高中数学必修二 6. 平面向量的基本定理及坐标表示（精练）(含答案)

1、6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1(2021全国高一课时练习)下列说法错误的是( )A一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C平面上向量的基底不唯一D平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，故选：B2(2021浙江宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )ABCD【

2、答案】AC【解析】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.B选项，不平行，可以作为基底.C选项，所以平行，不能作为基底.D选项，不平行，可以作为基底.故选：AC3(2021福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )ABCD【答案】BD【解析】A由于，因为零向量与任意向量共线，因此共线，不能作基底，B因为，所以两向量不共线，可以作基底，C因为，所以两向量共线，不能作基底，D因为，所以两向量不共线，可以作基底，故选：BD.4(2021湖北孝感高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A，B，C，D，【答案】AC【解析】对A，不能作为基底；对B

3、，与不平行，可以作为基底；对C，不能作为基底；对D，与不平行，可以作为基底.故选：AC.5(2021全国高一课时练习)已知与不共线，且与是一组基，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为与不共线，若与共线，则，即，所以，解得，因为与是一组基底，所以若与不共线，所以实数的取值范围是，故答案为：【题组二 向量的基本定理】1(2021广东汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为( )ABCD【答案】A【解析】由，可得，整理可得，所以，故选：A2(2021四川成都外国语学校高一月考(文)我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称

4、其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若，则=( )ABCD【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，所以，解得，即，故选：B3(2021陕西西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量，其中的夹角为，的夹角为，且，若则( )ABCD【答案】C【解析】如图所示：过点作，交直线于点，因为的夹角为，的夹角为，所以，在中，由，可得，所以，所以， ，所以.故选：C.4(2021全国高一课时练习)若，且，则实数x，y的值分别是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】由题意，又故选：C5(20

5、21江苏南京高一期末)在中，D是内一点，且设，则( )ABCD【答案】B【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)DAB45，所以设D点的坐标为(m， m)(m0)则m，且m，即 故选：B6(2021山西临汾高一期末)在中，已知，是内一点，且，若，则( )ABCD【答案】A【解析】以为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则、，由于，可设，因为，所以，所以，因此，.故选：A.7(2021安徽宣城高一期中)如图，在长方形中，点在线段上运动，若，则( )A1BC2D【答案】A【解析】解：由题

6、可得，设，因为是长方形，所以以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则、，则，因为，所以，所以，因为点在上运动，所以有，所以，整理得，故选：A.8(2021上海高一课时练习)已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且x，y，求的值为_【答案】3【解析】根据条件：，如图设D为BC的中点，则因为G是的重心，又M，G，N三点共线，即.故答案为：3.9(2021黑龙江大庆中学高一月考)如图，经过的重心G的直线与分别交于点，设，则的值为_【答案】3【解析】设，由题意知，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即，从而消去，得故答案为：310(2021

7、河北大名高一期中)已知平面内三个向量，(1)求；(2)求满足的实数，；(3)若，求实数【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)，(2)由得，解得(3)，解得11(2021福建莆田第七中学高一期中)已知两向量，.(1)当为何值时，与共线？(2)若，且，三点共线，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，.当与共线时，解得.(2)由已知可得，.因为，三点共线，所以，所以.解得.12(2021安徽宿州高一期中)已知，.(1)当k为何值时，与平行.(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，.因为与共线，所以，解得.(2)因为A，B，C三点共线，所以，

8、即，又因为与不共线，与可作为平面内所有向量的一组基底，所以， 解得.【题组三 线性运算的坐标表示】1(2021天津红桥高一学业考试)若向量，则的坐标为( )A(2，3)B(0，3)C(0，1)D(3，5)【答案】B【解析】解：因为，所以故选：B2(2021山东邹城高一期中)已知向量，则( )AB5C7D25【答案】B【解析】根据题意，向量，则，故.故选：B3(2021全国高一专题练习)已知向量，若，共线，则实数x的值为( )A-1B2C1或-2D-1或2【答案】D【解析】因为向量，且，共线，所以，解得或，故选：D4(2021全国高一单元测试)已知，且，则锐角等于( )A45B30C60D30或

9、60【答案】A【解析】因为，所以，得，即，因为为锐角，所以，即.故选：A5(2021云南省永善县第一中学高一月考)已知点，三点共线，则( )A0B1CD【答案】B【解析】因为，三点共线，所以可设，因为，所以，解得，所以.故选：B.6(2021广东佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知，下列计算正确的是( )ABCD【答案】AB【解析】因为，所以，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB.7(2021湖南永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量，则( )A若与垂直，则B若，则C若，则D若，则与的夹角为【答案】BC【解析】A：与垂直，则，可得，故错误；B：，则，可得，故正确；C：

10、有，则，可得，故正确；D：时，有，所以，即与的夹角不为，故错误.故选：BC8(2021全国高一课时练习)(多选)已知，若为直角三角形，则k可取的值是( )A1B2C4D6【答案】AD【解析】因为，所以，当为直角时，所以，所以，当为直角时，所以，所以，当为直角时，所以，此时无解，故选：AD.9(2021河北正定中学高一月考)(多选)已知向量，则( )ABC向量在向量上的投影向量是D是向量的单位向量【答案】AD【解析】对于A，则，所以，故A正确；对于B，则，故B错误；对于C，向量在向量上的投影向量为，故C错误；对于D，因为向量的模等于1，所以向量与向量共线，故是向量的单位向量，故D正确.故选：AD

11、.10(2021全国高一课时练习)已知平面向量=(2，1)，=(m，2)，且，则3+2=_.【答案】(14，7)【解析】因为向量=(2，1)，=(m，2)，且，所以1m-22=0，解得m=4.所以=(4，2).故3+2=(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11(2021全国高一课时练习)已知向量(m，3)，(2，1)，若向量，则实数m为_【答案】【解析】，m60，故答案为：.12(2021全国高一课时练习)已知，若A，B，C三点共线，则_.【答案】【解析】解：，则，若A，B，C三点共线，则向量与向量共线，则有，解得：.故答案为：.13(2021全国高一课时练习)已知向量

12、，若与平行，则_.【答案】-2【解析】因为向量，所以，又因为与平行，所以，解得，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1(2021全国高一单元测试)已知矩形ABCD中，AB3，AD4，E为AB上的点，且2，F为BC的中点，则( )A2B5C6D8【答案】B【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系，则，则故选：B2(2021吉林延边二中高一期中)在中， ，为线段的三等分点，则( )ABCD【答案】C【解析】中，|，22，0，建立如图所示的平面直角坐标系，由E，F为BC边的三等分点，则A(0，0)，B(0，4)，C(2，0)，E(，)，F(，)

13、，(，)，(，)，+故选：C3(2021福建省宁化第一中学高一月考)在菱形中，若，则( )ABCD【答案】D【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为因为，所以,即是的中点，所以所以，由题知.故故选：D4(2021广东东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 ，则下列命题正确的是( )A若，则B若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C存在，使得D的最大值为【答案】BCD【解析】对A，若，则，则，故A错误；对B，若在上的投影向量为，且，则，故B正确；对C，若，若，则，即，故，故C正确；对D，因为，则当时，的最大值为，故D正确.故选：BCD.5(2021上海高一课时练习)已知点A

14、(-1，1)B(1，2)C(-2，-1)D(3，4)，则向量在方向上的投影为_.【答案】【解析】，所以向量在方向上的投影为.故答案为：.6(2021上海高一课时练习)设=(2，x)， =(-4，5)，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是_.【答案】且【解析】为钝角，且两向量不共线，即，解得，当时，解得，又因不共线，所以，所以x的取值范围是且.故答案为：且.7(2021北京大峪中学高一期中)如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_.【答案】2【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则，；，；，.故答案为：2.8(2021河北张家口高一期末)在中，点P是线段上一动点，则的最小值是

15、_.【答案】【解析】在中，由余弦定理得，所以是直角三角形，以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设点P坐标为，直线对应一次函数为，所以，对称轴，当时，取得最小值.故答案为：9(2021山西平遥县第二中学校高一月考)向量，且与垂直，则_.【答案】【解析】由题意，向量，可得，因为与垂直，可得，解得.故答案为：.10(2021上海高一课时练习)已知(1，2)，(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)与的夹角为直角；(2)与的夹角为钝角；(3)与的夹角为锐角【答案】(1)；(2)；(3)(2，)【解析】设与的夹角为，则(1，2)(1，)12(1)因为与的夹角为直角，

16、所以，所以，所以120，所以(2)因为与的夹角为钝角，所以且，所以且与不反向由得120，故0且与不同向由0，得，由与同向得2所以的取值范围为(2，)11(2021江西九江一中高一期中)在中，底边上的中线，若动点满足(1)求的最大值；(2)若，求的范围【答案】(1)；(2)【解析】，A、P、D三点共线又，在线段上.为中点，设，则， =，的最大值为2(2)如图，以D为原点，BC为轴，为轴，建立坐标系，设，则=，12(2021江苏省丹阳高级中学高一月考)已知，.在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若_，求实数的值；(2)若向量，且，求.【答案】(1)选：，选：，选：；(2)

17、.【解析】因为，所以，选：(1)因为，所以；即，解得；(2)，所以，可得，所以，所以；选：(1)因为，所以；即，解得：；(2)，所以，可得，所以，所以；选：(1)因为，所以，即，解得：；(2)，所以，可得，所以，所以.13(2021河南高一期末)已知向量.(1)若向量，且与垂直，求实数的值；(2)若向量，且与的夹角为钝角，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，结合与垂直，得到，解得，所以实数的值为.(2)因为与的夹角为钝角，所以，.又当时，所以且.因为，所以.由于当且时，.所以的取值范围为.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1(2021全国高三专题练习)已知向量，(1)若

18、，试研究函数在区间上的单调性；(2)若，且，试求m的值【答案】(1)时，函数单调递增，时，函数单调递减；(2) .【解析】(1)当时，由，得当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减(2)由可得由，可得(若，则()，此时，与条件矛盾)从而有，即，两边同除以，可得，2(2021江苏金陵中学高一期中)设向量(1)若与垂直，求的值；(2)求的最小值【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为与垂直，所以，即，所以，所以，所以；(2)因为，所以当，即时取最小值，所以的最小值为.3(2021江苏铜山高一期中)已知向量，函数，(1)当时，求函数的值；(2)若不等式对所有恒成立.求实数的范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为向量，当时， ，；(2)不等式对所有恒成立，即对所有恒成立，令，可得，所以，因为，所以，所以所以对于恒成立，即对于恒成立，因为，所以对于恒成立，令，只需，因为，当且仅当即时，等号成立取得最小值，所以，所以实数的范围为.4(2021江苏宜兴高一期中)已知向量(2cos，2sin)，(6cos，6sin)，且2(1)求向量与的夹角；(2)若，求实数t的值【答案】(1)；(2)【解析】(1)由(2cos，2sin)，(6cos，6sin)，得，又，则，设向量与的夹角为，则cos，又0，；(2)由，得，即，4t212t+3627，4t212t+90，解