物理竞赛动力学1

1、动力学定律一般问题约束问题引力问题两体问题非惯性系*1一般问题2力力来自相互作用；力是运动状态变化的原因. 万有引力引力质量与惯性质量 弹性力或回复力取决于变形程度，电磁力 摩擦力（静摩擦力和滑动摩擦力）复杂性，电磁力，耗散力 与相对滑动趋势的指向相反 正比于正压力3质点动力学问题典型问题：I：已知作用于物体（质点）上的力，由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态； II：已知物体（质点）的运动情况或平衡状态，由力学规律来推出作用于物体上的力。解题十六字诀： 隔离物体，具体分析，选定坐标，运动方程。 中心问题在于正确地列出代数方程组； 关键问题有在于正确地进行具体分析(F,ma)。4例 一升

2、降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。a0amOxy解：受力分析：mgNa0aa加速度分析：a= a+a0X方向:Y方向:列方程：解得:a=(g+a0)sin , N= m(g+a0)cos 5练习:Mma1a2xy分析：M: m:加速度：a1(+x方向） a=a1+a2 MgRNmgN列方程：m:M:6IPhO4-1 (1970)在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩

3、擦。木板与雪橇之间的摩擦系数0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在（a）远处的柱子，(b)木板的端面上。试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？7解：（a）木板速度达到v0之前匀加速，雪橇在木板上经过的距离为此后两者没有相对运动，马达空转，雪橇不能达到端面。（b）系统动量守恒，设放开后木板的速度为V,雪橇为V+v0，V=0。所以木板不动，雪橇以原有速度继续前进。t=L/v0受力分析？89解1：两侧挂有M1,M2的滑轮与质量m的物体等效解2：第一滑轮绳子张力为T, 重力加速度为g, 第二滑轮绳子张力为T/

4、2, 重力加速度为g=g-a, T:T/2=g:(g-a)a=g/210约束运动问题 运动学的约束：质点被限制于某个曲面或某个曲线上运动。 约束反力：约束对质点的反作用力。沿着约束的法向11OR例2（P143）：质点从光滑的静止大球的顶端滑下。试问滑到何处，质点就会脱离球面飞出。求解及分析（初始条件）O法向切向NmgR当=cos-1(2/3), N=0 标志质点开始离开球面12例题： 质点沿光滑抛物线 y2=2x无初速的下滑，质点的初始坐标为（2，2），问质点在何处脱离抛物线。提示：曲率半径解： 13解2 ：质点受力mg, N, 当N0时，水平方向受力为零，故ax=0, 即vx（或vx2)有极

5、大值14引力问题15球壳的万有引力地球内部物体受到的万有引力M兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M，M是红色部分的总质量16球体的万有引力ORFr17原型： 假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为6400km，忽略摩擦力。 考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。考题（2004复赛第三题） 有人提出了一种不用火箭发射人造卫星的设想。沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A和B ，分别将质量为M的物体和质量为m的

6、待发射卫星同时释放，只要M比m足够大，碰撞后质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有一种装置，在卫星刚离开出口B时，立即把卫星速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小，这样卫星便有可能绕地心运动，成为一颗人造卫星。若卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？ 已知M=20m，地球半径为6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。 3.弹性碰撞 4. 机械能守恒 5.有心力场里的运动（第一宇宙速度）18竞赛题与常规考题的区别：1. 考察的问题原型相同，但

7、是综合性或复杂性更强 对策：熟悉各种原型问题。2. 在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。 对策：识破题目的障眼法，找到原型。3. 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论， 有的是多个不同物理原型的综合。对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题，常规考题设置了一些简化假设（比如没有摩擦，2004复赛第七题在碰撞停止之前水平速度一直向右等等）。不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。19解：线性恢复力，做振幅为A的简谐振动 20弹性碰撞，注意：正负号，用恢复系数 （写能量守恒式子）简谐振动，能量守恒 （不要把v 当成发射

8、速度）宇宙速度 212002决赛第五题 假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。 已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离 太阳绕银心做匀速圆周运动，周期 。太阳质量为MS，银河系中发亮的物质仅分布在 的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答： 1.论证银河系物质能否均匀分布 2.计算银河系中发光物质质量最多有多少 3.计算整个银河系物质质量

9、至少有多少 4.计算银河系中不发光物质（暗物质）质量至少有多少上述计算结果均用太阳质量MS表示。22解：如果均匀分布，M(r)r3, v不可能是恒量。如果v=const, 必须M(r)r为了确定M(a)23两体问题质点组动力学的一个特殊问题两个质点组成的质点组彼此以内力相互作用，不受外力作用彼此以内力相互作用，不受外力作用24mass 1 mass 2 25质心的运动r2r1m2r0m1m0o即系统动量守恒26SunEarthCM直角坐标系：质心坐标系CM frame 实验室系 lab frame质心系是惯性系吗? 27相对运动 以质点2作为平动参考系（非惯性） 研究质点1相对运动约化质量Re

10、duced mass28例(p241)：两个完全相同的滑块a和b，其质量均为m,用轻弹簧将它们连接，弹簧的原长为l,劲度系数为k。将整个系统放在光滑桌面上，并保持静止。在某个时刻（记t=0),突然给滑块a一个冲量，使它获得向右的初速度v0, 求解它们的运动。axv0ob分析：两体问题质心运动方程29相对运动方程a与b相对于质心各作简谐振动，它们的位相正好相反。30两质量分别为m1和m2的物体置于光滑水平面上，由一弹性系数为k的轻质弹簧相连。现将物体2由平衡位置向左移动一个距离L以后释放，求：（1）物体1刚刚离开墙壁时两个物体的速度；（2）此后物体运动过程中物体1和2的最大速度；（3）求解物体1

11、位置与时间的关系。（1）31(2) (3) 32 a、b、c、d 是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为m。 a、b间有一自然长度为l, 劲度系数为k1的弹簧联接；c、d间有一自然长度为l, 劲度系数为k2的弹簧联接。四个物块的中心在同一直线上。如果b、c发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短。开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c、d 静止， a、b以相同的速度v0向右运动。试定量论述若k1 k2，四个物块相对于桌面怎样运动？若k1 4k2，四个物块相对于桌面怎样运动？2005决赛第六题33开普勒第三定律的修正F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / T2F

12、2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / T2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtainr1 / r2 = m2 / m134The total separation of the two bodies is given by a = r1 + r2 which gives r1 = m2a / (m1 + m2) Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation giv

13、es Newtons form of Keplers third law:42m1r1 /T2 = Gm1m2/a2T2 = 42 a3/G(m1 + m2).35mv2 / a = Gm1m2 / a2v=2a/Tm=m1m2 / (m1 + m2) Solution II:T2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).36练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为k=605.6N/m。(1) 当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是T0=1.28195s。计算椅子的质量m0 (2) 当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期T，测得T=2.33044s , 于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到T0=1.27395s。问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。37例6（