一元函数的导数与微分

1、一元函数的导数与微分第1页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六第一节 导数的概念 一、两个引例 二、导数的定义 三、求导举例 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系 本节内容提要第2页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六本节重点导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函数可导与连续的关系。本节难点导数概念的理解；可导的充要条件；利用导数几何意义求切线（法线）方程；判断函数在一点处是否可导和连续；利用导数定义求导；教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时 3课时返回第3页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星

2、期六一、两个引例 1、变速直线运动的速度设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s= s (t) 确定。我们要求在某一t0时刻的瞬时速度v（t0）。 在时间段t0,t0+ 内，动点经过的路程为 于是 即为该时间段内动点的平均速度。它并不是t0时刻的瞬时速度v（t0），但是如果时间间隔 较短，则有 。显然，时间间隔 越短，平均速度 与瞬时速度v（t0）的近似程度就越好。也就是说，当 第4页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六无限缩短时，平均速度 就会无限接近于瞬时速度v（t0），而运用我们第一章所学的极限概念，就有这样，该极限值就是t0时刻的瞬时

3、速度v（t0）。 第5页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六2、曲线的切线 设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。 设割线MN与X轴的夹角为 切线MT与X轴的夹角为 。曲线方程为y=f (x),点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为 。于是，割线MN的斜率为： 。当点N沿曲线C趋向点M时，就有 ，割线的斜率 就会无限接近切线的斜率 ,又由极限的定义， 第6页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六有即为切线的斜率。 返回第7页，共23页，2022年

4、，5月20日，23点23分，星期六二、导数的定义 上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限 ：即因变量的改变量 与自变量的改变量 之比，当自变量的改变量 趋于0时的极限。这就是导数。第8页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六1、定义 设函数y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量 时，相应的函数y取得增量 第9页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六在x0点处的导数，称为x0点的导数值。注：导数的定义也可取如下两种形式：2、区

5、间可导和导函数(1) 如果函数y = f (x) 在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y = f (x)在区间（a,b）内可导。 第10页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六(2) 若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y =f (x)的导函数，记做 导函数往往简称为导数。用极限表示为：3、左右导数(1)称左极限 为函数f (x)在x0点的左导数，记做 。 第11页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六(2) 称右极限 为函数f (x)在x

6、0点的右导数，记做 。 4、可导的充要条件函数y = f (x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。返回第12页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六三、求导举例 根据导数定义求导，可分为如下三个步骤： 第13页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六第14页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六第15页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六第16页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六第17页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六返回第18页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六四、导数的几何意义 函数y = f (x)在 处的导数 在几何上表示曲线 y = f (x)在 处的切线的斜率，即 ,为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得 处的切线方程为：相应点处的法线方程为：第19页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六第20页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六返回第21页，共23页，2022年，5月20日，23点23分，星期六可导性与连续的关系：若函数f (x)在点x可导，则