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1、第1章信号与系统的基本概念 1.1 信号的描述和分类 1.1.1信号的描述 信号可以由很多方式来描述，但在通常情况下，信号所包含的信息都是寄予在某种变化形式的波形中。在数学上，信号可以表达成一个或多个变量的函数。 1.1.2信号的分类1. 确定信号与随机信号 确定信号是在任意时刻，在其定义域内都有对应的确定的函数值。例如正弦信号等。 随机信号具有不可预知的不确定性，我们只能知道其统计特性。1.1.2信号的分类2. 连续时间信号与离散时间信号 连续时间信号是指在在所讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对任意时间值都可给出确定的函数值，通常用表示，例如，声音信号等，如图（a）所示。 离散时间信号

2、是指在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，在其他时间无意义，常用表示，例如，股票市场的每周道琼斯指数等，如图（b）所示。 O12O(a）(b）1.1.2信号的分类3. 周期信号与非周期信号 周期信号指每隔一定时间T，周而复始且无限的信号。满足 非周期信号，在时间上不具有周而复始的特性。可看成T 趋于无穷大的周期信号。1.2 信号的基本运算 1.2.1移位、反转和尺度（自变量变换） 1.移位 ， 相当于 的波形在轴上整体移动，当 0时波形左移，当 r=4.33 l=2*pi*r s=pi*r*rr = 4.3300l = 27.2062s = 58.9014表2-3 命令行编辑中

3、常用的控制键及其功能向后寻回翻滚一页PgDn删除当前行全部内容Esc向前寻回翻滚一页PgUp删除光标左边的字符Backspace在当前行中右移光标删除光标右边的字符Del在当前行中左移光标将光标移到当前行末尾End向后寻回调用已输入过的命令将光标移到当前行行首Home向前寻回调用已输入过的命令功 能控制键名功 能控制键2.2.2 MATLAB的基本运算1、基本算数运算MATLAB的基本算数运算有：+（加）、-（减）、*（乘）、/（右除）、（左除）、（乘方）（1）加法运算例如：变量x=12，y=34，求z=x+y x=12; y=34; z=x+yz =46（2）乘法运算例如：变量x=11，y=

4、12，求z=x*y x=12; y=34; z=x*yz = 408（3）乘方运算例如：变量x=11，y=12，z=x*y，求变量z的平方。 x=12; y=34; z=x*y; m=z2m = 166464表2-4 常用数学函数及其含义最小公倍数lcm不小于自变量的最小整数ceil最大公因子gcd不大于自变量的最大整数floor符号函数sign向零方向取整fix四舍五入到最邻近的整数round模运算mod求余数或模运算rem反双曲正切函数atanh复数共轭运算conj反双曲余弦函数acosh复数的虚部imag反双曲正弦函数asinh复数的实部real双曲正切函数tanh复数的幅角angle双

5、曲余弦函数cosh绝对值函数abs双曲正弦函数sinh2的幂pow2反正切函数atan自然指数函数exp反余弦函数acos以2为底的对数函数log2反正弦函数asin常用对数函数（以10为底）log10正切函数tan自然对数函数log余弦函数cos平方根函数sqrt正弦函数sin含 义函数名含 义函数名3、关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：（小于）、（大于）、=（大于或等于）、=（等于）、=（不等于）。具体的关系运算法则为：当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，表达式结果为1，否则为0。当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，将两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个比

6、较，并给出比较结果。最终的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。当参与比较的一个是标量，另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出比较结果。最终的运算结果是一个维数与矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。【例题2-2】判断一常数能否被3整除。解 a=49874; b=rem(a,3)=0b = 04、逻辑运算MATLAB提供了3种逻辑运算符：&（逻辑与）、|（逻辑或）、（逻辑非）。具体的逻辑运算法则为：在逻辑运算中，确认非零元素为真，表达式结果为1，否则为0。若两个同维矩阵进行逻辑运算时，将两矩阵相同位置的元素逐个比较，并给出比较结果。最终的

7、结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。当参与比较的一个是标量，另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量逻辑运算规则逐个比较，并给出比较结果。最终的运算结果是一个维数与矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，关系运算优先级其次，逻辑运算优先级最低。【例题2-3】在0，4区间，求y=cosx的值，要求：消去负半波 区间内的函数值置0。和区间内取值均为。分析：先根据自变量x产生函数y，并按要求对y进行处理解： x=0:pi/300:4*pi; y=cos(x); y1=(x3*pi/2).*y; %题目要求消去负半波 a=(xpi

8、/2&x5*pi/2&x b=a; y2=a*cos(pi/3)+b.*y1; %题目要求处理函数y plot(x,y1,.,x,y2) %将题目函数图形绘制出图2.2 例题2-2运行结果图2.2 例题2-2运行结果2.2.3 仿真的一般过程和步骤系统仿真一般分为3个步骤，及仿真建模、仿真实验和仿真分析。这3个步骤往往需要循环执行多次之后才能够获得令设计者满意的仿真结果。（1）仿真模型、（2）仿真实验、（3）仿真分析上述三个步骤在实际分析时应该是一个循环操作，在循环过程中，得到的结果并不十分满意，设计者还需要不断修改仿真模型，不断对取得的实验数据进行分析，直到达到预期目的为止。2.3 MATL

9、AB在信号与系统中的应用2.3.1 连续信号系统的分析这里讨论用MATLAB表示和分析连续信号系统的问题，严格地说，分析连续信号系统应该用符号推理方法，而非数值方法。因为数值只能给出采样数据，只有采样数据到达一定密度才能近似模拟连续信号系统。【例题2-4】假定相对于采样点密度而言，信号变化足够慢的情况下。用MATLAB描述连续信号系统。 单位冲激响应 单位阶跃响应 复指数函数解：建立仿真模型单位冲激响应单位冲激响应函数 可以看作是宽度为 ，数学模型中用 表示，幅度为 的矩形脉冲，即表示在 处的脉冲。单位阶跃响应 在 处的阶跃可以写成 。即 复指数函数若 ，它是实指数函数，如 ，则为虚指数函数，

10、其余部分为余弦函数，虚部为正弦函数。本例题中令MATLAB程序clear;clc;t0=0;tf=5;dt=0.005;t1=1;t=t0:dt:t1;st=length(t);n=floor(t1-t0)/dt); %t1的采样信息%单位冲激响应信号%在t1处有一个持续时间为dt,面积为1的脉冲信号，其余时间为0 x1=zeros(1,st); x1(n)=1/dt; %给出t1处的脉冲信号subplot(2,2,1),stairs(t,x1)grid on %绘制图形,图为第一行左1axis(0,5,0,25) %设置图形坐标%单位阶跃响应信号%从t0到tf,在t1前信号为0，从t1处信号

11、跳变为1x2=zeros(1,n-1),ones(1,st-n+1); %产生阶跃信号 subplot(2,2,2),stairs(t,x2),grid on %绘制图形，图为第一行左2axis(0,5,0,1.5) %设置图形坐标%复指数信号alpha=-0.5;w=10;x3=exp(alpha+j*w)*t); %产生复指数信号 subplot(2,2,3),plot(t,real(x3),grid on %绘制图形，图为第二行左1subplot(2,2,4),plot(t,imag(x3),grid on %绘制图形，图为第二行左2图2-3 例题2-4运行结果 从上图中可以看出，复数指

12、数信号可以分解为余弦信号和正弦信号，它们分别是复数信号的实部和虚部。图中第二行的两个衰减振荡信号就代表 这两个分量的相位差是2.3.2 MATLAB在模拟通信链路中的应用 【例题2-5】卷积编码器和解码器在模拟通信链路中的应用。 解：MATLAB程序及仿真图形EbNo = 4.5:.5:7; linEbNo = 10.(EbNo(:).*0.1); M = 4; codeRate = 1/2; constlen = 7; k = log2(M); codegen = 171 133; tblen = 32; % 反馈长度 trellis = poly2trellis(constlen, cod

13、egen); dspec = distspec(trellis, 7); expVitBER = bercoding(EbNo, conv, hard, codeRate, dspec); semilogy(EbNo, expVitBER, g); xlabel(Eb/No (dB); ylabel(BER); title(Performance for R=1/2, K=7 Conv. Code and QPSK with Hard Decision); grid on， axis(4 8 10e-7 10e-3)，legend(Union Bound) %绘制图形并添加标注 图2-4 建立

14、例题2-5QPSK通信系统模型 numSymb = 100; numPlot = 20;Nsamp = 4; %溢出率 EbNoDemo = 3; EsN0 = EbNoDemo + 10*log10(k); seed = 654321 123456; rand(state, seed(1); randn(state, seed(2); msg_orig = randi(0 1, numSymb, 1); stem(0:numPlot-1, msg_orig(1:numPlot),bx); axis( 0 numPlot -0.2 1.2); xlabel(Time); ylabel(Ampl

15、itude); title(Binary Symbols Before Convolutional Encoding ); legend off 图2-5 对建立的模型进行二进制编码 msg_enc = convenc(msg_orig, trellis); numEncPlot = numPlot / codeRate; tEnc = (0:numEncPlot-1) * codeRate; stem(tEnc, msg_enc(1:length(tEnc),rx); axis(min(tEnc) max(tEnc) -0.2 1.2); xlabel(Time); ylabel(Ampli

16、tude); title(Binary Symbols After Convolutional Encoding ); 图2-6 卷积之后的二进制编码 randn(state, seed(2); hMod = modem.pskmod(M, M, PhaseOffset, pi/4, . SymbolOrder, Gray, InputType, Bit);msg_tx = modulate(hMod, msg_enc); msg_tx = rectpulse(msg_tx, Nsamp); msg_rx = awgn(msg_tx, EsN0-10*log10(1/codeRate)-10*

17、log10(Nsamp); numModPlot = numEncPlot * Nsamp / k;tMod = (0:numModPlot-1) / Nsamp * k;plot(tMod, real(msg_tx(1:length(tMod),c-, .tMod, imag(msg_tx(1:length(tMod),m-); axis( min(tMod) max(tMod) -1.5 1.5); xlabel(Time); ylabel(Amplitude); title(Encoded Symbols After QPSK Baseband Modulation);legend(In

18、-phase, Quadrature); 图2-7 对信号相移、整形，建立同相和正交分量的无声信号 hDemod = modem.pskdemod(M, M, PhaseOffset, pi/4, . SymbolOrder, Gray, OutputType, Bit);msg_rx_int = intdump(msg_rx, Nsamp);msg_demod = demodulate(hDemod, msg_rx_int);stem(tEnc, msg_enc(1:numEncPlot),rx); hold on;stem(tEnc, msg_demod(1:numEncPlot),bo)

19、; hold off;axis(0 numPlot -0.2 1.2);xlabel(Time); ylabel(Amplitude); title(Demodulated Symbols ); 图2-8 利用INTDUMP and MODEM解调信号msg_dec = vitdec(msg_demod, trellis, tblen, cont, hard);stem(0:numPlot-1, msg_orig(1:numPlot), rx); hold on; stem(0:numPlot-1, msg_dec(1+tblen:numPlot+tblen), bo); hold off;a

20、xis(0 numPlot -0.2 1.2); xlabel(Time); ylabel(Amplitude);title(Decoded Symbols ); 图2-9 利用VITDEC解码信号 cla; load(vitsimresults.mat); semilogy(EbNo, expVitBER, g, EbNo, ratio, b*-);xlabel(Eb/No (dB); ylabel(BER);title(Performance for R=1/2, K=7 Conv. Code and QPSK with Hard Decision); axis(4 8 10e-7 10e

21、-3); legend(Union Bound, Simulation Results); grid on; 图2-10 卷积运算后结果以上例题简述了MATLAB在信号与系统中的部分应用成果，其它具体的应用实例将在后续章节中陆续给同学们进行详细介绍。习题1、与其他高级语言相比，MATLAB有哪些显著特点。答：MATLAB语言有如下特点：友好的工作平台和编程环境。MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。简单易用的程序语言。MATLAB高级编程语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口

22、中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。强大的科学计算机数据处理能力。MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。出色的图形处理功能。MATLAB有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图，可用于科学计算和工程绘图。2、试说明MATLAB的6种关系运算符。答：MATLAB提供了6种关系运算符：（小于）、（大于）、=（大于或等于）、=（等于）、=（不等于）。3、在M

23、ATLAB的三种基本运算中，优先级顺序是什么？答：在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，关系运算优先级其次，逻辑运算优先级最低。4、简述MATLAB系统仿真的一般步骤。答：系统仿真一般分为3个步骤，及仿真建模、仿真实验和仿真分析。这3个步骤往往需要循环执行多次之后才能够获得令设计者满意的仿真结果。（1）仿真模型仿真建模是根据实际系统建立仿真模型的过程，它是整个仿真过程中的一个关键步骤。因为模型建立的好坏直接影响着仿真结果的真实性和可靠性。（2）仿真实验仿真实验是一个或一系列针对仿真模型的测试。在仿真实验过程中，往往需要多次改变模型中输入信号的数值，使得其仿真的输入数据具有一定的代表性，

24、能够尽量的模拟实际模型的输入条件，从而提高系统仿真的效率。（3）仿真分析仿真分析是一个仿真流程的最后一步。在仿真分析过程中，设计者已经获得到足够多的系统信息，但是这些信息仅仅是一些原始数据，还需要进行分析和处理。常用的系统性能尺度包括平均值、方差、标准差、最大值和最小值等等。上述三个步骤在实际分析时应该是一个循环操作，在循环过程中，得到的结果并不十分满意，设计者还需要不断修改仿真模型，不断对取得的实验数据进行分析，直到达到预期目的为止。第3章连续信号与系统的时域分析 3.1 连续时间基本信号 连续时间信号：是指在信号的定义域内，任意时刻都有确定的函数值的信号，通常用f(t)表示。连续时间信号最

25、明显的特点是自变量t在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的。 连续信号举例3.1.2奇异信号 奇异信号在我们学习的范围内，主要是阶跃信号与冲激信号。 奇异信号：是指信号本身包含不连续点(幅值上的),或其导数与积分存在不连续点,而且不能以普通函数的概念来定义,而只能以分布函数或广义函数的概念研究的信号。 （1） 阶跃信号: 定义: 阶跃信号又称单位阶跃信号，以符号 表示，其定义为 阶跃信号在t=0处存在间断点，在此点没有定义。 阶跃信号也可延时任意时刻t0，以符号u(t-t0)表示，对应的表示式为 阶跃信号可以实现信号的加窗或取单边 例如，函数 波形表示如下： 1t0f(t)（2）冲激信

26、号 冲激信号记为(t)，其一般定义式为其波形如图所示： 0(1)d (t)t 冲激信号的作用不一定仅是t=0时刻，可以延时至任意时刻t0。以符号(t-t0)表示，定义式为 (t- t0)=0 tt0； (t- t0) t=t0； 其(t-t0)的波形图如下图所示：0(1)d (tt0)tt0 冲激信号具有以下重要性质： （1）抽取特性，以下有四个重要公式： （2）尺度变换特性 （3）偶函数性：函数导数的性质： 函数的一阶导数为 ，又叫冲激偶，且冲激偶为奇函数 ，即：冲激函数与阶跃函数的关系： 例3-3:信号 如图示，求其导数 解：3.1.2正弦信号定义：正弦信号一般定义式为 其中K为振幅、为角

27、频率、为初始相位，振幅、角频率、初始相位为正弦信号的三要素。其波形如下图所示： 欧拉(Euler)公式： 3.1.3指数信号 正弦信号，其一般定义式为当 时， ，为直流信号；当 ， 是递增函数，既此时指数信号是发散信号；当 时， 是递减函数，既此时指数信号是收敛信号，当趋于无穷时，信号无限接近于零。其波形如图3.7所示： 单边指数信号： 其波形如图所示： 3.1.4连续信号的MATLAB表示 1、阶跃信号用符号函数sgn(t)来生成阶跃函数，即而 可调用MATLAB中的符号函数sign(t)来实现。 。命令如下：t=-5:0.05:5;f=sign(t);plot(t,y),axis(-5,5

28、,-0.1,1.1绘制出符号函数的波形，如图所示 2、单位阶跃信号 首先需要在在自己工作的目录work下创建M文件，编辑冲激函数，命令如下function chongji(t1,t2,t0)dt=0.01;t=t1:dt:t2;n=length(t);x=zeros(1,n);x(1,(-t0-t1)/dt+1)=1/dt;stairs(t,x);axos(t1,t2,0,1.2/dt)title(单位冲激信号（t）) 下面调用chongji函数绘制(t)， MATLAB调用命令为： chongjie(-1,5,0) 波形如下图所示： 3、正弦信号 我们用MALAB绘制正弦信号当 ， ， 的时

29、域波形，对应的MATLAB命令如下：f=sym(3*sin(w)*t)f1=subs(f,w,pi/2)ezplot(f1,0,4*pi)f=subs(f2,w,pi)ezplot(f2,0,4*pi)f3=subs(f,w,3/2*pi);ezplot(f3,0,4*pi)绘制的正弦信号时域波形如图所示： 4、指数信号下面用MATLAB来绘制指数信号，当 ， ， , 时的时域波形，对应的MATLAB命令为：f=sym(exp(a)*t);f1=subs(f,a,-1);ezplot(f1,-2,2);f2=subs(f,a,1);ezplot(f2,-2,2);f3=subs(f,a,0);

30、ezplot(f3,-2,2);仿真波形如图所示：3.2卷积积分 卷积积分是现代电路与系统分析的重要工具，也是研究系统中信号传递规律的关键所在。如图为图像经过卷积变换后的效果。 3.2.1卷积的定义： 设有定义在 的两个函数 和 ，则积分 为 和 的卷积积分，简称卷积。简记为 定义式中的 为积分变量，积分结一般是关于参数变量t的函数y(t)。 3.2.2卷积的图解机理 图解卷积的具体步骤:例35已知信号 与 的波形如图所示，试计算其卷积1.对于图3.15所示 和的 波形，把 变为 ，得到 和 的图形。如下图所示。 2.以纵轴为基准反褶 得到 ，如下图所示。 3.把 的图形沿 轴平移 ,得到 ，

31、如下图所示。 4.将 与 相乘，求其面积。 是连续变量， 相当于 的图形从左向右连续扫描，从而 的“面积”是随着 的变化而变化的。将t分成不同的区间，分别计算其卷积积分的结果，如下图所示。 3.2.3卷积性质1、代数性质：卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。 （1）交换律：说明两信号的卷积积分与次序无关，也就是说系统输入信号f(t)与系统的冲激响应h(t)可以互相调换，其零状态响应不变。 （2）结合律： 结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积，如下图所示（3）分配律： 分配律在系统分析中，相当于并联系统的冲激响应等于各子系统的冲激响应之和，如图所示：微积

32、分性质：若则任意信号 与冲激信号 卷积恢复 本身，即 由微分性质，有即信号 与冲激信号导数的卷积等于 的导数。积分性质：若则任意信号 与阶踟信号的卷积等于 的积分，即延时性质：若则3.2.4常用信号的卷积公式1. 2. 3. 4.5.6. 3.3 LTI系统的微分方程 1. 元件约束条件VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下：(1)电阻R，u (t)= Ri (t)； (2)电感L，(3)电容C，(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。 2.电路结构约束条件KCL与KVL。 例3-7 下图所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出以电流iL(t)为输出响应变量的

33、方程式。 解：由KVL，列出电压方程对上式求导，考虑到 根据KCL，有 ，又因 ， ， ，故 ，整理上式后，可得3.4连续系统的零输入响应 线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用 表示；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用 表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 经微分方程的经典求解过程，导出其零输入响应的通式为其中n为微分方程阶数； 为待定常数，可根据方程初始条件求得， 为特征根。 3.4.1系统初始条件 前面提到了求解系统零输入响应通式

34、，若想求得某系统的零输入响应就需要确定响应中的各参数， 即为待定常数， 为特征根。 首先说 为待定常数，其值是由微分方程的初始条件，也就是系统的初始条件求得。在电路基础课程中，我们曾经学过关于动态电路中，系统的初始条件，指的是系统换路后瞬间各元件包括储能元件（电容、电感），上的电压或电流值。在这个问题上，我们最好在来看一下经典的换路定律，若换路发生在t=t0时刻，有 此定律的主要依据是储能元器其能量在换路前后不能突变，对于电容来说其能量反映在其电压值上，对于电感来说其能量反映在电流上。3.4.2简单系统的零输入响应例38如图 (a)所示的电路，已知L=2H，C=0.25F，R1=1，R2=5；

35、电容上初始电压 =3V,电感初始电流 =1A；激励电流源iS(t)是单位阶跃函数，即iS(t)= 。试求分别求出电感电流 的零输入响应。解：若以 为输出变量，已知其微分方程为将各元件数值代入得如图，将全响应按定义分解零输入响应和零状态响应。（b）图为输入信号为零的零输入响应，其响应由电路换路后瞬间的储能元件的初始储能所引起的响应，由换路定健得出其初始条件，储能电流值电压值瞬间等效为相应的电压源及电流源。（c）图为电感及电容的初始储能为零的零状态响应。对于电感元件其储能为零即 = =0A，对于电容元件其储能为零即为 = =0V。(1)零输入响应。当输入为零时，电感电流的零输入应满足齐次方程列出其

36、特征方程为 ，解得，其特征根1=-1，2=-2，因此零输入响应已知iL(0+)=1A，由KVL：再由可得解得 ，故而零输入响应3.5连续系统的零状态响应3.5.1在冲激响应和阶跃响应 线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用h(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应，如图所示 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用s(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应，如图所示 阶跃响应s(t)和冲激响应h(t)是两个重要的零状响应

37、。它们的关系是:3.5.2 基于MATLAB的连续系统零状态响应的求解描述某连续系统的微分方程为：若要求当输入信号 时系统的零状态响应 。 通过如下MATLAB命令来实现： a=1,2,1; 描述微分方程的系数向量（左侧） b=1,2; 描述微分方程的系数向量（左侧） p=0.5; 定义取样时间间隔t=0:p:5; 定义时间范围 x=exp(-2*t); 定义输入信号lsim(b,a,x,t) 对系统输出信号进行仿真上述命令绘制的系统零状态响应仿真如图所示：第4 章连续信号与系统的频域分析 第4章 连续信号与系统的频域分析 周期信号的连续时间傅里叶级数 周期信号的频谱周期信号频谱分析的MATL

38、AB实现 非周期信号的连续时间傅里叶变换 非周期信号频域分析的MATLAB实现 傅里叶变换的性质 本章提要周期信号的傅里叶变换 连续系统的频域分析 用MATLAB实现连续系统的频域分析 无失真传输条件 理想低通滤波器的特性 连续信号的抽样定理 引言频域分析：傅里叶变换将时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数（ ， ）或虚指函数 之和，用于系统分析的独立变量就由时间变量变换为频率变量，故称为频域分析。 时域分析：以冲激函数为基本信号，任意激励可分解为一系列冲激函数，系统的零状态响应就是激励 与系统冲激响应 的卷积积分。 周期信号的连续时间傅里叶级数 由数学分析可知，满足狄利克雷条件的周期信号在区

39、间 可以展开成在完备正交函数空间的无穷级数。 狄利克雷条件为： （1）在一个周期内函数连续或有有限个第一类间断点； （2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。 电子技术中的周期信号大都满足该条件 三角形式的傅里叶级数 周期为 的周期信号 ， 为基波角频率 ，其三角形式的傅里叶级数 ： 傅里叶系数 是 的偶函数， 是 的奇函数。 注意：积分区间只要是一个周期就可。 三角形式的傅里叶级数 是 的偶函数， 是 的奇函数。 将上式同频率项合并，可写为 式中周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 三角形式的傅里叶级数例4-1将下图所示的方波信号 展开为三角形式傅里叶级数。 三角形式的傅里叶级数解 取

40、积分区间 ，三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数： 是偶函数时， 是 的偶函数， 是 的奇函数，有 ， ； 是奇函数时， 是 的奇函数， 是 的偶函数，有 ， ； 是奇谐函数，即 时， 的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波分量； 是偶谐函数，即 时，的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波分量。指数形式的傅里叶级数 利用 ，考虑到 、 ，可得到指数形式的傅里叶级数。， 指数形式的傅里叶级数 复数 ，称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数，则傅里叶级数的指数形式为 注意：三角形式傅里叶级数与指数形式傅里叶级数虽然形式不同，但都是将信号表示成直流分量和各次谐波分量的和的形式。 指数形式

41、的傅里叶级数例4-2 求例4-1中周期信号的指数形式傅里叶级数 周期信号的频谱 信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将 和 的关系分别画在以 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画 和 的关系，称为双边谱。若 为实数，也可直接画 。周期信号的频谱例4-3 ，试画出的幅度谱和相位谱。解： 为周期信号，基波角频率 。题目中给出的的表达式可以看做的指数形式傅里叶级数，故有 周期信号的频谱单边频

42、谱图和双边频谱图 0123421405101520151050123410.5210.520510152051015-15-10-5周期信号频谱的特点 以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 称为取样函数，则 的变化规律应符合 的变化规律，即时， ；频率 的谱线为零。 时，频谱如图所示 周期信号频谱的特点0周期信号频谱具有如下特点：（1）离散性；（2）谐波性；（3）收敛性。周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系：（1）周期 不变时，谱线间距 不变，此时， 减小，各次谐波分量的振幅减小，在 这段频率范围（称为频带宽度）内包含的谱线越多 ；（2）脉冲宽度 不变时，周

43、期 变大，则谱线间距 变小，谱线变密，各次谐波分量的振幅减小。 周期信号趋于单脉冲非周期信号，各次谐波分量的振幅趋于零，谱线无限密集，离散谱成为连续谱。 周期信号的功率 周期信号是功率信号，将其在1 电阻上消耗的平均功率称为归一化平均功率。如果周期信号是实函数，则平均功率为 将 表示成傅里叶级数带入上式，得 上式称为帕塞瓦尔恒等式，表明了周期信号的平均功率等于各频率分量的功率之和，即周期信号在时域和频域的能量是守恒的。 周期信号频谱分析的MATLAB实现 例4-4 设周期信号（某电路电压、电流） 如下，求该周期信号的频谱其中 为基波角频率， 为信号周期。 ：周期信号有效值公式为： 若电压 ，频

44、率（即 ）计算总功率有效值和各分功率有效值与误差。 周期信号频谱分析的MATLAB实现解：则总功率有效值为 各分功率有效值为 误差为 建模令周期信号频谱分析的MATLAB实现 MATLAB程序演示clc %清屏Um=100; T=0.02; w=2*pi*50; %详见中取值N=input(输入谐波次数N= ); %取得谐波次数决定所分段数，次数 越高，分段数越高t=linspace(-T/2,T/2); dt=T/99; %取100个采样点u=Um*abs(sin(w*t); %在一个周期内产生两个半波for k=0:N a(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t)*dt/T*2;周

45、期信号频谱分析的MATLAB实现 b(k+1)=trapz(u.*sin(k*w*t)*dt/T*2; A(k+1)=sqrt(a(k+1)2+b(k+1)2);end0:N,A(1)/2,A(2:end); %显示傅立叶分量，恢复与k对应的关系值 stem(0:N,A(1)/2,A(2:end) %将对应关系绘制成图形Us11=sqrt(trapz(u.2)*dt/T) %总功率有效值Us12=sqrt(A(1)2/4+sum(A(2:end).2/2) %各分功率有效值e=(Us11-Us12)/Us11 %误差周期信号频谱分析的MATLAB实现 程序运行结果输入谐波次数N= 16，回车，

46、程序运行结果如下：（根据用户需要可以输入其他谐波次数） 总功率有效值： Us11 = 70.7107分功率有效值： Us12 = 70.7085误 差： e = 3.0887e-005 各傅立叶分量对应的k值数值积分存在误差导致不为零非周期信号的连续时间傅里叶变换 当 时，周期信号趋于非周期信号，谱线无限密集，离散谱成为连续谱，各次谐波分量的振幅趋于零，故利用傅里叶级数无法分析非周期信号的频谱。为了表示非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数的概念。 周期信号 复振幅 非周期信号的连续时间傅里叶变换当 时， 离散量 趋于连续量 ，谱线间隔 趋于无穷小量 ， 成为 的函数，一般是复函数，记为 ，求

47、和转化为积分，则有 傅里叶正变换傅里叶逆变换非周期信号的连续时间傅里叶变换可以记为 或 称为 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 称为 的傅里叶反变换或原函数。复函数 可以写为 非周期信号的连续时间傅里叶变换 存在傅里叶变换的充分但非必要条件 利用傅里叶变换公式可以方便地求出：典型信号的傅里叶变换 （一）矩形脉冲信号（门函数）01（二）单边指数函数01典型信号的傅里叶变换（三）双边指数函数01（四）冲激函数及其导数 典型信号的傅里叶变换（五）单位直流信号 不满足绝对可积，故不能直接使用公式计算其频谱。考虑到双边指数函数 （ ）当 时， ，所以双边指数函数的频谱当 就应是单位直流信号的频谱。

48、 即单位直流信号的频谱是冲激函数，其强度为 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换（六）符号函数 01-1 可以看作是 （ ）当 时的极限。 典型信号的傅里叶变换（七）单位阶跃函数 单位阶跃函数不满足绝对可积条件，不能直接用傅里叶变换公式求其频谱函数 非周期信号的频谱函数 非周期信号的频谱函数当 为实函数时，可以得到以下结论： （1）（2） ，其中 是 的共轭函数； （3）若 ，则 的频谱函数 是 的实函数，且是 的偶函数，即 ， ； （4）若 ，则 的频谱函数 是 的虚函数，且是 的奇函数，即 ， 。 非周期信号的频谱函数当 为虚函数时，可以得到以下结论： （1）（2） ，其中 是 的共轭

49、函数； （3）若 ，则 的频谱函数 是 的虚函数，且是 的偶函数，即 ， ； （4）若 ，则 的频谱函数 是 的实函数，且是 的奇函数，即 ， 。 非周期信号频域分析的MATLAB实现例5 设非周期信号（方波） 如下，用MATLAB求该信号在 的频谱。方波信号解：这里我们取建模 通过傅立叶变换得出非周期信号频谱公式如下：非周期信号频域分析的MATLAB实现MATLAB程序演示tf=10;N=input(输入时间分割点数目：N= ) dt=10/N;t=1:N*dt; %对所取时间进行分割f=ones(1,N/2),zeros(1,N/2); plot(t,f,linewidth,1.5),gr

50、id %产生方波信号图w1=input(输入频谱宽度：w1= )n1=input(输入频谱点数：n1= )w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信号的傅立叶变换w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信号的负频率F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信号负频率的频谱plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid非周期信号频域分析的MATLAB实现非周期信号时域频谱图程序运行结果注意：这里频谱宽度和点数如果取的不好会发生频率泄漏输入时间分割点数目：N= 256输入频谱宽度：w

51、1= 40输入频谱点数：n1= 64傅里叶变换的性质 （一）线性 若 （ ），则对于任意常数 ，有（二）对称性 若 ，则有 傅里叶变换对的两种函数是固定的，本性质为 和 的互求提供方便。 傅里叶变换的性质例4.61求 和 的频谱函数。 解：（1）取 ， 门函数的幅度为 ，则由线性性质 （2）傅里叶变换的性质（三）时移性若 ， 为实常数，则有 信号在时域中的延时和频域中的移相相对性，若在时域中信号右移 ， 其频谱函数的幅度不变，而各频率分量的相位比 各频率分量的相位滞后 。傅里叶变换的性质例4.62求如图所示信号的频谱函数。-1-4413解：由时移特性可知 傅里叶变换的性质（四）频移性 若 ，

52、为实常数，则有时傅里叶变换的性质（五）尺度变换 若 ， 为实常数（ ），则有当 时，得到 由尺度变换特性可知， 时，信号在时域中压缩，其频谱在频域中扩展，各分量的幅度降为原来的 ，信号的持续时间与其频带宽度成反比。 傅里叶变换的性质例4.64若已知 ，求信号 的频谱函数。解：根据时移特性根据尺度变换特性 试先应用尺度变换特性再应用时移特性求 的频谱函数 傅里叶变换的性质（六）卷积定理1、时域卷积定理若 ， ，则有 2、频域卷积定理若 ， ，则有 显然，时域卷积定理与频域卷积定理是对称的，这由傅里叶变换的对称性决定。 傅里叶变换的性质例4.65已知 ，利用卷积定理求该余弦脉冲的频谱函数。解：该余

53、弦脉冲可以看作是余弦信号 与门函数 的乘积。傅里叶变换的性质（七）微分特性1、时域微分特性若 ， ，则有2、频域微分特性 也可以写为 若 ， ，则有 傅里叶变换的性质-1104-1104-4-110(-8)(4)(4)(a)(b)(c)例4.66求如图（a）所示信号 的频谱函数。傅里叶变换的性质解：利用时域微分性质求 的频谱 由于 ， ，由傅里叶变换的线性性质、时移性质，可得傅里叶变换的性质（八）积分特性1、时域积分特性若 ， ，则有2、频域积分特性若 ， ，则有时，时，傅里叶变换的性质例4.67利用时域积分性质求例4.66中信号 的频谱函数。解：由例4.66已知根据时域积分性质 注意：若信号

54、 中含有直流分量，应先将 的频谱分成两个部分，对不含直流分量的部分利用微分性质（或积分性质）求其频谱函数，再利用线性性质求两部分频谱函数之和即为 的频谱函数。 周期信号的傅里叶变换 （一）周期信号的傅里叶变换 对上式两边取傅里叶变换，并考虑傅里叶变换的线性性质、频移性质，结合 周期为 的信号 ，基波角频率为 ，将其展开成指数形式的傅里叶级数为周期信号的傅里叶变换01(a)0(b)例4.71 求如图（a）所示周期单位冲激函数序列 的傅里叶变换 解：周期信号的傅里叶变换（二）周期信号傅里叶系数 与单脉冲傅里叶变换 的关系，根据时域卷积定理，可得 周期信号第一个周期的单脉冲信号表示为 ，根据冲激函数

55、的卷积积分性质，则有连续系统的频域分析（一）基本信号 激励下的零状态响应 上式表明：线性时不变系统，在 作用下的零状态响应是基本信号本身乘上一个与 无关的常量 。 的傅里叶变换记为，称为频率响应函数（系统函数）。反映了系统的时域特性，反映了系统的频域特性。连续系统的频域分析 LTI连续系统基本信号齐次性时不变性（二）一般信号 激励下的零状态响应连续系统的频域分析频域分析法求解零状态响应的步骤：求 ；求频率响应函数 ；求零状态响应的傅里叶变换 ；求零状态响应 。连续系统的频域分析例4.81 描述某系统的微分方程为 ，求激励 时系统的零状态响应。解：对微分方程两端取傅里叶变换，得 由于 ，故零状态

56、响应的傅里叶变换为连续系统的频域分析（1）画出电路的频域模型，并求出系统的冲激响应函数 ；（2）若激励为 ， 求零状态响应 。例4.82 电路如图(a)所示，图中 ， ， 为激励， 为响应，(a)解:(1)(b)连续系统的频域分析（2）根据 及傅里叶变换的频移特性，可得用MATLAB实现连续系统的频域分析 例4.9-1 连续信号函数如下，求该信号的频谱解：建模 该信号输出的频谱为用MATLAB实现连续系统的频域分析MATLAB程序演示tf=10;N=input(输入时间分割点数目：N= ) dt=10/N;t=1:N*dt; %对所取时间进行分割f=ones(1,N/2),zeros(1,N/

57、2); plot(t,f,linewidth,1.5),grid %产生方波信号图w1=input(输入频谱宽度：w1= )n1=input(输入频谱点数：n1= )w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信号的傅里叶变换 用MATLAB实现连续系统的频域分析w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信号的负频率F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信号负频率的频谱subplot(2,2,1),plot(t,f,linewidth,1.5),grid %绘制连续脉冲信号波形subplot(2,2,

58、2),plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid %绘制连续脉冲信号频谱H=freqs(1000,1,30,300,1000,w); Y=H.*F; subplot(2,2,3),plot(w,abs(Y),linewidth,1.5),grid %绘制滤波后的连续信号频谱y=Y*exp(j*w*t)/pi*dw; %傅里叶变换的逆变换subplot(2,2,4),plot(t,f,t,y,linewidth,1.5),grid %绘制滤波后的连续信号的波形 用MATLAB实现连续系统的频域分析程序运行结果经反复验证，取N=128，w1=20，n1=128，运行结果如下

59、图 连续脉冲信号 连续脉冲信号频谱 脉冲信号滤波后频谱 脉冲信号滤波后波形无失真传输条件 失真的分类失真线性失真非线性失真：产生新的频率分量幅度失真相位失真不产生新的频率分量无失真传输定义：系统的输出与输入相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。 无失真传输条件输出与输入满足条件 时域频域到无失真传输对系统的要求 时域频域无失真传输系统的幅频特性和相频特性理想低通滤波器的特性 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性1理想低通滤波器的频率响应函数为 称为截止角频率，能使信号通过的频率范围称为通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带或止带。理想低通滤波器的特性0 理想低通滤波器在 时

60、，即没用激励作用时已产生响应，不满足因果关系，在物理上是不可实现的。物理可实现系统满足条件： 时域上，要求系统的冲激响应满足因果条件，即 时 。； 。频域上，满足“佩利维纳准则件。 ， 满足连续信号的抽样定理 （一）信号的抽样 定义：利用抽样脉冲序列 从连续时间信号 中“抽取”一系列离散样值，这样得到的离散信号通常称为“抽样信号”，用 表示。010(a) 连续时间信号10(b) 抽样冲激序列(c) 抽样信号(d) 抽样模型连续信号的抽样定理 如果抽样脉冲序列是周期冲激函数序列，这样的抽样称为“冲激抽样”或“理想抽样”。 连续信号的抽样定理0(a)0(c)10(b)10(d)0(e)0(f) 信