浅谈线性代数中的哲学思想

1、浅谈线性代数中的哲学思想浅谈线性代数中的哲学思想线性代数作为工科数学的一门主要根底课，不仅是后续课程和专业学习的需要，更是培养学生数学素质，进步创新才能的需要。为了进步教学效果，不仅要注重知识层面上的学识教育，更要注重文化层面上的素质教育，要擅长把数学课程放在更广阔的文化背景中进展教学，这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。下面结合自己的教学理论，尝试从哲学的角度来讨论一下线性代数的教学，以期对大家有所帮助。一、从形变质不变看事物之变化在线性代数中，所研究的事物常常会发生各种形式上的改变，但本质属性未改变，所谓万变不离其宗，在此不妨称之为形变质不变。例如，行列式的恒等变换；方程组的同解变换

2、；矩阵的初等变换；向量组的等价变换；二次型的标准变换等。这么多的变换，很容易引起学生混淆，特别是对变化的目的与方向一筹莫展，从而失去学习的兴趣和信心，因此在教学中需要注意以下几个方面。1.要充分提醒变与不变的真正内涵。引导学生认识事物，不但要观其表象，更要明其内里，真正明白形式改变背后隐藏的真谛。例如，行列式进展恒等变形，其值不变；矩阵进展初等变换，其秩不变；向量组进展初等变换，其秩以及线性表示关系不变；二次型进展各种标准变换，但其正定性、负定性等保持不变。以上种种变与不变，相辅相成，是形变质不变，是形式和内容的和谐统一。2.要积极引导学生为解决问题，在形式上寻求最正确改变方案。教学中经常用到

3、化归的思想1，要化繁为简，化难为易，化未知为。由于形式是为内容效劳的，所以以不变为根基，为纽带；以变为契机，为打破；才能寻找到解决问题的最正确途径。例如为求行列式的值，常将行列式化成三角形行列式；为求矩阵的秩，常把矩阵化成行阶梯形；为求线性方程组的解和向量组的线性表示关系，常将对应矩阵化成行最简形；为判断二次型的正定性，常将二次型化成标准型等。3.要反复强调矩阵初等变换本文由论文联盟搜集整理的核心地位。在形变质不变中，矩阵的初等变换堪称经典。因为矩阵的形变不仅能解决自身问题，如求矩阵的秩、矩阵的逆、矩阵方程的解以及矩阵的特征值与特征向量等，而且还能解决线性代数中的其他问题。例如求向量组的秩及线

4、性表示、线性方程组的通解、二次型的标准型等。可以说矩阵的初等变换如同一条多变的链条，充满了多样性和奇异性，将线性代数的整个内容都贯穿了起来，是解决线性代数问题的关键方法。二、从量变引质变看事物之差异辩证唯物主义认为，事物具有质和量两个方面，是质和量的统一体。而数学研究就是从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律，特别是质的差异和从量变到质变的飞跃过程3。在线性代数中，许多研究对象都有与其亲密相关的量，当这些量发生改变时，就能引起相应的质的改变，特别是当其改变到某种程度，即当量变到达某一值时，就会引起质的本质改变，会产生质的飞跃，可称之为量变引质变。例如，n阶矩阵A有对应的量RA和A，当RAn即

5、a=0时，a不可逆；当ra=n即a0时，a可逆。线性方程组ax=b有对应的量ra，b和ra，当ra，b=ra=n时，有唯一解；当ra，b=ran时，有无穷多解；当ra，bra时，无解。又如维的n个向量组成的向量组a，当其秩ran时，向量组必线性相关；当ra=n时，向量组必线性无关。再如n阶矩阵a，当其线性无关的特征向量的个数等于n时，才能相似对角化。br=以上种种，都说明量变引起了质变。因此，在教学中，不仅要引导学生去发现能反映事物质的量，而且还要帮助学生理解这个量为何影响质，并且对这个量变引起質变的临界值，要重点掌握。在实际应用时，常常会遇到量变取决于某些未知参数，因此就需要根据临界值，先对

6、未知参数进展讨论，然后再详细判别事物的质，使得问题得以顺利展开和讨论。三、从对立统一看事物之联络由于线性代数中的概念、性质以及定理较多，许多内容相似且有关联，所以学生特别容易混淆。而且学习时靠死记硬背，应用时张冠李戴，总犯一些不该犯的错误。为了使学生纯熟掌握这些内容，明晰其区别与联络，我们不妨把事物一分为二，从对立统一的角度看问题、分析问题，那么线性代数的教学内容就变得有章可循，有法可依，就能由此及彼，由浅入深，逐步展开成线性代数枝繁叶茂的知识体系。例如，从以下几个方面。1.特殊与一般。按照由特殊到一般再由一般到特殊的认识规律，线性代数中的很多概念、定理和公式都是从客观现实中，经过数学的抽象、

7、推理、归纳等产生的2。例如，二、三阶行列式与n阶行列式；数的运算与矩阵的运算；线性空间的一般基与标准基；齐次线性方程组与非齐次线性方程组；特解与通解；一般二次型与标准二次型等。特别是为理解决问题，要把与之相关的矩阵由一般形式变化成各种特殊形式，如等价标准形，行阶梯形，行最简形，对角形等。2.相关与无关。向量组的线性相关性是线性代数的重要理论，任意一个向量组，要么线性相关，要么线性无关，二者必居其一，都是线性表示的详细表达。相关向量组中至少有一个向量能被其余向量线性表示，无关向量中任一向量都不能被其余向量线性表示。相关向量组去掉多余的向量，那么线性无关；无关向量组添加能被它线性表示的向量，那么线

8、性相关。可见，相关变无关是量的精简，无关变相关是量的扩容，二者到达和谐完美的统一。3.有限与无限。有限与无限的辩证统一，主要表达在有限能生成无限，无限又包含有限，它们有质的差异，但在一定条件下也可以互相转换3。线性代数中由根底解系生成通解的方法，就是由有限生成无限的一种特殊方法，不仅实现了由量变到质变的飞跃，而且实现了定性描绘向定量描绘的重大转化，更利于分析问题和解决问题，对于进步学生的创新思维才能也有重要意义。四、从否认之否认看事物之开展否认之否认规律是自然界、人类社会和思维开展的普遍规律，事物通过否认之否认扬弃原来的概念，获得更为丰富的内容，从而获得新的开展起点3。在线性代数中，有一些重要

9、定义看似简单，但要根据这个定义来真正计算时，才发现比较困难，计算量往往非常大。这就需要我们在否认这种计算方法的根底上，重新由定义出发，去推断出尽可能多的结论，再从这些结论中寻求适宜的方法。另外，在求矩阵的秩和求向量组的最大无关组时，假设直接按照定义来做，只能利用挑选法，计算量不仅大而且非常烦琐。因此在否认的根底上，根据初等变换不改变矩阵的秩、行列初等变换不改变矩阵列行向量组的线性相关性这两个重要定理，利用矩阵的初等变换，使得这两个问题迎刃而解，方法既简洁又简单，充分表达了数学转化思想的重要性，以及数学的奇异美、形式美。所以说，否认之否认，就是完善与开展、就是进步与进步。同时也要引导学生，在学习与生活中，应该直面自身的缺点与缺乏，只有不断进展自我否认，才能努力改进，早