一元二次方程的解法全

1、一元二次方程的解法全第1页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六共同回顾:一元二次方程 1、定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0a03、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把握三点：方程是整式方程；：只含有一个未知数：可化为ax2+bx+c=0（ a0 ）的形式第2页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六1. 判断下列方程是否一元二次方程？2m何值时，方程 是关于的一元二次方程?03-2xx)1(40cx30yx212222）01x3xx22）+mba

2、x第3页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六下列各数有平方根吗?若有,你能求出它的平方根吗? 25 ; 0 ; ; 2 ; - 3 ;合作学习共同回顾 一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什么？即（a0）则x叫做a的平方根，表示为：第4页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例1 解方程先移项，得所以 以上解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例题解析：可见，上面的 实际上就是求4的平方根。第5页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六初试锋芒用直接开平方法解下列方程：;02（4）212=-x（2）02-2 =x（1）;0121 2=

3、-y(3)将方程化成(b0）的形式,再求解第6页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六再显身手例2 解方程: (1) (2) 将方程化成(b0）的形式,再求解第7页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六解下列方程： ()045 t2 2=-()();2516 62=-x()();0365 52=+-x()();532 42=-x();04916 32=-x();09 12=-x随堂练习第8页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六1、用直接开方法解方程： 2、用直接开方法解方程： 你会变吗？ 拓展练习第9页，共65页，2022年，5月20日，

4、23点23分，星期六提问：下列方程有解吗？议 一 议方程 一定有解吗?第10页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当b0时，原方程无解。学会自我总结归纳 小结()()().0 ax 0 22=-=bbbbx或第11页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六23.2一元二次方程的解法华东师大版九年级（第2课时）第23章 一元二次方程第12页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：根据平方根的定义，要特别注意

5、：由于负数没有平方根，所以当b0时，原方程无解。知识回顾第13页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？AB=0A=0或知识回顾第14页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六解:(直接开平方法):第15页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例2：解方程x2- 4=0.另解：原方程可变形为(x+2)(x2)=0 x+2=0 或 x2=0 x1=-2 ,x2=2我们观察可以发现可以使用平方差公式以上解某些一元二次方程的方法叫做因式分解法。x24=（x2）（x2）第16页，共65页，2022年，5月20日，23

6、点23分，星期六初试锋芒解下列方程：（2）（1）第17页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六 例3 解下列方程： 第18页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六x+2=0或3x5=0 x1=-2 , x2= 第19页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六解：原方程可变形为第20页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤1 . 方程右边不为零的化为 。2 . 将方程左边分解成两个 的乘积。3 . 至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程。4 . 两个 就是原方程的解。 零一次因式有一个一

7、元一次方程的解第21页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例 (x+3)(x1)=5解：原方程可变形为(x2)(x+4)=0 x2=0或x+4=0 x1=2 ,x2=-4解题步骤演示方程右边化为零x2+2x8 =0左边分解成两个一次因式 的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的解 第22页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的方程与原方程 同解。拓展练习1：辨析第23页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六2、下面的解法正确吗？如果不

8、正确，错误在哪？( )第24页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六解下列方程：y2=3y(2) (2a3)2=(a2)(3a4)(3)(1) (x1)(x+2)=2拓展练习2：解方程第25页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六(4) (4x3)2=(x+3)2第26页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 方程右边不为零的化为 。2 .将方程左边分解成两个 的乘积。3 .至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程。4 .两个 就是原方程的解。 零一次因式有一个一元一次方程的解小结第27页，共65页，20

9、22年，5月20日，23点23分，星期六23.2一元二次方程的解法华东师大版九年级（第3课时）第23章一元二次方程第28页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六1、选择合理的方法解下列方程(1)(2)(3)复习练习：第29页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六、请说出完全平方公式 第30页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六、根据完全平方公式填空(格式如题(1)(1)(2)(3)424525_x+25(_)2（10）x5第31页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六参照第（1）题，推想一下第（2）题及第（3）题的解法(

10、1)(2)(3)第32页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六上面，我们把方程变形为它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.第33页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六随堂练习解下列方程：第34页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例1 解下列方程： (1)(2)解：(1)第35页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六(1)(2)解下列方程： 拓展练习 想想怎样解？第36页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六2

11、、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方；4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；请归纳配方法解一元二次方程的步骤第37页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六拓展练习用配方法证明：代数式的值是正数第38页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六小结：配方法也是一元二次方程常见的解法2. 配方法的运用第39页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六23.2一元二次方程的解法

12、华东师大版九年级（第4课时）第23章 一元二次方程第40页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六配方法的步骤：1.化 12.移项3.配方4.求解配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。知识回顾第41页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六 用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( )24. 用直接开平方法解方程 (

13、x+ )2= -q 知识回顾第42页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0 解得x= - 当b2-4ac0时, x + = 4a20即 ( x + )2 = 配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2即x=用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。移项，得x2 + x=-第43页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例 用公式法解方程2x2+x-6=0。解：这里a=2，b=1，c=-6，所以b2-4ac=12-42(-6) =49.1、把方

14、程化成一般形式，并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。用公式法的一般步骤：求根公式: x=4、写出方程的解： x1=?, x2=?3、代入求根公式 x= (a0, b2-4ac0)(a0, b2-4ac0)即 x1=-2，x2=第44页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六（口答）填空：用公式法解方程5x2-4x-12=0。 解：a= ，b= ，c = . b2-4ac= = . x= = = .即 x1= , x2= . 5-4-12(-4)2-45(-12)2562求根公式 : x=(a0, b2-4ac0)第45页，共65页，2022年，5月20日，23点23

15、分，星期六解:将方程化为一般式，得x24x20 x原方程的解是 x1 ，x2=用公式法解下列方程：x24x2第46页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六 用公式法解方程： x2 x - =0解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25. x= 即 x1=2, x2= - 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得x2 -2 x+3 = 0a=1，b=-2 ，c=3b2-4ac=(-2 )2-413=0 x1 = x2 =x=求根公式 : x=(a0, b2-4ac0)第47页

16、，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六求根公式 : x=由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 若 b2-4ac0，得1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式 :用公式法解一元二次方程的一般步骤：小结4、写出方程的解： x1=?, x2=?(a0, b2-4ac0)x=第48页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六思考题:1、用公式法解下列方程： （m为已知常数）2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？第49页，共65页，2022年，5月20日，23

17、点23分，星期六一元二次方程的解法习题课（第5课时）华东师大版九年级第23章 一元二次方程第50页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六(1)直接开平方法(2)因式分解法提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式(3) 配方法(4)公式法当b-4ac0时，x= 当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方ax2=b(a0)第51页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六一 直接开平方法依据：平方根的意义，即如果 x2=a , 那么x =这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。2，利用平方根的意义，两边同时开平

18、方。3，得到形如： x =的一元一次方程。4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?第52页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例1（3x -2）-49=0 例2（3x -4）=（4x -3）解：移项，得：（3x-2）=49 两边开平方，得：3x -2=7解：两边开平方，得： 3x-4=（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1例题讲解所以x=所以x1=3，x2= -第53页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六二 因式分解法1 提公因式法=0解：提公因式得：第54页，共65页，2022年，5月20日

19、，23点23分，星期六2 平方差公式与完全平方公式形如运用平方差公式得：形如的式子运用完全平方公式得：或第55页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例题讲解（1）解：原方程变形为 直接开平方，得例5 解下列方程:（2）解：原方程变形为所以 ， 。所以 。第56页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六三 配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法平方根的意义:完全平方式:式子 a22ab+b2 叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.如果x2=a, 那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:第57页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六用配方法解一元二次方程 2x2-9x+8=0.1.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;第58页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例题讲解例6 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0第59页，共65页，2022年，5月20日，23点23分，星期六例题讲解例7 用配方法解下列方程2x2+8x-5=0第