2684P(6，6).综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为极点的四边形为梯形，点P的坐标为(2，0)或(6，6).【考点】1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.【分析】（1）在y3x23x

14、3中令y3x23x30，解得x12,x24，8484A(4，0)、D(2，0).在y3x23x3中令x0，得y3，C(0，3).42）连接AC，依据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的分析式，再求出抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标.（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种状况谈论即可.新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网23最大最全最精的教育资源网3（2014年广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD1）求M的半径；2

15、）证明：BD为M的切线；3）在直线MC上找一点P，使|DPAP|最大【答案】解：（1）由题意可得出：222，BO=3，AB=5.圆的半径OA+OB=AB，AO=45.2（2）证明：由题意可得出：M（2，3）.2C为劣弧AO的中点，由垂径定理且MC=5，故C（2，1）.2如答图1，过D作DHx轴于H，设MC与x轴交于N，则ACNADH，又DC=4AC，DH=5NC=5，HA=5NA=10.D（6，5）.设直线BD表达式为：y=ax+b，6kb5，解得：k4则3.b3b3直线BD表达式为：y=4x+3.3设BD与x轴交于Q，则Q（99,0）.OQ=.4415AQ,BQ.44新世纪教育网最新、最全、

16、最精的教育资源网24最大最全最精的教育资源网BQ2225,AB225,AQ2625，BQ2AB2AQ2.1616ABQ是直角三角形，即ABQ=90.BDAB，BD为M的切线.3）如答图2，取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DPAP|的最大值.设直线DO表达式为y=kx，5=6k，解得：k=5.6直线DO表达式为y=5x6又在直线DO上的点P的横坐标为2，y=5.P（2，5）.33此时|DPAP|=DO=625261【考点】1.圆的综合题；2.勾股定理和逆定理；3.垂径定理；4.相似三角形的判断和性质；5.待定系数法的应用；6.直线上点的

17、坐标与方程的关系；7.切线的判断；8.轴对称的应用（最短线路问题）【分析】（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，从而得出AB的长，即可得出圆的半径.（2）依据B，D两点求出直线BD表达式，求出BD与与x轴交点Q的坐标，从而求出AB，QA，BQ的长，依据勾股定理逆定理得出BDAB，求出BD为M的切线.（3）取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DPAP|的最大值.依据D，O两点求出直线DO表达式为y=5x，6又在直线DO上的点P的横坐标为2，所以p（2，5），此时|DPAP|=DO=6134（2014年黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑河6

18、分）如图，已知抛物线的极点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点（1）求此抛物线的分析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网25最大最全最精的教育资源网【答案】解：（1）抛物线的极点为A（1，4），设抛物线的分析式y=a（x1）2+4把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=1，2抛物线的分析式为y=（x1）+42）如答图，点B关于x轴的对称点E的坐标为（0，3），由轴对称确立最短路线问题，连接AE与x轴的交点即为点P，设直线AE的分析式为y=kx+b（k0），kb4k7则3，解得，bb3直

19、线AE的分析式为y=7x3y=0，则7x3=0，解得x=3，7当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（3，0）7【考点】1.待定系数法的应用；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.轴对称的应用（最短路线问题）【分析】（1）设抛物线极点式分析式2，而后把点B的坐标代入求出a的值，y=a（x1）+4即可得解2）先求出点B关于x轴的对称点B的坐标，连接AB与x轴订交，依据轴对称确立最短路线问题，交点即为所求的点P，而后利用待定系数法求一次函数分析式求出直线AB的分析式，再求出与x轴的交点即可（年湖北鄂州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y5xm的图520144象与x轴交于A（1，0），与y

20、轴交于点C以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax2+bx+c（a0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网26最大最全最精的教育资源网（1）求m的值及抛物线2C1：y=ax+bx+c（a0）的函数表达式（2）设点D（0，25），若F是抛物线212C1：y=ax+bx+c（a0）对称轴上使得ADF的周长获得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，尝试究11M1F能否为定值？请说明原由M2F（3）将抛物线C1作合适平移，获取抛物线C2：y21xh2，h1若当1xm时，4y2x恒建立，求m的最大

21、值【答案】解：（1）一次函数y5xm的图象与x轴交于A（1，0）405m，解得m=544一次函数的分析式为y5x544点C的坐标为（0，5）42两点且对称轴是x=2，y=ax+bx+c（a0）经过A、Cabc0a14c5，解得b145bc422a抛物线C1的函数表达式为y1x2x54412）为定值，原由以下：M1FM2F新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网27最大最全最精的教育资源网要使ADF的周长获得最小，只要AF+DF最小，如答图，连接BD交x=2于点F，因为点B与点A关于x=2对称，依据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此AF+DF最小令y1x2x5中的y=0，则x=1或5，44B

22、（5，0）D（0，25），12由待定系数法可求直线BD分析式为y5x25F（2，5）12124令过F（2，5）的直线M1M2分析式为y=kx+b，4则2kb5b52k，44直线M1M2的分析式为ykx52k4ykx52k42由，x1+x2=44k，x1x2=1x2得x（44k）x8k=0yx5448ky1kx15y2kx52k，y1y2=k（x1x2）2k,244M1M2=x1x22y22x2221k2x12y1x1k2x1x2x21k2x1x224x1x21k24232k41k24k，2252221xy1k2x，MF=1141M2F=x22y252x221k2224M1F?M2F1k2221

23、k22x12x22x1x22x1x24新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网28最大最全最精的教育资源网1k28k244k42M1M241k211M1FM2FM1M21为定值M1FM2FM1FM2FM1FM2F（3）设y2=x的两根分别为s，t，抛物线C2：y2121x2向右平移xh（h1）可以看作由y44获取，观察图象可知，跟着图象向右移，s，t的值不停增大，当1xm，y2x恒成立刻，m最大值在t处获得当s=1时，对应的t即为m的最大值将s=1代入y2=x得（1h）2=4，解得h=3或1（舍去）将h=3代入y2=x有1x32x，解得x=1或x=94t=9m的最大值为9【考点】1二次函数综合

24、题；2线动平移问题；3待定系数法的应用；4曲线上点的坐标与方程的关系；5轴对称的应用（最短线路问题）；6一元二次方程根与系数的关系；7勾股定理【分析】（1）只要将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值即可求出二次函数关系式（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及勾股定理求出M12、M121F?M212，最后可求111为MF、MF，证出MF=MMM1FM2F定值（3）设y2=x的两根分别为s，t，因为抛物线C2：y212（h1）可xh1x2向右平移获取，观察图象可知，跟着图象向右移

25、，4以看作由ys，t的值不停增大，4所以当1xm，y2恒成立刻，m最大值在t处获得，依据题意列出方程求出t，即可x求解（年湖北咸宁10分）如图，（，）是抛物线yx21上任意一点，l是过点620141Pmn4（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网29最大最全最精的教育资源网【研究】（1）填空：当m=0时，OP=，PH=；当m=4时，OP=，PH=；【证明】2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线x2y1上滑动，求A，B两点到直4线l的距离之和的最小值【答案】解：

26、（1）OP=1，PH=1；OP=5，PH=5（2）猜想：OP=PH证明以下：如答图1，记PH与x轴交点为Q，则PQx轴，P在二次函数yx21上，4设P（m，m21），则PQ=m21，44OQ=mOPQ为直角三角形，m22m222OQ21m2m2OP=PQ411，44新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网30最大最全最精的教育资源网PH=yP（2）=（m21）（2）=m2144OP=PH（3）如答图2，连接OA，OB，过点A作ACl于C，过点B作BDl于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离则有OB=BD，OA=AC，在AOB中，OB+OAAB，BD+ACAB当AB过O点时，O

27、B+OA=AB，BD+AC=AB综上所述，BD+ACABAB=6，BD+AC6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6【考点】1二次函数综合题；2线动问题；3曲线上点的坐标与方程的关系；4勾股定理；5三角形三边关系【分析】（1）如答图1，记PH与x轴交点为Q，当m=0时，P（0，1）此时OP=1，PH=1当m=4时，P（4，3）此时PQ=3，OQ=4，OP=PQ2OQ25，PH=yP（2）=3（2）=5（2）猜想OP=PH证明时因为P为全部满足二次函数yx21的点，一般可设4m21）近似（1）利用勾股定理和PH=yP（2）可求出OP与PH，比较即得结（m，4论（3）考虑（2）结论，即函数x

28、21的点到原点的距离等于其到l的距离要y4A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB但是点若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB6，即A、B两点到小值即为6O，则OA+OBAB=6，l距离的和6，从而最新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网31最大最全最精的教育资源网7（2014年湖北宜昌11分）在矩形ABCD中，ABa，点G，H分别在边AB，DC上，AD且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把AHE沿直线HE翻折获取FHE1）如图1，当DH=DA时，填空：HGA=度；若EFHG，求AHE的度数，并求此时a的最小值；2）如图3，AEH=60，EG=2BG

29、，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FGAB，G为垂足，求a的值【答案】解：（1）45分两种状况谈论：第一种状况：如答图，AHE为锐角时，HAG=HGA=45，AHG=90由折叠可知：HAE=F=45，AHE=FHE，EFHG，FHG=F=45AHF=AHGFHG=45，即AHE+FHE=45AHE=22.5此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2第二种状况：如答图，AHE为钝角时，EFHG，HGA=FEA=45，即AEH+FEH=45由折叠可知：AEH=FEH，AEH=FEH=22.5EFHG，GHE=FEH=22.5AHE=90+22.5=112.5此时，当B与E重合时，a的值最小

30、，设DH=DA=x，则AH=CH=2x，在RtAHG中，AHG=90，由勾股定理得：AG=2AH=2x，新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网32最大最全最精的教育资源网AEH=FEH，GHE=FEH，AEH=GHEGH=GE=2xAB=AE=2x+2xa的最小值是2x2x22x综上所述，当AHE为锐角时，AHE=22.5时，a的最小值是；当AHE为钝角时，AHE=112.5时，a的最小值是22FEG=604y12y22）如答图3：过点H作HQAB于Q，则AQH=GOH=90，在矩形ABCD中，D=DAQ=90，D=DAQ=AQH=90四边形DAQH为矩形AD=HQAD=x，GB=y，则HQ

31、=x，EG=2y，由折叠可知：AEH=FEH=60，在RtEFG中，EG=EFcos60，HQx3在RtHQE中，EQ23x，tan603QGQEEG3x2y3HA=HG，HQAB，AQ=GQ=3x2y3AE=AQ+QE=23x2y3由折叠可知：AE=EF，即23x2y4y，即y3x33AB=2AQ+GB=2232yy733x3xAB73x733axAD3【考点】1.四边形综合题；2.单动点和折叠问题；3.矩形的判断和性质；4.等腰直角三角形的判断和性质；5.折叠对称的性质；6.勾股定理；7.锐角三角函数定义；8.特别角的三角函数值；9.分类思想和消参的待定系数法应用新世纪教育网最新、最全、最

32、精的教育资源网33最大最全最精的教育资源网【分析】（1）依据矩形的性质和已知条件得出HAE=45，再依据HA=HG，得出HAE=HGA，从而得出答案解决：四边形ABCD是矩形，ADH=90DH=DA，DAH=DHA=45HAE=45HA=HG，HAE=HGA=45分AHE为锐角和钝角两种状况谈论即可.（2）过点H作HQAB于Q，依据矩形的性质得出D=DAQ=AQH=90，得出四边形DAQH为矩形，设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，由折叠的性质可知AEH=FEH=60，得出FEG=60，在RtEFG中，依据特别角的三角函数值求出EG和EQ的值，再由折叠的性质得出AE=EF，求出y关于

33、x的表达式，从而求出AB=2AQ+GB，即可依据比值消去参数x得出a的值28（2014年湖南湘西22分）如图，抛物线y=ax+bx+c关于y轴对称，它的极点在座标原点O，点B（2，4）和点C（3，3）两点均在抛物线上，点F（0，3）在y轴上，34过点（0，3）作直线l与x轴平行4（1）求抛物线的分析式和直线BC的分析式（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为什么值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接P

34、F并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QSl，垂足为点S，过点P作PNl，垂足为点N，试判断FNS的形状，并说明原由；（4）若点A（2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何地址时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网34最大最全最精的教育资源网【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的极点在座标原点O，抛物线分析式为y=ax2点C（3，3）在抛物线y=ax2上，.9a=3a=13抛物线的分析式为y=1x23设直线BC的分析式为y=mx+nB（2，4）、C（3，3）在直线y=mx+

35、n上，32mn4m13解得：33mn3n2直线BC的分析式为y1x23（2）点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），yD=1x2，且3x23DGx轴，xG=xD=x点G在抛物线y=12上，yG12x=3x31x21x21x21x22h=DG=yGyD=1x125.3333321210，312，32当x=1时，h取到最大值，最大值为25212h与x之间的函数关系式为h=1x21x2，此中3x2；当33x=1时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是25212（3）FNS是直角三角形原由以下：如答图1，过点F作FTPN，垂足为T，点P（m，n）是抛物线y=1x2上位于第三象限的

36、3一个动点，n=1m2m0，n03m2=3n新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网35最大最全最精的教育资源网在RtPTF中，PT=3n，FT=m，4222PF=PT2FT23nm23n3n3n3n4444PNl，且l是过点（0，3）平行于x轴的直线，4PN=nPF=PNPNF=PFNPNl，OFl，PNOFPNF=OFNPFN=OFN同理可得：QFS=OFSPFN+OFN+OFS+QFS=180，2OFN+2OFS=180OFN+OFS=90NFS=90NFS是直角三角形（4）当点M的坐标为（2，4）时，MF+MA的值最小，最小值为41312【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.

37、待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次根式的性质；6.由实质问题列函数关系式；7.勾股定理；8.平行的性质；9.线段的性质：两点之间线段最短【分析】（1）因为抛物线的极点在座标原点O，故抛物线的分析式可设为y=ax2，把点C的坐标代入即可求出抛物线的分析式；设直线BC的分析式为y=mx+n，把点B、C的坐标代入即可求出直线BC的分析式（2）由点D（x，y）在线段BC上可得yD=1x2，由点G在抛物线y=1x2上331x2可得yG=1x2由h=DG=yGyD配方可得h=125依据二次函数的最值性33212即可解决问题3）可以证明PF=PN，结合PNOF可推出PFN=OFN；同

38、理可得QFS=OFS由PFN+OFN+OFS+QFS=180可推出NFS=90，故NFS是直角三角形（4）如答图2，过点M作MHl，垂足为H，在（3）中已证到PF=PN，由此可得：抛物线y=1x2上3的点到点F（0，3）的距离与到直线y=3的距离相等44MF=MHMA+MF=MA+MH新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网36最大最全最精的教育资源网由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AMl）时，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH，即xM=xA=2时，MA+MF取到最小值此时，yM124，点M的坐标为（2，4）；2333yA1228yA=（2）2=，点A的坐标为（2，8）.

39、333MF+MA的最小值=AH38414312当点M的坐标为（2，4）时，MF+MA的值最小，最小值为413129.（2014年湖南郴州10分）已知抛物线2y=ax+bx+c经过A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点（1）求这条抛物线的分析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么地址时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直均分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的极点，那么在直线DE上能否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，央求出点G的坐标；若不存在，请说明原由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（

40、1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点abc0a14a2bc0，解得b1.c2c2这条抛物线的分析式为：y=x2+x+2（2）设直线BC的分析式为：y=kx+m，将B（2，0）、C（0，2）代入得：新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网37最大最全最精的教育资源网2km0，解得k1.m2m2直线BC的分析式为：y=x+2如答图1，连接BC四边形ABPC由ABC与PBC构成，ABC面积固定，则只要要使得PBC面积最大即可2设P（x，x+x+2），过点P作PFy轴，交BC于点F，则F（x，x+2）22PF=（x+x+2）（x+2）=x+2x1x）+1PF（xBx）=1PF（xBx）SPBC=S

41、PFC+SPFB=PF（xFCFC222=PF22SPBC=x+2x=（x1）+1.当x=1时，PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大此时P（1，2）当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大（3）存在CAO+ACO=90，CAO+AED=90，ACO=AED.又CAO=CAO，AOCADE.AEAD，即AE552，解得AE=.ACAO512E（3，0）2DE为线段AC的垂直均分线，点D为AC的中点，D（1，1）2可求得直线DE的分析式为：y1x32429，M（1,9）yx2x2x12424又A（1，0），则可求得直线AM的分析式为：y3x322DE为线段AC的垂直均分线，点A、C关

42、于直线DE对称如答图2，连接AM，与DE交于点G，新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网38最大最全最精的教育资源网此时CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求联立式，可求得交点G的坐标为（3,15）816在直线DE上存在一点G，使CMG的周长最小，点G的坐标为3,15）816【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.线段垂直均分线的性质；7.轴对称的应用（最短线路问题）.【分析】（1）利用待定系数法即可求得.（2）如答图1，四边形ABPC由ABC与PBC构成，ABC面积固定，则只要要使得PB

43、C面积最大即可求出PBC面积的表达式，而后利用二次函数性质求出最值.（3）如答图2，DE为线段AC的垂直均分线，则点A、C关于直线DE对称连接AM，与DE交于点G，此时CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求分别求出直线DE、AM的分析式，联立后求出点G的坐标10.（2014年江苏连云港14分）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行研究，已知AB=8.问题思虑：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？假如时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.2）分别连接AD、D

44、F、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，能否存在两个面积一直相等的三角形？请说明原由.问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长.（4）如图（3），在“问题思虑”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网39最大最全最精的教育资源网【答

45、案】解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设AP=x，则PB=8x，依据题意得这两个正方形面积之和x2228x2x216x642x432，当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32（2）存在两个面积一直相等的三角形，它们是APK与DFK原由以下：依题意画出图形，如答图1所示设AP=a，则PB=BF=8aPEBF，APKABF.PKAP，即PKBFAB8aa8aPK.8DKPDPKaa.8a8aa28.8a8aa28a2a28aSAPK1PKPA1,SDFK1DKEF1a8a168a.2222816SAPKSDFK.（3）当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动

46、时，不如设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A此时在RtAPQ中，O为PQ的中点，所以1AO=PQ=4所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上2新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网40最大最全最精的教育资源网PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如答图3所示.PQ的中点O所经过的路径的长为：324=64（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为113.【考点】1.单动点问题；2.正方形的性质；3.由实质问题列函数关系式；4.二次函数的最值；5.相似三角形

47、的判断和性质；6.动点轨迹；7.梯形中位线的性质；8.勾股定理；9.轴对称的应用（最短线路问题）.【分析】（1）设AP=x，则PB=8x，依据正方形的面积公式获取这两个正方形面积之和=x222（x-4）2+32，而后依据二次函数的最值问题求解8x，配方获取a8aa2（2）依据PEBF求得PK，而后依据面，从而求得DKPDPK88积公式即可求得（3）本问涉及点的运动轨迹，PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧.（4）本问涉及点的运动轨迹GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图3所示；而后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4所示如答图3，分别

48、过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形点O为中点，OS=1（GR+HT）=1（AP+PB）=4，即OS22为定值点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网41最大最全最精的教育资源网点O的运动路径为线段XY，XY=1MN=3，XYAB且平行2线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5如答图4，作点M关于直线XY的对称点M，连接BM，与XY交于点O由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM最小RtBMM中，MM=24=8，BM=7，由勾股定理得：BMMM2B

49、M2113OM+OB的最小值为113.（2014年江苏徐州10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD挪动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EGEF，EG与圆O订交于点G，连接CG1）试说明四边形EFCG是矩形；2）当圆O与射线BD相切时，点E停止挪动，在点E挪动的过程中，矩形EFCG的面积能否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明原由；求点G挪动路线的长【答案】解：（1）证明：如图，CE为O的直径，CFE=CGE=90EGEF，FEG=90CFE=CGE=FEG=90四边形EFCG是

50、矩形（2）存在如答图1，连接OD，四边形ABCD是矩形，A=ADC=90点O是CE的中点，OD=OC点D在O上新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网42最大最全最精的教育资源网FCE=FDE，A=CFE=90，CFEDABSCFECF2SDABDAAD=4，AB=3，BD=5.2CF23CF2SCFECFSDAB134.S矩形ABCD=2SDA1628CFE3CF2=4四边形EFCG是矩形，FCEGFCE=CEGGDC=CEG，FCE=FDE，GDC=FDEFDE+CDB=90，GDC+CDB=90GDB=90当点E在点A（E）处时，点F在点B（F）处，点G在点D（G处，如答图1所示此时，C

51、F=CB=4当点F在点D（F）处时，直径FGBD，如答图2所示，此时O与射线BD相切，CF=CD=3当CFBD时，CF最小，此时点F到达F，如答图3所示SBCD=1BC?CD=1BD?CF221243=5CFCF=512CF45S矩形ABCD=3CF22，312S矩形ABCD342，即4454108S矩形ABCD1225矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为10825新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网43最大最全最精的教育资源网GDC=FDE=定值，点G的起点为D，终点为G，点G的挪动路线是线段DGGDC=FDE，DCG=A=90，DCGDABDCDG，即3DG，解得DG15DADB4

52、54点G挪动路线的长为154【考点】1.圆的综合题；2.单动点问题；3.垂线段最短的性质；4.直角三角形斜边上的中线的性质；5.矩形的判断和性质；6.圆周角定理；7.切线的性质；8.相似三角形的判断和性质；9.分类思想的应用【分析】（1）只要证到三个内角等于90即可（2）易证点D在O上，依据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFEDAB，依据相似三角形的性质可获取S矩形ABCD=2SCFE=3CF2而后只要求出CF的4范围即可求出S矩形ABCD的范围依据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值，从而获取点G的挪动的路线是线段，只要找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可（2014

53、年江西南昌9分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是O上半部分的一个动点，连接OP，CP.1）求OPC的最大面积；2）求OCP的最大度数；3）如图2，延长PO交O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是O的切线.新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网44最大最全最精的教育资源网【答案】解：（1）OPC的边长OC是定值，当OPOC时，OC边长的高为最大值，此时OPC的面积最大.AB=4，BC=2，OP=OB=2，OC=OBBC=4.SOPC1OCOP1424，即OPC的最大面积为4.222）当PC与O相切即OPPC时，OCP的度数最大.RtOPC，OPC

54、=90，OC=4，OP=2，sinOCPOP21，OCP=30，即OCP的最大度数为30.OC423）证明：如答图，连接AP，BP，AOP=DOB，AP=DB.CP=DB，AP=CP.A=C.A=D，C=D.在PDB与OCP中，OC=PD=4，C=D，PC=BD，PDBOPC（SAS）.OPC=PBD.PD是直径，PBD=90.OPC=90，即OPPC.又OP是圆的半径，PC是O的切线【考点】1.单动点问题；2.切线的判断和性质；3.锐角三角函数定义；4.特别角的三角函数值；5.圆周角定理；6.全等三角形的判断和性质【分析】（1）当OPOC时，OC边长的高为最大值，此时OPC的面积最大，据此求

55、解即可.2）当PC相切于O时，面积和OCP的度数最大，依据切线的性质即可求得3）连接AP，BP经过ODBBPC可求得DPPC，从而求得PC是O的切线（2014年江西省9分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是O上半部分的一个动点，连接OP，CP.1）求OPC的最大面积；2）求OCP的最大度数；新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网45最大最全最精的教育资源网（3）如图2，延长PO交O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是O的切线.【答案】解：（1）OPC的边长OC是定值，当OPOC时，OC边长的高为最大值，此时OPC的面积最大.AB=4，BC=2，O

56、P=OB=2，OC=OBBC=4.SOPC1OCOP1424，即OPC的最大面积为4.222）当PC与O相切即OPPC时，OCP的度数最大.RtOPC，OPC=90，OC=4，OP=2，sinOCPOP21，OCP=30，即OCP的最大度数为30.OC42（3）证明：如答图，连接AP，BP，AOP=DOB，AP=DB.CP=DB，AP=CP.A=C.A=D，C=D.在PDB与OCP中，OC=PD=4，C=D，PC=BD，PDBOPC（SAS）.OPC=PBD.PD是直径，PBD=90.OPC=90，即OPPC.又OP是圆的半径，PC是O的切线【考点】1.单动点问题；2.切线的判断和性质；3.锐

57、角三角函数定义；4.特别角的三角函数值；5.圆周角定理；6.全等三角形的判断和性质【分析】（1）当OPOC时，OC边长的高为最大值，此时OPC的面积最大，据此求解即可.2）当PC相切于O时，面积和OCP的度数最大，依据切线的性质即可求得3）连接AP，BP经过ODBBPC可求得DPPC，从而求得PC是O的切线14.（2014年山东德州12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），而且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网46最大最全最精的教育资源网1）求抛物线的分析式；2）能否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形

58、？若存在，求出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，说明原由；3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标【答案】解：（1）由A（4，0），可知OA=4，OA=OC=4OB，OA=OC=4，OB=1C（0，4），B（1，0）设抛物线的分析式是y=ax2+bx+x，abc0a1则16a4bc0，解得：b3c4c4抛物线的分析式是：2y=x+3x+4（2）存在第一种状况，如答图1，当以C为直角极点时，过点C作CP1AC，交抛物线于点P1过点P1作y轴的垂线，垂足是MACP1=90，MCP1+ACO=90ACO+OA

59、C=90，MCP1=OACOA=OC，MCP1=OAC=45MCP1=MP1CMC=MP1224，解得：m1=0（舍去），设P（m，m+3m+4），则m=m+3m+4m2=22m+3m+4=6，即P（2，6）第二种状况，如答图1，当点A为直角极点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F新世纪教育网最新、最全、最精的教育资源网47最大最全最精的教育资源网P2Nx轴，由CAO=45，OAP=45FP2N=45，AO=OFP2N=NF，22）1，解得：n1=2，n2=4设P2（n，n+3n+4），则n=（n+3n+4（舍去），n2+3n+4=6，则P2

60、的坐标是（2，6）综上所述，P的坐标是（2，6）或（2，6）；3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF依据垂线段最短，合适ODAC时，OD最短，即EF最短由（1）可知，在直角AOC中，OC=OA=4，则AC=OC2OA242，依据等腰三角形的性质，D是AC的中点又DFOC，DF=1OC=2，点P的纵坐标是222317，则x+3x+1=2，解得：x=2当EF最短时，点P的坐标是：（317，0）或（317，0）22【考点】1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的性质；4.等腰三角形的性质；5.勾股定理；6.垂直线段最短的性质；7.分类思想和方程思想的