培优相似辅导专题训练及答案

1、一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，在中，m工，点M是AC的中点，以AB为直径作“分别交于点（1）求证：；（2）填空：若AB-6，当彳。=泅时，DE-；连接，当的度数为时，四边形ODME是菱形.【答案】（1）证明：:厶ABC=90,AM=MC，ABM=AM=MC,二ZA=ZABM.T四边形ABED是圆内接四边形，AZADE+ZABE=180，又ZADE+ZMDE=180，AZMDE=ZMBA，同理证明：ZMED=ZA，AZMDE=ZMED，AMD=MEDE【解析】【解答】解：由（1）可知，ZA=ZMDE，ADEIIAB,Mb11櫥.TAD=2DM，ADM：MA=1：3，ADE=

2、AB=x6=2.故答案为：2.当ZA=60时，四边形ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE.TOA=OD，ZA=60，AAOD是等边三角形，AZAOD=60.TDEIAB，AZODE=ZAOD=60，ZMDE=ZMED=ZA=60，AODE，DEM都是等边三角形，AOD=OE=EM=DM,A四边形OEMD是菱形.故答案为：60.【分析】（1）要证MD=ME，只须证ZMDE=ZMED即可。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则ZA=ZABM，由圆内接四边形的性质易得ZMED=ZA，ZMDE=ZMBA，所以可得ZMDE=ZMED；DE価（2）由（1）易证得DEIIAB，

3、可得比例式，结合中的已知条件即可求解；当/A=60时，四边形ODME是菱形.理由如下：连接OD、0E,由题意易得ODE,DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。Ac2.如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C,点C坐标为（8,0）,连接AB、AC.（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;（2）判断ABC的形状，并说明理由;3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标;（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMIIAC，交AB于点皿，

4、当厶AMN面积最大时，求此时点N的坐标.【答案】（1）解：TA（0，4）,二c=4，把点C坐标（8,0）代入解析式，得：a=,.二次函数表达式为（2）解：令y=0,则解得，x1=8,x2=-2,A点B的坐标为（-2,0）,由已知可得，在RtAAOB中,AB2=BO2+AO2=22+42=20，在RtAAOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又TBC=OB+OC=2+8=10,在厶ABC中AB一2+AC一2=20+80=102=BC2,二ABC是直角三角形；（3）解：由勾股定理先求出AC,AC=,在x轴负半轴，当AC=AN时，NO=CO=8,.此时N（-8,0）；在x轴负半轴，当AC=

5、NC时，NC=AC=叮,TCO=8,.N0=贏-8,.此时N（8-VL0）；在x轴正半轴，当AN=CN时，设CN=x，贝yAN=x,ON=8-x,在RtAAON中，+-，解得：x=5,.ON=3,.此时N（3,0）；在x轴正半轴，当AC=NC时，AC=NC=、,.ON=叮+8,.此时N（、+8,0）；综上所述：满足条件的N点坐标是（-8,0）、（8-I,0）、（3,0）、（8+引-,0）；(4)解：设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD丄x轴于点D,.UCMDBNBNMDIIOA,BMD-BAO,隣懸BA：.?TMNIIAC,OA=4,BC=10,BN=n+2,MD=(n+2)

6、TS“MN-2)X(n2)TOC o 1-5 h z11112BNOA-BNrMD=-X岛+刃X4-X-(n艺B(n3)&点坐标+5,T心MD_册例式.,根据平行线分线段成比例定理可得，所以.,将已知线段代入比例式可将MD用含n的代数式表示出来，根据三角形的构成可得S“MN=SABN-SBMN=11-BN-OA-BN-MD,将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。3(1)问题发现：如图,正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF.写出线段CF与DG的数量关系；写出直线CF与DG所夹锐角的度数.（2）拓展探究：如图，将正方形AEFG绕点

7、A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明.（3）问题解决如图，ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90,AB=AC=4,O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE,则在点D的运动过程中，线段OE的长的最小值.（直接写出结果）【答案】（1）CF=J：DG，45（2）解：如图：连接AC、AF,在正方形ABCD中，延长CF交DG与H点,ZCAD=.ZBCD=45-,设AD=CD=a，易得AC八a=：AD,同理在正方形AEFG中，ZFAG=45-,AF=/：AG,:ZCAD=ZFAG,:ZCAD-Z2=ZFAG-Z2,:Z1=Z3AC_Af又

8、：云一忑CAFDAG,CF_AC:八，”：CF八.DG;由CAF-DAG,二Z4=Z5,pZACD=Z4+Z6=45口，Z5+Z6=45口,Z5+Z6+Z7=135,在厶CHD中，ZCHD=180-135=45，:（1）中的结论仍然成立(3)0E的最小值为.Ajni.C-Ei【解析】【解答】（3）如图：由ZBAC=ZDAE=90-，可得ZBAD=ZCAE，又AB=AC,AD=AE,可得BAD竺CAE,:ZACE=ZABC=45,又丁ZACB=45，:ZBCE=90，即CE丄BC,根据点到直线的距离垂线段最短，:0E丄CE时，0E最短，此时OE=CE,AOEC为等腰直角三角形，-0C=1AC=2

9、,由等腰直角三角形性质易得，OE=J，OE的最小值为I.【分析】（1）易得CF=/：DG;45-；（2）连接AC、AF,在正方形ABCD中，可得CF_ACCAF-DAG,八，:CF=Y：DG，在CHD中，ZCHD=180-135=45，（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE丄CE时，OE最短，此时OE=CE,AOEC为等腰直角1三角形，OC=AC=2，可得OE的值.4.在平面直角坐标系中，点A-点B*已知，满足（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1,点E为线段0B上一点，连接AE,过A作AF丄AE,且AF=AE，连接BF交轴于点D,若点D（-1,0）,求点E的坐标；（3）在的条件下，如

10、图2,过E作EH丄0B交AB于H,点M是射线EH上一点（点M不在线段EH上）,连接M0,作/MON=45,ON交线段BA的延长线于点N,连接MN,探究线段MN与OM的关系,并说明理由。【答案】（1）（-4,0）；（0,-4）（2）解：作FH丄0A于H,图iTAF丄AE,ZFAE=ZAHF=ZAOE=90,ZFAH+ZOAE=90,ZFAH+ZAFH=90,.ZAFH=ZOAE,TAF=OA,AFH竺EAO,.FH=OA,T点A(-4,0),点B(0,-4).FH=OA=OB=4,ZFHD=ZBOD=90,ZFDH=ZBDO,FDH竺BDO,OD=DH=1,.AH=OH=OE=2,.E（0,-2

11、）(3)解：结论：MN=OM,MN丄OM,理由：连接OH,OM与BN交于G,图2TOA=OB,ZAOB=45,.ZOAB=45TOE=EB=2,EHIIOA,AH=BH,OH丄AB,ZAHM=ZOAB=45,TZMON=45.ZGON=ZGHM,TZNGO=ZMGH,NGO-MGH,06=,MG=,TZNGM=ZOGH,.NGM-OGH,.ZNMG=ZOHG=90,.OMN是等腰直角三角形MN=OM,MN丄OM.解析】解答】（）T佔+严+护+協+_仙土谢十血丁莎=0,.a=-4,b=-4,点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0,-4）【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式,再根据平

12、方的非负性求解;（2）如图1中，作FH丄OA于H,由AFH竺EAO,推出FH=OA,由FDH竺BDO,推出&A06AH=0H=0E=2;(3)连接OH,OM与BN交于6,由厶NGO-MGH,推出汀=-，再推出筒蛊65.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3,0),C(0,4),点B在x轴上，AC=BC,过点B作BD丄x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，且CM=BN,连接MN,AM,AN.1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当厶CMN是直角三角形时，求点M的坐标;=，再得出厶NGM-OGH,推出/NMG=ZOHG=90，推出OM

13、N是等腰直角三角形即可解决问题.3)试求出AM+AN的最小值.答案】(1)解：把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得融十15a(-(：=0i6C=4，解得亡_,抛物线解析式为y=-X2+x+4；/AC=BC,CO丄AB,OB=OA=3,BD丄x轴交抛物线于点D,D点的横坐标为3,当x=3时，y=-x9+x3+4=5,D点坐标为(3,5)。(2)解：在RtAOBC中，BC=I、：=5,设M(0,m),贝9BN=CM=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,TZMCN=ZOCB,CMCN当时，CMN-COB，贝VZCMN=ZCOB=9O,4-用皿十116，解得m=，此时M点坐标为

14、(0,即cm_a当时，CMN-CBO，则上CNM=ZCOB=90,4-tam111即，解得m=，此时M点坐标为(0,1611综上所述，M点的坐标为(0,_)或(0,)。16-);11);TAC=BC，CO丄AB，OC平分/ACB，ZACO=ZBCO，TBDIIOC，ZBCO=ZDBC，TDB=BC=AC=5，CM=BN，ACM竺DBN，AM=DN，AM+AN=DN+AN，而DN+ANAD(当且仅当点A、N、D共线时取等号)，DN+AN的最小值=AD=、:，AM+AN的最小值为v.【解析】【分析】(1)将A(-3,0)，C(0,4)代入函数解析式构造方程组解出a,c的值可得抛物线解析式；由AC=

15、BC，CO丄AB，根据等腰三角形的三线合一”定理，可得OB=OA=3，而BD丄x轴交抛物线于点D,则D点的横坐标为3,当x=3时求得y的值，即可得点D的坐标。(2)当CMN是直角三角形时，有两种情况：ZCMN=90，或ZCNM=90，则可得CMN-COB，或CMN-CBO,由对应边成比例，设M(0,m),构造方程解答即可。(3)求AM+AN的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数关系式表示出AM+AN的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点A，M，N三点移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5，CM=BN，且上BCO=ZDBC，连

16、接AD,可证得ACM竺DBN，贝VAM=DN,而DN+ANAAD(当且仅当点A、N、D共线时取等号)，求AD的长即可。6.如图，在菱形ABCD中，二，：，点E是边BC的中点，连接DE,AE.B求DE的长；点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G,连接EF，若厂上-,求证：心V；求DF的长.【答案】(1)解：连结BDJ囲边划血CB圧菱影ZCB=CD=AB=A:-60:幺CUE是等边三第形点E是边BC的屮点DEBCDE=x(：fyC.K=2)(2)解：疗-:ZZAGDsf、EGItAGDGEGG文TZAGE=ZDGF；AGbB&F/匸士-H二-二”：ZEAG-ZGDF-90-ZC-30JZAG

17、D=ZEGFfGE=ZDGI”：ZGFE-ZADG-90工：DE=AJ过点E作ER1DC于点R在瑁AECH申FH=QeW_Elf=1；ZDF=CDCF=1【解析】【分析】（1）连结BD，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE丄BC,CE=2,然后利用勾股定理算出DE的长；AG_DG（2）首先判断出AGD-EGF，根据相似三角形对应边成比例得出-，又ZAGE=ZDGF，故厶AGE-DGF；根据相似三角形的性质及含30直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH丄DC于点H,在RtAECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而

18、根据线段的和差即可算出答案.7.如图，二次函数：一沁-；（其中a，m是常数，且a0,m0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0,3），点D在二次函数的图象上，CDIIAB,连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分ZDAE.Ab求证：为定值；设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,连接CF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.1亍白二I【答案】(1)解：将C(0,-3)代入函数表达式得，斥-，(2)证

19、明：如答图1,过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.答額由-解得X=m,x2=3m.A(m,0)，B(3m,0).CDIIAB,A点D的坐标为(2m,3).TAB平分上DAE.AZDAM=ZEAN.AD_AM_DkTZDMA=ZENA=900,ADM-AEN,A珠：(.v-2mx-3nt)设点E的坐标为(x,),3$9A-(fli)6-2mx-3ar).”.x=4m.AD_AM_.3m心一滞一一f为定值（3）解：存在，如答图2,连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m,-4）,过点F作FH丄x轴于点H，在RtACGO和RtAFGH中，0C砖0

20、C砖vtanZCGO=,tanZFGH=,aOG=3m,由勾股定理得，GF=雹,AD=Q磁十搭=5/W9=閃/+IGF_4AD由（2）得，-,.AD:GF:AE=3:4:5.以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为一3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根Ab加据，CDIIAB，求点D的坐标，由ADM-AEN,对应边成比例，将求的比转化成求：比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.过点F作FH丄x轴于点H,在RtACGO和RtAFGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求O

21、GAL（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD:GF:AE=3:4:5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.48如图，已知一次函数y=-x+4的图象是直线I,设直线丨分别与y轴、x轴交于点A、B.求线段AB的长度；设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90到点N,以点N为圆心，NA的长为半径作ON.当ON与x轴相切时，求点M的坐标；在的条件下，设直线AN与x轴交于点C,与ON的另一个交点为D,连接MD交x轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线丨交于点P、0，当

22、厶APQ与厶CDE相似时，求点P的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4，A(0，4)，0A=4,当y=0时，-x+4=0,x=3，B(3，0)，OB=3，由勾股定理得：AB=5(2)解：如图1,过N作NH丄y轴于H,过M作ME丄y轴于E,OB_EMtanzOAB=-设EM=3x,AE=4x，则AM=5x,M(3x,-4x+4),由旋转得：AM=AN,ZMAN=90,ZEAM+ZHAN=90,TZEAM+ZAME=90,.ZHAN=ZAME,TZAHN=ZAEM=90,AHN竺MEA,.AH=EM=3x,TON与x轴相切，设切点为G,连接NG,则NG丄x轴,.NG=OH,则5x=3x+4,

23、2x=4,x=2,.M(6,-4)；如图2,由知N(8,10),TAN=DN,A(0,4),.D(16,16),设直线DM：y=kx+b,把D(16,16)和M(6,-4)代入得：k=2解得：，.直线DM的解析式为：y=2x-16T直线DM交x轴于E,.当y=0时,2x-16=0,x=8,E(8,0),由知：ON与x轴相切，切点为G,且G(8,0),E与切点G重合,TZQAP=ZOAB=ZDCE,APQ与厶CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：门当厶DCE-QAP时，如图2,ZAQP=ZNDE,TZQNA=ZDNF,ZNFD=ZQAN=90,TAOIINE,ACO-NCE,AO_CC

24、4_COCO=,连接BN,AB=BE=5，TZBAN=ZBEN=90，ZANB=ZENB，TEN=ND，ZNDE=ZNED，TZCNE=ZNDE+ZNED，ZANB=ZNDE，BNIDE，RtAABN中，BN=7sinZANB=ZNDE=5、.：、,NF=2勺,DF=4-J,TZQNA=ZDNF，DFACtanZQNA=tanZDNF=；.,ACA,AQ=20，.3Qh二vtanZQAH=tanZOAB=.,设QH=3x,AH=4x，贝AQ=5x,5x=20,x=4，.QH=3x=12,AH=16,.Q（-12,20）,1同理易得：直线NQ的解析式：y=-x+14,.P（0,14）；ii）当厶

25、DCE-PAQ时，如图3,.ZAPN=ZCDE,vZANB=ZCDE,vAPIING,.ZAPN=ZPNE,.ZAPN=ZPNE=ZANB,.B与Q重合,.AN=AP=10,.OP=AP-OA=10-4=6,.P（0,-6）；综上所述，APQ与厶CDE相似时，点P的坐标的坐标（0,14）或（0,-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得ABOBEM二的长度；（2）根据同角的三角函数得：tanZOAB=九J设EM=3x,AE=4x，则AM=5x，得M（3x,-4x+4），证明AHN竺MEA,贝AH=EM=3x，根据NG=OH,列式可得x的值,计算M的坐标

26、即可；如图2,先计算E与G重合，易得ZQAP=ZOAB=ZDCE，所以APQ与厶CDE相似时，16顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：门当厶DCE-QAP时，证明ACO-NCE，列比例式可得CO=，根据三角函数得:DFAi3Qh一二tanZQNA=tanZDNF=；:,AQ=20,贝VtanZQAH=tanZOAB=，设QH=3x,AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；ii）当厶DCE-PAQ时，如图3,先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.9.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=5cm,BC=6cm，点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形

27、的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EB，F.设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.（1）当t等于多少s时，四边形EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t,使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：若四边形EBFB为正方形，则BE=BF,BE=5-t,BF=3t,即：5-t=3t,解得t=1.25

28、；故答案为：1.25（2）解：分两种情况，讨论如下：若EBF-FCG,EB5t则有.，即-,解得:t=1.4；若EBF-GCF,EB_BF5_t3t则有匸.：.亡，即.厅-解得:t=-7-W（不合题意，舍去）或t=-7+rJ.当t=1.4s或t=（-7+T?7）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.解：假设存在实数t,使得点B与点O重合.如图，过点0作0M丄BC于点M,则在RtAOFM中，0F=BF=3t,FM=-BC-BF=3-3t,OM=2.5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：2.52+(3-3t)2=(3t)261解得：t=二；过点0作ON丄AB

29、于点N,则在RtAOEN中，OE=BE=5-t,EN=BE-BN=5-t-2.5=2.5-t,0N=3,由勾股定理得：0N2+EN2=0E2，即：32+(2.5-t)2=(5-t)239解得：t=.6139不存在实数t,使得点B与点0重合【解析】【分析】(1)利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；(2)EBF与氐FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；(3)本问为存在型问题假设存在，贝9可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在io.操作：和1都是等边三角形，绕着.点按顺时针方向旋转，是、厂的中点，有以下三种图形.探究：在上述三个图形中，是否一个固

30、定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；（2）丄匸的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论；（3）一与有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.【答案】（1）解：T-是等边三角形，由图（1）得AO丄BC,(2)证明：-，.JJJJjTZBOBZAOB-ZAOA+厶腐一宜/，证明：在图(3)中，由(2)得O/二Z2+Z4=Z1+Z3,即上AEF=ZAOBTZAOB=90,【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AO丄BC，BO=BC=AB，根据勾股定理计算即可求得A0=BO,即AO：BO是一个固定的值I:1；（2）由等边三角形的性质可得AO丄BC,，由同

31、角的余角相等可得儿厂_1，由（1）可得，可得匚丿&十,根据相似三角形的性质可得丄曲一2；（3）在图（3）中，由（2）得1伽、期阳，根据相似三角形的性质可得Z1=Z2,根据对顶角相等得Z3=Z4,则Z2+Z4=Z1+Z3=ZAOB=90,即心.：二11.在厶ABC中，ZACB=90,AB=25,BC=15.Si團2备用图如图1,折叠ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H,若S“bc=9Sadhq，求HQ的长.如图2,折叠ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F.若FMIIAC,求证：四边形AEMF是菱形；在(1)的条件下，线段CQ上是否存在点P,使得CMP和厶HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：如图1中,在厶ABC中，:ZACB=90,AB=25,BC=15,AC=-=20，设HQ=x,HQIIBC,AQ_Qh,.AQ=x,SBC=9SDHQ.x20 x15=9x.xxxxx=5或-5(舍弃)，.