高中数学必修二 (教案)事件的相互独立性

1、 6/6事件的相互独立性【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1事件的相互独立性的定义是什么？2相互独立事件有哪些性质？3相互独立事件与互斥事件有什么区别？二、基础知识1相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立2相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与eq o(B,sup6()，eq o(A,sup6()

2、与B，eq o(A,sup6()与eq o(B,sup6()也都相互独立名师点拨 （1）必然事件，不可能事件都与任意事件相互独立（2）事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P（A）P（B）三、合作探究1相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为eq f(1,4).这时A(男，女)，(女，男

3、)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P（A）eq f(1,2)，P（B）eq f(3,4)，P(AB)eq f(1,2).由此可知P(AB)P（A）P（B），所以事件A，B不相互独立（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为eq f(1,8)，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P（A）eq f(6,8)eq f(3,4)，P（B）eq f(4,

4、8)eq f(1,2)，P(AB)eq f(3,8)，显然有P(AB)eq f(3,8)P（A）P（B）成立从而事件A与B是相互独立的eq avs4al()判断两个事件是否相互独立的两种方法（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；（2）定义法：通过式子P(AB)P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断. 2相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响

5、求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率【解】 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件则P（A）0.8，P（B）0.7，P（C）0.9，所以P(eq o(A,sup10()0.2，P(eq o(B,sup10()0.3，P(eq o(C,sup10()0.1（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1P(eq o(A,sup10()BC)P(Aeq o(B,sup10()C)P(ABeq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()P（B）P（C）P（A）P(eq o(B,sup10()P（C）P（A）P

6、（B）P(eq o(C,sup10()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P21P(eq o(A,sup10()eq o(B,sup10()eq o(C,sup10()1P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()P(eq o(C,sup10()10.20.30.10.9941变问法在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解：恰有一列火车正点到达的概率为P3P(Aeq o(B,sup10()eq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()Beq o(C,sup10()P(eq o(A,sup1

7、0()eq o(B,sup10()C)P（A）P(eq o(B,sup10()P(eq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()P（B）P(eq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()P（C）0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.0922变条件若一列火车正点到达记10分，用表示三列火车的总得分，求P(20)解：事件“20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(20)1P(ABC)1P（A）P（B）P（C）10.80.70.90.496eq avs4al()与相互独立事件有关的概

8、率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P（A），P（B），那么：（1）A，B中至少有一个发生为事件AB（2）A，B都发生为事件AB（3）A，B都不发生为事件eq o(A,sup10()eq o(B,sup10().（4）A，B恰有一个发生为事件Aeq o(B,sup10()eq o(A,sup10() B（5）A，B中至多有一个发生为事件Aeq o(B,sup10()eq o(A,sup10()Beq o(A,sup10() eq o(B,sup10().它们之

9、间的概率关系如表所示：A，B互斥A，B相互独立P(AB)P（A）P（B）1P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()P(AB)0P（A）P（B）P(A B)1P（A）P（B）P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()3相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq f(1,4)，eq f(1,2)，超过两小时但不超过

10、三小时还车的概率分别为eq f(1,2)，eq f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(4)和P(6)的值【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为eq f(1,4)，eq f(1,4).记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(5,16).所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为eq f(5,16).（2）P(4)eq f(1,4)eq f(1,4)e

11、q f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(5,16)，P(6)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(3,16).eq avs4al()概率问题中的数学思想（1）正难则反灵活应用对立事件的概率关系(P（A）P(eq o(A,sup6()1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法（2）化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)（3）方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(

12、组)，通过解方程(组)使问题获解四、课堂检测1如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )Aeq f(4,9)Beq f(2,9)Ceq f(2,3) Deq f(1,3)解析：选A左边圆盘指针落在奇数区域的概率为eq f(4,6)eq f(2,3)，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为eq f(2,3)，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(4,9).2已知A，B是相互独立事件，且P（A）eq f(1,2)，P（B）eq f(2,3)，则P(Aeq o(B,sup10()_；P(eq o(A

13、,sup10() eq o(B,sup10()_解析：因为P（A）eq f(1,2)，P（B）eq f(2,3).所以P(eq o(A,sup10()eq f(1,2)，P(eq o(B,sup10()eq f(1,3).所以P(A eq o(B,sup10()P（A）P(eq o(B,sup10()eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)，P(eq o(A,sup10() eq o(B,sup10()P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6).答案：eq f(1,6) eq f(1,6)3某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话解：设Ai第i次拨号接通电话，i1，2，3（1）第3次才接通电话可表示为eq o(A1,sup10()eq o(A2,sup10() A3，于是所求概率为P(eq o(A1,sup10()eq o(A2,sup10()A3)eq f(9,10)eq f(8,9)eq f(1,8)eq f(1,10).（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1eq o(A1,sup10() A2eq