高中数学必修二 8.5 空间直线、平面的平行（精讲）(含答案)

1、8.5 空间直线、平面的平行(精讲)思维导图常见考法考点一 线线平行【例1-1】(2021全国高一课时练习)如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是( )Al与AD平行Bl与AD不平行Cl与AC平行Dl与BD平行【答案】A【解析】假设，则由，知，这与直线与直线不平行矛盾，所以直线与直线不平行.故选：A.【例1-2】(2021全国高一课时练习)已知，则等于AB或CD以上答案都不对【答案】B【解析】ABC的两边与PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同.PQR30或150故选B.【例1-3】(2021全国高一课时练习)在三棱锥中，分别是边的中点(1)求证：四边形是平

2、行四边形；(2)若，求证：四边形为菱形【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)分别是边的中点,四边形是平行四边形；(2)若，则，四边形是平行四边形，四边形为菱形【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)已知直线a直线b，直线b直线c，直线c直线d，则a与d的位置关系是( )A平行B相交C异面D不确定【答案】A【解析】ab，bc，ac.又cd，ad.故选：A.2(2021全国高一课时练习)下列结论中正确的是( )在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间中有四条直线a，b，c，d，如

3、果ab，cd，且ad，那么bc.ABCD【答案】B【解析】错误，两条直线可以异面；正确，平行的传递性；错误，和另一条直线可以相交也可以异面；正确，平行的传递性.故选：B.3(2021四川省南充市白塔中学高一月考)如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )A3条B4条C5条D6条【答案】B【解析】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EFB1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.4(2021全国高一课时练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱B

4、C的平行线，应该怎样画?并说明理由.【答案】答案见解析【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EFB1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，直线EF即为所求.理由如下：由EFB1C1，BCB1C1，则EFBC.5(2021全国高一课时练习)长方体中，分别为棱的中点.(1)求证：；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(1)如图，取的中点，连接.在矩形中，易得，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以.在矩形中，易得，.所以四边形为平行四边形，所以，所以.(2)因为，又与的对应边方向相同，所以.考点二 线面平行【例2-1】(2021山东任城高一期中)如图

5、所示，斜三棱柱中，点为上的中点(1)求证：平面；(2)设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，又点D1为A1C1的中点，所以OD1BC1，又OD1平面AB1D1，B1C平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1(2)V1V2所以【例2-2】(2021全国高一课时练习)如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC平面A1B1C1.【答案】存在【解析】存在，取A

6、B的中点O，连接OC，作ODAA1交A1B1于点D，连接C1D，则ODBB1CC1.因为O是AB的中点，所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，所以OCC1D.又C1D平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，所以OC平面A1B1C1.即在边AB上存在一点O，使得OC平面A1B1C1.【一隅三反】1(2021山东任城高一期中)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是()ABCD【答案】D【解析】A：由正方体性质有ABNQ，面，面可知：面，排除；B、C：由正方体性质有ABMQ

7、，面，面可知：面，排除；D：由正方体性质易知：直线AB不平行与面MNQ，满足题意.故选：D2(2021山西太原市第五十六中学校高一月考)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为( )平面PBC 平面PCD 平面PDA 平面PBAA1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】对于，平面，故错误；对于，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故正确；对于，由于，平面，平面，则平面，故正确；对于，由于平面，故错误故选：B3(2021全国高一课时练习)如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】连接，因为分别是的中

8、点，所以且，因为是三棱柱，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且因为是的中点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又平面平面，所以平面4(2021全国高一课时练习)已知正方形，如图1分别是的中点，将沿折起，如图2所示，求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为分别为的中点，所以又因为，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，而平面，所以平面5(2021山西柳林高一月考)如图，在正三棱柱中，为棱的中点(1)若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为多少？(2)在线段上确定一点，使得平面，并说明理由【答案】(1)；(2)取的中点为；理由见解析【解析】(1)设正三棱柱的底面边长为，高为，在与中

9、，因为，所以，而是面积为6的直角三角形，所以，所以解得：，所以正三棱柱的体积为(2)取的中点为，取的中点为，连接，则，而平面，平面，所以平面，同理平面，所以平面平面，而平面，所以平面考点三 面面平行【例3-1】(2021全国高一课时练习)如图，四边形为矩形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，求证：平面平面.【答案】证明见解析.【解析】因为四边形为矩形，所以，又因为平面，平面,所以平面，因为和均为等腰直角三角形，且，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，又由平面，平面，且，所以平面平面.【例3-2】(2021浙江省诸暨市第二高级中学高一期中)已知四棱锥的高为，底面是直角梯形，其中，为边的中点.

10、(1)证明：平面；(2)直线上是否存在一点，使得平面平面？请说明理由；(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析；(3).【解析】(1)取PA的中点M，连接BM，EM，四边形BCEM是平行四边形，又平面，平面，平面(2)当点F是边AD的中点时，平面平面因为四边形为矩形，所以，而平面，平面，所以平面，由(1)知，平面，而平面，平面，且，所以平面平面(3)【一隅三反】1(2021山东任城高一期中)如图，在正方体中，是的中点，分别是，的中点求证：(1)直线平面；(2)平面平面；(3)若正方体棱长为1，过，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积【答案】

11、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)画图见解析，截面的面积为【解析】(1)证明：连接SB，由EG为CSB的中位线，可得EGSB，由EG平面BDD1B1，SB平面BDD1B1，可得EG平面BDD1B1；(2)由EFDB，EF平面BDD1B1，DB平面BDD1B1，可得EF平面BDD1B1，又由(1)可得EG平面BDD1B1，EFEGE，可得平面EFG平面BDD1B1；(3)取B1C1的中点N，连接A1N，NE，可得AEA1N，AEA1N，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，可得MC1A1N，MC1A1N，可得截面AEC1M为平行四边形，且AEEC1AMMC1，所以截面的面积为A1C1ME

12、2(2021全国高一课时练习)如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？【答案】当为的中点时，证明见解析.【解析】当为的中点时，平面平面连接，因为为的中点，为的中点，所以又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面连接，则，又为的中点，为的中点，所以平面，平面，所以平面又，所以平面平面3(2021山东枣庄高一期中)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析

13、】证明：(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB且A1G=EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEF=E，A1E平面EFA1，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.4(2021广东肇庆市高要区第二中学高一月考)如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，G为棱上的动点(1)当G是的中点时，判断平面与平面的位置关系

14、，并加以证明；(2)若直线与D1C所成的角为，求三棱锥的体积【答案】(1)平面与平面平行，证明见解析；(2).【解析】(1)依题意可以判断，平面与平面平行连结，分别是的中点，又，且，四边形是平行四边形，又平面，且平面，平面 同理可得BD/平面EFG，又，平面，故平面/平面.(2)取的中点O，连结，由题意可知，平面， 因为GO/D1C，是直线与所成的角，在中，在中， 考点四 判断及性质定理的辨析【例4】(2021江苏无锡市第六高级中学高一期中)以下命题(其中a，b表示直线，表示平面)，其中正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】对于A选项，若，则或，故错误；对于B选项，若

15、，则或相交或异面，故错误；对于C选项，若，则或，故错误；对于D选项，若，则，为线面平行的性质，故正确.故选：D【一隅三反】1(2021山东济南一中高一期中)设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A，则B是两条异面直线，若则C若，则D若则【答案】B【解析】对于A：若，则或，故选项A不正确；对于B：设直线，且，则直线和确定平面，因为，所以，因为，所以平面，同理可证，所以，故选项B正确；对于C：当与相交时，和都平行于与的交线时，也满足，但与不平行，故选项C不正确；对于D：若则或，故选项D不正确；故选：B.2(2021江西景德镇一中高一期中)已知，为三条不同的直线，为三个不同的平面，

16、则下列说法正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则平面可能相交，故B错误；对于C：若，则或，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以.故D正确.故选：D3(2021湖北黄石市有色第一中学高一期中)已知a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面其中正确的命题( )，；，；，；，；，ABCD【答案】A【解析】，由平行公理4得，正确；，则与有可能平行、相交、异面，故错误；，则或，故错误；，；则或，故错误；，由线面平行的判定定理可得故选：A.考点五 平行的综合运用【例5-1】(2021全国高一课时练习)如图所示，正方体中，点为的中点

17、，点在上若平面，则线段的长度等于_【答案】【解析】在正方体中，又为中点，平面，平面，平面平面，为中点，故答案为：.【例5-2】(2021河北辛集中学高一期中)点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是( )ABCD【答案】B【解析】如图，分别取的中点，连接，则，因为是的中点，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面平面，所以点在上运动，使面，因为的棱长为2，所以所以当点与或重合时，最长，当点在的中点时，最短，的最小值为，所以

18、的长度范围是，故选：B 【一隅三反】1(2021浙江省诸暨市第二高级中学高一期中)如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，分别是侧棱上的动点，点在棱上，且，若平面，则_.【答案】1【解析】由题意可知，长方体的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形，连接AC交BD于O，连接PO，因为EF平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以. 在上截取PQ，使得PQ=PA=1，连接QC，易知O为AC的中点，所以，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以.又，所以，所以CF=1.故答案为：1.2(2021山西运城高一期中)在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点(含边界)，若平面BDEF，则点的轨迹长为( )A1BC2D【答案】B【解析】如图所示，分别取棱的中点MN，连接MN，连接，MNEF为所在棱的中点，又平面BDEF，平