2020-2021学年高中数学新人教A版必修第二册 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 教案

1、1 12 21 2 2 11 21 12 21 2 1 22 1 21 21 12 21 2 2 11 1x y2 26.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示素养目标 定方向素养目标1理解数乘向量的坐标运算和法则.(数学运 算)2理解用坐标表示向量共线的条件.(数据分 析)学法指导数乘运算的结果仍然是向量，所以数乘运算 的结果也仍然是坐标.通过坐标的计算来处理 向量的共线问题，体现了向量代数与几何的 完美结合.必备知识 探新知知识点 1 平面向量数乘运算的坐标表示设向量 a(x，y)，则有 a_(x，y)_，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的相应坐标.知识点 2 平面向量共

2、线的坐标表示利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快设 a(x ，y )，b(x ，y )，其中 b0向量 a，b(b0)共线的充要条件是_x y x y 0_.知识点 3 中点坐标公式若 P ，P 的坐标分别是 (x ， y ) ，(x ，y ) ，线段 P P 的中点 P 的坐标为 (x，y)，则x xx ，y yy ，2此公式为线段 P P 的中点坐标公式.知识解读 两个向量共线条件的三种表示方法已知 a(x ，y )，b(x ，y ).(1)当 b0 时，ab.这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关系.(2)x y x y 0这是代数运算，用它

3、解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数 的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.x y(3)当 x y 0 时， .2 2即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出 现搭配错误. 2 3 36 3 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 41 2 关键能力 攻重难题型探究题型一 向量的坐标运算典例 1 已知 a(1,2)，b(2,1)，求：1 1(1)2a3b；(2)a3b；(3) a b.2 3分析 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算.解析 (1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6

4、,3)(4,7).(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1).1 1 1 1(3) a b (1,2) (2,1)2 3 2 31 2 1 7 2 ，1 ， ， .归纳提升 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意 方程思想的运用及正确使用运算法则.【对点练习】 ( A )A(23，12) C(7,0)(1)已知向量 a(5,2)，b(4，3)，若 c 满足 3a2bc0，则 cB(23,12)D(7,0)(2)已知 M(3，2)，N(5，1)，MP MN，则 P 点坐标为_ 1， _.2解析 (1)由 3a2bc0，c3a2b3(5,2)2(4

5、，3)(23，12)， c(23，12).(2)解法 1：设 P(x，y)，MP(x3，y2)，MN(8，1)，由MP MN得 P 1， .2 1 解法 2：由MP MN得 P 为 MN 中点，由中点坐标公式得.2题型二 向量平行(共线)的判定典例 2 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( B )Ae (0,0)，e (1，2)Be (1,2)，e (5,7)Ce (3,5)，e (6,10)1 3De (2，3)，e ，(2)已知 a(2,1)，b(3，4)，当 为何值时，ab 与 a2b 平行？平行时，它们是同 向还是反向？2 2 2 2 3 2 3 1解析 (1)A 中向量

6、 e 为零向量，e e ；C 中 e e ，e e ；D 中 e 4e ，e1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1e ，故选 B(2)ab(2,1)(3，4)(2，)(3，4)(23，4)，a2b(2,1)2(3，4)(2,1)(6，8)(8，7)，(ab)(a2b)，18(4)7(23)022110 .1 1 1 7 ab( 23， 4)(4， )，2 2 2 21即 ab (a2b).1故当 时，ab 与 a2b 平行；平行时它们反向.归纳提升 1向量共线的判定方法2利用向量平行的条件求参数值的思路(1)利用共线向量定理 ab(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解

7、.【对点练习】 若 a( 3，cos )，b(3，sin )，且 ab，则锐角 _ _. 解析 a( 3，cos )，b(3，sin )，ab， 3sin 3cos 0，即 tan 3， 又 0 ，故 .题型三 三点共线的判定及应用典例 3 (1)已知OA(3,4)，OB(7,12)，OC(9,16)，求证：A，B，C 三点共线；(2)设向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？ 解析 (1)证明：ABOBOA(4,8)，ACOCOA(6,12)， 3 AC AB，即AB与AC共线.2又AB与AC有公共点 A，A，B，C 三点共线.(2)若

8、 A，B，C 三点共线，则AB，AC共线，ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(10k，k12)，(4k)(k 12)7(10 k)02 1 3 13 1 2 1 4 4 解得 k2 或 k11归纳提升 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：直接利用上述条件，计算(x x )(y y )(x x )(y y )是否为 0；任取两点构成向量，计算出两向量，如AB，AC，再通过两向量共线的条件进行判断.【对点练习】已知OA(k,2)，OB(1,2k)，OC(1k，1)，且相异三点 A，B，C1共线，则实数 k_ _.4解析 ABOBOA(1k,2k2)，ACOCOA(12k，3)，

9、由题意可知ABAC，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，1解得 k (k1 不合题意舍去).4题型四 向量法在解析几何中的应用典例 4 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标.分析 (1)AC 与 OB 相交于点 P，则必有 O，P，B 三点共线和 A，P，C 三点共线；(2) 根据 O，P，B 三点共线可得到点 P 坐标应满足的关系，再根据 A，P，C 三点共线即可求得点 P 坐标.解析 解法一：由 O，P，B 三点共线，可设OPOB(4，4)，则APOPOA(44,4)，ACOCOA(2,6).由AP与AC共线得(44

10、)64(2)0，3 3 解得 ，所以OP OB(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3).解法二：设点 P(x，y)，则OP(x，y)，OB(4,4)，P、B、O 三点共线，OPOB.4x4y0又APOPOA(x，y)(4,0)(x4，y)，ACOCOA(2,6)(4,0)(2,6)， 3 1 12 21 2 2 11 11 12 22 P、A、C 三点共线，APAC.6(x4)2y04x4y0， x3，由 得6 x4 2y0， y3.点 P 的坐标为(3,3).归纳提升 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关 系

11、，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中. 1 【对点练习】 已知两点 A(3，4)，B(9,2)，在直线 AB 上求一点 P，使AP AB. 解析 设点 P(x，y)，则AP(x3，y4)，AB(12,6)，1(x3，y4) (12,6)(4,2)，3x34， x1， 即 y42， y2，P(1，2).易错警示处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况典例 5 已知 a(3,2m)与 b(m，m)平行，求 m 的值.3 2m错解 由题意，得 ，解得 m5m m错因分析 本题中，当 m0 时，b0，显然 ab 成立.错解中利用坐标比例形式判断 向量共线的前提是 m(m)0，漏掉了 m0 这种情况.正解 ab，3(m)(2m)m0，解得 m0 或 m5误区