利用导数求函数单调性题型全归纳

1、利用导数求函数单一性题型全概括一.求单一区间二.函数单一性的判断与逆用.利用单一性求字母取值范围四.比较大小五.证明不等式.求极值七.求最值八.解不等式.函数零点个数（方程根的个数）十.研究函数图像一.求单一区间例1.已知函数f(x)axx2xlna(a0,a1)，求函数f(x)的单一区间解：f(x)axlna+2xlna2x+(ax1)lna.则令g(x)f(x)，由于当a0,a1，因此g(x)2axln2a0因此f(x)在R上是增函数,又f(0)0,因此不等式f(x)0的解集为(0,+),故函数f(x)的单一增区间为(0,+)减区间为：(，0)变式：已知f(x)exax，求f(x)的单一区

2、间解：f(x)exa，当a0时，f(x)0，f(x)单一递加当a0时，由f(x)exa0得：xlna，f(x)在(lna,)单一递加由f(x)exa0得：xlna，f(x)在(，lna)单一递加综上所述：当a0时，f(x)的单一递加区间为：（，），无单一递减区间当a0时，f(x)的单一递加区间为：(lna,)，递减区间为：(，lna)二.函数单一性的判断与逆用例2.已知函数f(x)x3ax22x5（11也不是单一递减，）上既不是单一递加函数，在32a的取值会合函数，求正整数解：f(x)3x22ax2由于函数f(x)x3ax22x（11，）上既不是单一递加函数，也不是单一递减函数5在3211因此

3、f(x)3x22ax2=0在（3，）上有解2因此f(1)f(1)0又aN*，解得：5a5因此正整数a的取值会合232，42，三.利用单一性求字母取值范围例3.已知函数fx=x-ax，若函数y=f(x)1+?）上是减函数，务实数a的()lnx在（，最小值.解：由于f(x=x-ax1+?）上是减函数)lnx在（，因此f(x)=lnx-1-a?0在（1，+?）上恒建立，即a3lnx-1在（1，+?）上恒建立(lnx)2(lnx)2令t=lnx,(x1)，则t0，h(t)=t-1则a3h(t)maxt2(t0)，由于h(t)=t-21=-(1)2+1=-(1-1)2+1因此h(t)max=h(2)=1

4、因此a31tttt24，4，4变式：若函数1312f(x)=x-ax+(a-1)x+1在区间（1,4）(6,+?)32上为减函数，在区间上为增函数，试务实数a的取值范围.解：f(x)=x2-ax+a-1由于函数y=f(x)在区间上为减函数，在区间(6,+?)上为增函数（1,4）?f(x)?0，因此?f(x)?0,x?(1,4)x?(6,?)2-ax+a-1?0，x?(1,4)?x?恒建立，即?2-ax+a-1?0,x?(6,?)?x2-1?x?a?x-1?因此2?x-1?a?x-1?四.比较大小x+1,x?(1,4)1?a?4?因此5a7因此?1，x+1,x?(6,?)?a?6，例4.设a为实

5、数，当aln2-1且x0时，比较ex与x2-2ax+1的大小关系.解：令f(x)=ex-x2+2ax-1(x0)，则f(x)=ex-2x+2a令g(x)=f(x)则g(x)=ex-2，令g(x)=0得：x=ln2当xln2时，g(x)0；当xln2时，g(x)ln2-1，因此g(x)=f(x)0，因此f(x)在（0，+?）上单一递加因此f(x)f(0)=0，即ex-x2+2ax-10，因此exx2-2ax+1变式：对于R上的可导函数y=f(x)，若满足(x-3)f(x)0，比较f(1)+f(11)与2f(3)的大小关系.解：由于(x-3)f(x)0因此当x3时，f(x)0，f(x)单一递加，故

6、f(11)f(3)当x3时，f(x)0，f(x)单一递减，故f(1)f(3)因此f(1)+f(11)2f(3)五.证明不等式例5.已知函数f(x)|lnx|，g(x)k(x1)(kR).证明：当k1时，存在x01，使得对随意的x(1,x0)，恒有f(x)g(x).证明：令G(x)|lnx|k(x1)=lnxk(x1),x(1,)则有G(x)1k1kx,x(1,)xx当k0或k1时，1G(x)0，故G(x)）上单一递加，G(x)G(1)0.故任在（，意实数x(1,)均满足题意.当0k1时，令G(x)=0，得x11.1k1当x(1,)时，G(x)0，故G(x)在(1,)上单一递加kk当x(1，)时

7、，G(x)0，故G(x)在(1，)上单一递减kk取x01，对随意x(1,x0)，有G(x)0，故G(x)在(1,x0)上单一递加k因此G(x)G(1)0即f(x)g(x)综上所述：当k1时，存在x01，使得对随意的x(1,x0)，恒有f(x)g(x).，变式：已知对于x的方程(1x)exax2a有两个不一样的实数根x1、x2.求证：x1+x20证明：由于(1x)exax2a，因此a(1x)ex令f(x)(12x)exx21，x1则f(x)x(x22x3)exx(x1)22ex22（x22（x1）1）当x0时f(x)0，f(x)单一递减，当x0时f(x)0，f(x)单一递加由于对于x的方程(1x

8、)exax2a有两个不一样的实数根x1、x2因此不如设x1(,0),x2(0,)，要证：x1+x20，只需证：x2x1由于x2x1（0，），且函数f(x)在（0，）上单一递减因此只需证：f(x2)f(x1)，又由于f(x2)=f(x1)，因此只需证：f(x1)f(x1)(1x)ex1(1x)ex1即证：11x121x121即证：(1x)ex(1x)ex0对x（，0）恒建立令g(x)(1x)ex(1)x，x（，0），则g(x)(xex)xexe由于x（，0）因此exex0，因此g(x)x(exex)0恒建立因此g(x)(1x)ex(1x)ex在（，0）上单一递减，因此g(x)g(0)0综上所述：

9、x1+x20六.求极值例6.已知函数2xf(x)(xaxa)e，能否存在实数a，使得函数f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明原由.解：f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex=(xa)(x2)ex令f(x)=0得：xa或x2当a2时，f(x)0恒建立，无极值，舍去当a2时，a2x（，-2）2(2,a)a（a，）f(x)00f(x)递加极大值递减极小值递加由表可知：f(x)极大值=f(2)(42aa)e23解得：a43e22当a2时，a2x（，-a）a(a,2)2（2，）f(x)00f(x)递加极大值递减极小值递加由表可知：f(x)极大值=f(a)(a

10、2a2a)ea3，即aea3，因此：a=3ea令g(a)3eaa(a2)，则g(a)3ea13e210因此yg(a)在（2，）上单一递加，又g(2)3e220因此函数yg(a)在上无零点，即方程a=3a无解（2，）e综上所述：存在实数a，使得函数f(x)的极大值为3，此时a43e2七.求最值例7.已知函数f(x)axx2xlna(a0,a1)，若存在x1,x21,1,使得f(x1)f(x2)e1（此中e是自然对数的底数),务实数a的取值范围.解：由于存在x1,x21,1,使得f(x1)f(x2)e1建立,而当x1,1时,f(x1)f(x2)f(x)maxf(x)min,因此只需f(x)maxf

11、(x)mine1即可又由于x,f(x),f(x)的变化状况以下表所示:x(,0)0(0,+)f(x)0+f(x)减函数极小值增函数因此f(x)在1,0上是减函数,在0,1上是增函数,因此当x1,1时,fx的最小值fxminf01,fx的最大值fxmax为f1和f1中的最大值.由于f(1)f(1)(a+1lna)(1+1+lna)a12lna,aa令g(a)a12lna(a0),由于g(a)1+12(11)20,aa2aa因此g(a)a12lna在a0,上是增函数.a而g(1)0,故当a1时,ga0,即f(1)f(1);当0a1时,ga0,即f(1)f(1)因此,当a1时,f(1)f(0)e1,

12、即alnae1,函数yalna在a(1,)上是增函数,解得ae;当0a1时,f(1)f(0)e1,即1lnae1,函数y1lna在a(0,1)上是减aa函数,解得0a1.e综上可知,所求a的取值范围为a(0,1Ue,+)e变式：已知函数f()exaln(xa)(a0)在区间上的最小值为，务实数a的x（0，）1值.解：f(x)=exa1令g(x)f(x)，则g(x)=exa120 xa，(xa）因此yg(x)在区间（0，）单一递加，因此存在独一的x0（，），使得0g(x0)ex0a1a0即ex0a=x01ax0，因此当x(0,x0)时，g(x)f(x)0，yf(x)单一递减当x(x0，)时，g(

13、x)f(x)0，yf(x)单一递加因此f(x)minf(x0)ex0aln(x0a)，由ex0a=1得：x0a=ln(x0a)x0a因此f(x)minf(x0)ex0aln(x0a)=1x0ax0a1(x0a)2a=ax021(x0a)2ax0a22a当且仅当1=x0a即x0a=1，f(x)minf(x0)22ax0a由22a=1得a11a12，此时x0=，满足条件，因此2八.解不等式2例8.函数f(x)(xR)，f(0)2，对随意xR，f(x)f(x)1，解不等式：exf(x)ex1解：令g(x)x(x)x则g()x()x()xx(f(x)f()1)efe，xefxefxeex由于对随意xR

14、，f()f()1因此g(x)0，xx，因此yg(x)为R上的单一递加函数，又g(0)f(0)11因此当exf(x)ex1即exf(x)ex1，因此g(x)g(0)，因此x0即不等式：exf(x)ex1的解集为（0，）变式：已知定义在R上的可导函数y=f(x)满足f(x)1-3m，求m的取值范围.解：令g(x)f(x)x，则g(x)f(x)1，由于f(x)1-3m，得：f(1-2m)-（1-2m)f(m)-m即g(12m)g(m)，因此12mm，即m13九.函数零点个数（方程根的个数）例9.已知f(x)2ln(xa)x2x在x0处获得极值.若对于x的方程f(x)b0在区间1,1上恰有两个不一样的

15、实数根，务实数b的取值范围.解：f(x)22x1由于f(x)2ln(xa)x2x在x0处获得极值xa，因此f(0)21=0，即a2，检验知a2切合题意.a令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb，x1,1g(x)2x2xg(x)g(x)因此g(x)极大值2x(x5)2x12(1x1)x2-1（1,0）0（0,1）10b递加极大值递减2ln32b=g(0)2ln2b由于方程f(x)b0在区间1,1上恰有两个不一样的实数根g(1)0b0因此g(0)0，即2ln2b0解得：2ln2b22ln3g(1)02ln32b0因此实数b的取值范围是：（2ln2，22ln3变式：已知函数y=f(x)是R上的可

16、导函数，当x10时，有f(x)+f(x)0，判断函13x数F(x)=xf(x)+的零点个数x解：当x10时，有f(x)+f(x)0即xf(x)+f(x)0 x，x令g(x)xf(x)，则g(x)=xf(x)+f(x)因此当x0时，yg(x)0g(x)=xf(x)+f(x)0，函数）单一递加在（，且g(x)g(0)=0，因此当x0时，F(x)=xf(x)+130恒建立，函数y=F(x)无零点x当x0时，(x)+f(x)0，函数yg(x)在（-，0）单一递减g(x)=xf且g(x)g(0)=0恒建立因此F(x)=xf(x)+13在（-，0）上为单一递减函数x0，因此F(x)?13且当x0时，xf(

17、x)?0时，1?x当x0，因此F(x)?xf(x)0 x13因此F(x)=xf(x)+在（-，0）上有独一零点x13综上所述：F(x)=xf(x)+（-，0）U（0,+）x在上有独一零点十.研究函数图像例10.设函数在定义域内可导，yf(x)的图像以以下图，则导函数yf(x)的图像可能为以下图像的.解：由yf(x)的图像可判断出：f(x)在(,0)递减，在(0，)上先增后减再增（1）（2）（4）(x)0，再有f(x)0.因此在(,0)上f(x)0，在(0，)上先有f(x)0，后有f因此图（4）切合.变式：已知函数f(x)ln(2x)，若对于x的不等式f2(x)af(x)0只有两个整数解，求实数a的取值范围.x解：f(x)=1ln(2x)，令f(x)=0得xex22因此当0 xe(x)0,f(x)单一递加时，fe2当x0,f(x)