数学建模实验报告-数学规划模型

1、数学建模B实验名称：数学规划模型学生班级：学生姓名：班内序号: 数学规划模型、实验目的（1）着重于数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型（2）在用现成的数学软件求解后，对结果做一些分析.二、实验题目题目一：某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%,售价分别为4800元/t和5600元/t.该公司现有原油A和B的库存量分别为500t和10001,还可以从市场上买到不超过15001的原油A.原油A的市场价为：购买量不超过5001时的单价为10000元/t；购买量超过5001但不超过10001时，超过5001的部分8000

2、元/1；购买量超过10001时，超过10001的部分6000元/1.该公司应如何安排原油的采购和加工?题目二：某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上位置如图水源B水源A0水库0发电站:水库。发电站AB已知发电站A可以将水库A的10000m3的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的10000m3的水转换为200千度电能发电站A,B每个月的最大发电能力分别是60000千度,35000千度每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出水库A,B的其他有关数据如下表（单位：104m3）水库A水库B水库最大畜水里20001500

3、水源流入水量本月20040下月13015水库最小畜水量1200800水库目前畜水量1900850请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。(千度是非国际单位制单位1千度=103kWh)三、问题分析问题一：安排原油采购、加工的目标只能是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A的采购价，利润为销售汽油的收人与购买原油A的支出之差.这里的难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否以及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在.题目二：制定生产经营计划是为了获利达到最大。本题要解决的关键在于如何对水库水量的调度，同时，两座发电站又有各自不同的资源和效益。根据对两水

4、库各项数据的分析，建立目标函数，即线形规划方程。深入分析本月和下月两水库供应两电站的水量、本月和下月两水库放走的水量、本月和下月结束时两水库的水量以及本月和下月高、低价售出的电量列出所有满足目标函数的约束条件。利用LINGON软件对其求解，可得最优解，此时电力公司收益最大。四、模型建立题目一：设原油A的购买量为x，根据题目所给数据，将采购支出c(x)表示为如下函数：10 x(0 x500)1000+8x(500 x1000)(1)3000+6x(1000 x1500)设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x和x，原油B用于生产1112甲、乙两种汽油的数量分别为x和x，则总收入为4.8(x+

5、x)+5.6(x+x)。212211122122于是目标函数利润为maxz=4.8(x+x)+5.6(x+x)-c(x)(2)11121112约束条件为两种汽油用的原油A、B库存量的限制，原油A购买量的限制,以及两种汽油包含原油A的限制，如下：3）（4）（5）（6）（7）（8）x+x500+x1112x+x10002122x0.5x+x1121x120.6x+x1222x,x,x,x,x011122122题目二：假设水源的流入是在每月月初开始就有的，水库中的水允许不发电就流出x:A水库本月发电用水量。(单位：万m3)x:A水库下月发电用水量。X:TOC o 1-5 h za1a2b1B水库本月

6、发电用水量。x:B水库下月发电用水量。y:A水库本月直接放b2a1走的水量。y:A水库下月直接放走的水量。y:B水库本月直接放走的水量。a2b1y:B水库下月直接放走的水量。z:本月结束时A水库的水量。z:下月结b2a1a2束时A水库的水量。z:本月结束时B水库的水量。z:下月结束时B水库的b1b2水量。u:本月以高价出售的电量。u:下月以高价出售的电量。v:本月以121低价出售的电量。v:下月以低价出售的电量。2根据线性规划的基本模型，结合数学建模知识，我们可以得出目标函数为:max=200（u+u）+140（v+v）1212 （9） 其中，约束条件为：（1）当月卖出的电量不能高于生产出的电

7、量：400 x+200 x=u+v,400 x+200 x=u+va1b111a2b222（2）水库水量守恒：x+y+z=1900+200,a1a1a1x+y+z=850+40+x+y,b1b1b1a1a1x+y+z=z+130,a2a2a2a1x+y+z=x+y+z+15,b2b2b2a2a2b2（3）发电站发电能力的限制：400 x60000,a1400 x60000,a2200 x35000,b1200 x35000,b2（4）每个水库蓄水量限制：1200z2000,a11200z2000,a2800z1500,b1800z1500,b2（5）最高价出售电量的限制：u50000,1u0;

8、只有当u=50000时，才有v0。即只1122有总电量超过50000度时，剩余的电量以140元的价格售出。五、模型求解题目一：解法1：一个自然的想法是将原油A的采购量x分解为三个量，即用x,x,x123分别表示以价格10千元/t、8千元/t、6千元/t采购的原油A的数量，总支出为c（x）=10 x+8x+6x，且123x=x+x+x123这时(10)改变为线性函数maxz=4.8(x+x)+5.6(x+x)-(10 x+8x+6x)(10)11211222123应当注意到，知有以10千元/t的价格购买x=500t时，才能以8千元/t的价1格购买x这个条件可以表示为2TOC o 1-5 h z(

9、x-500)x=0(11)12同理，只有以8千元/t的价格购买x=500t时，才能以6千元的价格购买x，23(x-500)x=0(12)23此外，OWxxx500(13)1,2,3将该模型输入LINGO：model:max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x3500;end输出结果Localoptimalsolutionfound.Objectiveva

10、lue:4800.000Infeasibilities:0.5560952E-11Totalsolveriterations:24VariableValueReducedCost X11500.00000.000000X21500.00000.000000X120.0000000.2666667X220.0000000.000000X10.0000000.4000000X20.0000000.000000X30.0000000.000000X0.0000000.000000最优解是用库存的500t原油A、500t原油B生产1000t汽油甲，不购买新的原油A,利润为4800000元。但只得到局部

11、最优解，全剧最优解如下Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.001Objectivebound:5000.001Infeasibilities:0.1225483E-06Extendedsolversteps:12Totalsolveriterations:533VariableValueReducedCostX110.0000000.9000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2499.99960.000000X30

12、.3500690E-030.000000X1000.0000.000000 全局的最优解是，购买1000t原油A和库存的500t原油A和1000t原油B生产2500t汽油乙，利润为5000000元。解法2：引入0-1变量将（11）（12）转化为线性约束。令yi=0,y2=0,y3=0分别表示以10千元/t、8千元/t、6千元/t的价格采购原油A,则约束（11）（12）可以替换为TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 500yx500y（14）500yx500y(15)322 HYPERLINK l bookmark26 o

13、 Current Document x500y(16)33y,y,y=0或1(17)123(3)(10),(13)(17)构成整数线性规划模型，将该模型输入LINGO软件如下：model:max=4.8*x11+48*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;0.4*x12-0.6*x220;x=x1+x2+x3;x1500*y1;x2500*y2;x3500*y2;x2500*y3;bin(y1);bin(y2);bin(y3);end 运行程序得到：Globaloptimalsolutionfound.Objecti

14、vevalue:5000.000Objectivebound:5000.000Infeasibilities:0.2273737E-12Extendedsolversteps:3Totalsolveriterations:12VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2500.00000.000000X30.0000000.000000X1000.0000.000000Y11.0000000.0000

15、00Y21.000000200.0000Y30.000000-1400.000全局最优解是购买1000t原油A,与库存的500t原油A和1000t原油B一起，共生产2500t汽油乙，利润为5000000元。解法3：直接处理分段函数如图所示在bx0,c(x)=zc(b)+zc(b)；121122在bx0,c(x)=zc(b)+zc(b)；232233在bx0,3434c(x)=zc(b)+zc(b)。3344对于变量V(k=l,2,3)当X在第k个小区间时，yk=1，否则yk=0.这样Z,k，kk1Z，Z，Z，V1，V2，V3应满足23412TOC o 1-5 h zzy,zy+y,zy+y,z

16、0(k=1,2,3,4)(19)1234ky+y+y=1,y,y,y=0或1(20)123123此时x和c(x)可以统一表示为x=zb+zb+zb+zb=500z+1000z+1500z(21)1122334423422)c(x)=zc(b)+zc(b)+zc(b)+zc(b)11223344=5000z+9000z+12000z234(2)(8),(18)(22)也可构成一个整体规划模型将其输入LINGO如下model:maX=4.8*X11+4.8*X21+5.6*X12+5.6*X22-5000*Z2-9000*Z3-12000*Z4;x11+x12x+500;X21+X220;0.4*

17、x12-0.6*x220;y1Z1;y1+y2Z2;y2+y3z3;y3z4;z1+z2+z3+z4=1;y1+y2+y3=1;x=500*z2+1000*z3+1500*z4;bin(y1);bin(y2);bin(y3);运行程序得到如下：Globaloptimalsolutionfound.5000.0005000.0000.2273737E-12318Objectivevalue:Objectivebound:Infeasibilities:Extendedsolversteps:Totalsolveriterations:VariableValueReducedCostX110.00

18、00000.000000X210.0000001.400000X121500.0000.000000X221000.0000.000000Z20.0000000.000000Z31.0000000.000000Z40.0000000.000000X1000.0000.000000Y10.000000-4000.000Z10.0000000.000000Y20.000000-1000.000Y31.0000000.000000结果与上一解相同。题目二：利用建立的模型将其输入LINGO如下:model:max=200*(u1+u2)+140*(v1+v2);400*xa1+200*xb1=u1+v1;400*xa2+200*xb2=u2+v2;xa1+ya1+za1=1900+200;xb1+yb1+zb1=850+40+xa1+ya1;xa2+ya2+za2=za1+130;xb2+yb2+zb2=zb2+15+xa2+ya2;400*xa1=60000;400*xa2=60000;200*xb1=35000;200*xb1=35000;za1=12