常用数学公式集锦教材

1、目录（按字母拼音序次摆列）差乘与点乘2多项式睁开公式3反三角函数知识表格3傅立叶变换4幂级数6求导公式6积分公式7三角函数基本公式8三角形的基本定理12摆列组合12泊松方程和拉普拉斯方程13数列13双曲函数14泰勒睁开式15小量睁开191差乘与点乘(主要摘自郭硕鸿电动力学附录I)a(bc)b(ca)c(ab)(I.1)a(cb)b(ac)c(ba),c(ab)(cb)a(ca)b,(I.2)(ab)c(ca)b(cb)a,(I.3)ijk;AAxiAyjAzkxyzAAxAyAz;yxzijkAAzAy)iAxAz)jAyAx)kxyz(z(x(yyzxAxAyAz0,(I.14)f0,(I.

2、15)(),(I.18)(f)()ff,(I.19)(f)()ff,(I.20)(fg)(f)gf(g),(I.21)(fg)(g)f(g)f(f)g(f)g,(I.22)(fg)f(g)(f)gg(f)(g)f,(I.23)2,(I.24)(f)(f)2f,(I.25)2多项式睁开公式a2b2(abi)(abi)a2b2(ab)(ab)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)3(ab)2(ab)(a22abb2)(ab)a33a2b3ab2b3(ab)3(ab)2(ab)(a22abb2)(ab)a33a2b3a

3、b2b3反三角函数知识表格因为三角函数都是周期函数，对值域中的任何y值，自变量x都有无量多个值与之对应，故在整个定义域上三角函数不存在反函数。但是，假如限制x的取值区间，使三角函数在采纳的区间上为单调函数，则可考虑三角函数的反函数，此即反三角函数。名称反正弦函数反余弦函数y=sinx(xy=cosx(x0,反正切函数y=tgx(x(-,反余切函数（认识）y=ctgx(x(0,定义理解-,的反22函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyarcsinx表示属于-,22)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyarccosx表示属于0，且余弦值等于x的角2)的反函数，叫做2反正切函数，记作

4、x=arctgyarctgx表示属于(-,)，且正切22)的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgyarcctgx表示属于(0，)且余切值等于x的角3且正弦值等于x值等于x的角的角图像定义域-1，1-1，1(-，+)(-，+)值域-，0，(-2，)(0，)222性在-1，1上是在-1，1上是减在(-，+)上是增在(-，+)上单调性增函数函数数是减函数质奇偶性arcsin(-x)=-arcarccos(-x)=arctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=sinx-arccosx-arcctgx周期性都不是同期函数sin(arcsinx)=x(cos(arccosx)=x(xtg

5、(arctgx)=x(xctg(arcctgx-1，-1,1)R)arctg(tgx)=x（xx)=x(xR)恒等式1)arcsin(sinxarccos(cosx)=x(x(-,)）arcctg(ctgx)=x)=x(x0,)(x(0,)22-,)22互余恒等式arcsinx+arccosx=(x-1,1)arctgx+arcctgx=(xR)22傅立叶变换基本公式（傅立叶变换和逆变换）F(w)f(t)eiwtdt1iwtf(t)F(w)edw2线性特征nnaifi(t)aiFi(w)i1i1标度变换性质f(at)1F(w)|a|a4证明：f(at)=对称性（认识）F(t)2f(w)证明：不

6、是F(w)2f(t)时延特征f(tt0)F(w)ejwt0频延特征ejw0tf(t)F(ww0)时域卷积特征x(t)*y(t)X(t)Y(t)频域卷积特征2x(t)y(t)X(t)*Y(t)巴塞瓦尔定理|f(t)|1|F(w)|2dw2相关特征R()f(t)f(t)dtR()f(t)f(t)dtRxy()x(t)y(t)dtRyx()x(t)y(t)dtR()R()Rxy()Ryx()自相关定理R()|F(w)|25幂级数函数f(z)在点z0处的Taylor级数睁开式为f(z)f(z0)f(z0)(zz0)f(z0)(zz0)2f(n)(z0)(zz0)n2!n!假如f(z)在z0为圆心的圆域

7、内分析，则级数收敛于f(z)。假如r是该圆的半径，则r称为级数的收敛半径。假如取z0为零，则级数称为麦克劳林（Maclaurin）级数，于是写成f(z)f(0)f(0)2f(n)(0)nf(0)zzz2!n!求导公式1基本求导公式(C)0（C为常数）(xn)nxn1；一般地，(x)x1。特别地：(x)1，2111(x)2x，(x)x2，(x)2x。(ex)ex；一般地，(ax)axlna(a0,a1)。(lnx)1x)10,a1)。；一般地，(loga(axxlna2求导法规四则运算法规设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（）(f(x)g(x)f(x)g(x)；（）(f(x)g(x)f(x

8、)g(x)f(x)g(x)，特别(Cf(x)Cf(x)（C为常数）；（）(f(x)f(x)g(x)f(x)g(x),(g(x)0)，特别(1)g(x)。g(x)g2(x)g(x)g2(x)3微分函数yf(x)在点x处的微分：dyydxf(x)dx4三角函数求导公式：(sinx)cosx，(cosx)sinx，(tanx)sec2x，(cotx)csc2x，6(secx)secxtanx，(cscx)cscxcotx1，1，(arctanx)1，(arcsinx)x2(arccosx)x211x21(arccotx)1，x21积分公式常用的不定积分公式xdx1x1C(1),dxxc,xdxx2c

9、,x2dxx3（1）x4123；x3dxc4（2）1dxln|x|C；exdxexC；axdxaxC(a0,a1)；xlna（3）kf(x)dxkf(x)dx（k为常数）定积分bf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)abbbf(x)k2g(x)dxk1af(x)dxk2ag(x)dxak1分部积分法设u(x)，v(x)在a，b上拥有连续导数u(x),v(x)，则bbbau(x)dv(x)u(x)v(x)aav(x)du(x)更多积分公式见积分表7三角函数基本公式定义：对边邻边sinsin=斜边（正弦），cos=斜边（余弦），tan=cos（正切）正弦余弦正切余切正割余割8变换角出现或其奇数

10、倍时，先依象限取正负号，再将正函数余函数（余函数2正函数）；变换角出现或其整数倍时，依象限取正负号，函数不变即可。如cos(/2)sinsin()。象限sincostancotseccsc（一）+（二）+（三）+（四）+特别角sincostancotseccsc00010不存在1不存在30/61/23/21/332/3245/42/22/2112260/33/21/231/322/390/210不存在0不存在1373/54/5534/53/5两角和与差的三角函数sinsincoscossincoscoscossinsin二倍角公式：sin22sincoscos2cos2sin22cos2112

11、sin2tan22tan1tan2半角公式sin1cos1cos22cos229tan21cossin1cos1cos1cossin全能公式：sin2tancos1tan22121tan22tan22积化和差：sincos1sinsin2cossin1sinsin2coscos1coscos2sinsin1coscos2和差化积：sinsin2sin2cos2tan2tan221tan2sinsin2cos2sin2coscos2coscos22coscos2sinsin22三角恒等式sin2+cos2=1；1+tan2=sec2；1+cot2=csc2反三角余角关系sin-1x+cos-1x

12、=2tan-1x+cot-1x=2sec-1x+csc-1x=210tan(arcsinx)=?cos(arcsinx)=?sin(arctanx)=?sin(arccosx)=?tan(arccosx)=?http:/zhidao.百度.com/link?url=97CP2N7yKWoQr4wJc1OkyTmFXYB2qwyRCloE0cQTeMvFKhn-pNXnCRQwsI8T5Cum37eXA82i7nMxvmRMACpMM_第一明确arcsinx的范围是-/2,/2arccosx的范围是0,arctanx的范围是(-/2,/2)1.cos(arcsinx)因为cosx在-/2,/2上

13、是正的cos(arcsinx)=-sin2(arcsinx)=1-x2)(12.tan(arcsinx)tan(arcsinx)=sin(arcsinx)/cos(arcsinx)=x/-x2)(13.sin(arctanx)sin(arctanx)=tan(arctanx)cos(arctanx)=tan(arctanx)/sec(arctanx)因为secx在(-/2,/2)上是正的=tan(arctanx)/1+tan2(arctanx)=x/(1+x2)4.sin(arccosx)因为sinx在0,上是正的sin(arccosx)=-cos2(arccosx)=1-(1x2)5.tan

14、(arccosx)tan(arccosx)=sin(arccosx)/cos(arccosx)=-x2)/x(1双曲线函数sinh(x)=1(exex)2cosh(x)=1(exex)2tanhxsinhx(exex)/2exexcoshx(exex)/2exextanhixsinhix(eixeix)/2eixeix2isinxcoshix(eixeix)/2eixeixitanx2cosx双曲函数有时也写为sh(),ch(),th()，详尽拜见“双曲函数”。11三角形的基本定理1正弦定理：abcsinAsinB2R外sinCCbaAcBH2余弦定理：a2b2c22bccosA,cosAb2

15、c2a22bc摆列组合12泊松方程和拉普拉斯方程数列等差数列乞降公式：Sn(a1an)n/2Snna1n(n1)d/2等比数列乞降公式：Sna1(1qnn)1q13双曲函数双曲函数及反双曲函数双曲函数在应用中我们常常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质a)：其定义域为:(-,+)；双曲正弦b)：是奇函数；c)：在定义域内是单调增a)：其定义域为:(-,+)；双曲余弦b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；双曲正切c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；我们再来看一下双曲函数与三角函数

16、的差别：双曲函数的性质三角函数的性质shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数14它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数其定义域为：(-,+)；b)：反双曲余弦函数其定义域为：1,+)；c)：反双曲正切函数其定义域为：(-1,+1)；泰勒睁开式一、问题提出1.何谓泰勒睁开式？有何意义？2.如何求泰勒睁开式？3.泰勒睁开式有哪些应用？二、主要事实1.带皮亚诺余项的泰勒睁开式若f(x)在xx0处有直至n阶导数，那么有f(x)Tn(x)o(xx0)n)(xx0).此中()()()()(

17、)()2/2!xfx0fx0 xx0fx0 xx0Tn15f(n)(x0)(xx0)n/n!，称之为f在x0处的泰勒多项式.注（i）（背景介绍）泰勒睁开式（也称泰勒公式）最早以泰勒级数的形式出此刻泰勒（Taylor,1685-1731,英）在1715年第一版的著作增量及其逆中，泰勒没有恩赐证明.此刻的形式及其严格的证明是由柯西在十九世纪初才给出.泰勒公式的特别情况即x00时的泰勒公式称为马克劳林（Maclaurin,1698-1746，英）公式.（ii）带皮亚诺（Peano,1858-1932，意）余项的泰勒睁开式的实质是局部增量公式的深入.即把局部地用“线性函数代替”改作“用多项式代替”，将

18、产生一个高阶无量小.值得注意的事项是既使存在多项式Pn(x)使得f(x)Pn(x)o(xx0)n)(xx0)，也未必能保证泰勒多项式Tn(x)存在.比方考虑函数f(x)xn1D(x)（此中D(x)是狄利克雷函数）即可.（iii）带皮亚诺余项的泰勒公式仅是一个定性预计式，但它在近似计算特别是计算一些比较复杂的极限特别有效.（iv）易见Tn(i)(x0)f(i)(x0)(i0,1,2,n).证令Rn(x)f(x)Tn(x)，Qn(x)(xx0)n，那么有Rn(i)(x0)0，i0,1,2,n(i)，i0,1,2,n1；(n)()!Qn(x0)0Qnx0n再对Rn(x)与Qn(x)连续使用(n1)次

19、罗比塔法规，再用一次n阶导数的定义即可证得Rn(x)Rn(x)limlimxx0Qn(x)xx0Qn(x)f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)(xx0)limn(n1)2(xx0)xx01limf(n1)(x)f(n1)(x0)(n)(x0)0.n!xx0fxx02.带拉格朗日余项的泰勒公式若f(x)在a,b上有直至n阶连续导数，并且f(n1)(x)在(a,b)内存在，那么有16f(x)Tn(x)Rn(x)此中Rn(x)f(x)Tn(x)1/(n1)!f(n1)()(xx0)n1（介在x0与x之间），并称其为泰勒公式的拉格朗日余项.注（i）（背景介绍）带拉格朗日余项的泰勒公式初次

20、出此刻拉格朗日在1813年第一版的著作分析函数论中，该公式证明所用的常数变易法是拉格朗日开创的.ii）带拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深入，它是一个定量预计式，该公式在不等式证明、近似估量、微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有着广泛的应用.证用常数变易法证之.令F(t)f(x)(f(t)f(t)(xt)f(t)(xt)2/2!f(n)(t)(xt)n/n!)G(t)(xt)n1，不如设x0 x，对F(t)与G(t)在x0,x上应用柯西中值定理，存在(x0,x)a,b使得F(x0)F(x0)F(x)F()f(n1)()G(x0)G(x0)G(x)G()(n1)!再把tx0

21、代入F(t)与G(t)的表达式重新整理即得.3.常有函数的马克劳林公式（带皮亚诺余项）（1）11xx2xn(n)(x0)1xox1x21xn（2）ex1xo(xn)(x0)2!n!（3）ln(1x)x1x21x323(1)n1xno(xn)(x0)n（4）sinxx1x31x53!5!(1)m1x2m1o(x2m)(x0)(2m1)!（5）cosx11x21x42!4!17(1)mx2mo(x2m1)(x0)(2m)!（6）(1x)1x1(1)x212!(1)(n1)xno(xn)(x0)n!注（i）上述公式可直接经过求被睁开函数的高阶导数获取，这类求睁开式的方法称之为直接法.假如经过函数的四则运算、变量代换（函数的复合运算），利用已知的睁开式求睁开式的方法称为间接睁开法，在实质应用中广泛使用间接法.（ii）上述公式假如改作带拉格朗日余项只须注意到各个函数的n阶导数表达式及余项的表示方式即可.三、例题选讲1.求