新人教版九年级下册初中数学 课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似 教案（教学设计）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似【知识与技能】1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度与价值观】1.探究三角形相似的判定

2、定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯. 能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似. 三角形相似判定定理的证明过程. 多媒体课件. 导入一:【复习提问】(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形；SSS,SAS,ASA,AAS,

3、HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?导入二:【课件展示】欣赏图片.【导入语】图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.设计意图通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫；展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣. 过渡语对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢?一、三边法证明三角形相似思路一类比三角形全等的方法

4、,同桌两个人分别画三角形.【动手操作】(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.【学生活动】通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?【课件展示】如图,已知在ABC和ABC中,=.求证ABCABC.【教师引导分析】(1)除了定义外,还有什么

5、方法可以证明三角形相似?(平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在AB上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC于点E)(3)能否证明ADE与ABC相似?(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)(4)根据已知条件ABC与ADE是否全等?(SAS)(5)尝试给出定理的证明过程.【课件展示】 证明:如图,在线段AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC(或AC的延长线)于点E,则可得ADEABC，=.又=,AD=AB,=,=,DE=BC,AE=AC.ADEABC,ABCABC.(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结

6、论,并用几何语言表示.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图,=,ABCABC.思路二(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.(2)证明你的猜想.如图,已知在ABC和ABC中,=.求证ABCABC.【教师引导】除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程.(证明过程同思路一)(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示

7、.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图,=,ABCABC.设计意图通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.二、两边及夹角法证明三角形相似过渡语类比证明三角形全等的方法,我们能用SAS证明三角形相似吗?动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想.(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程.(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】判定定理2

8、:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图,已知在ABC和ABC中,=,A=A.求证ABCABC. 证明:如图,在线段AB(或它的延长线上)截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC(或它的延长线)于点E,则可得ADEABC，=.又=,AD=AB,=,AE=AC.又A=A,ADEABC,ABCABC.【几何语言】如图,=,A=A,ABCABC.【追加提问】在ABC和ABC中,=,B=B,这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.设计意图学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判

9、定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.三、例题讲解根据下列条件,判断ABC与ABC是否相似,并说明理由.(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm；(2)A=120,AB=7 cm,AC=14 cm,A=120,AB=3 cm,AC=6 cm.解析(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两

10、条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.解:(1)=,=,=,=,ABCABC.(2)=,=, =.又A=A,ABCABC.设计意图通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.知识拓展(1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判

11、定定理2判定两个三角形相似.(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等. 1.三边成比例的两个三角形相似.2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 第2课时1.三边法证明三角形相似2.两边及夹角法证明三角形相似3.例题讲解例题 一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,已知MNP,则下列四个三角形中与MNP相似的是()2.在ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是()A.18 cmB.21 cmC.24

12、 cmD.19.5 cm3.如图,与左图中的三角形相似的是()4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角()A.都扩大为原来的3倍B.都扩大为原来的6倍C.都扩大为原来的9倍D.都与原来相等5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成四个三角形,若OAOC=OBOD,则下列结论中一定正确的是()A.与相似B.与相似C.与相似D.与相似6.在ABC和A1B1C1中,A=A1,=,可得出ABCA1B1C1,理由是.7.ABC的三边长分别为2,A1B1C1的两边长分别为1和,当A1B1C1的第三边长为时,ABCA1B1C1.8.已知线段AB,CD相交于点O

13、,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD=时,ACBD.9.如图,已知=,BAD=20,求CAE的大小.10.如图,点C,D在线段AB上,且PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ACPPDB?(2)当ACPPDB时,求APB的度数.【能力提升】11.如图,在ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:APAC=ACAB；AC2=APAB；ABCP=APCB.能满足APC和ACB相似的有()A.1个B.2个C.3个D.4个如图,D是ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使ABDDBC,则BC的长为cm.13.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB

14、,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,ADE与MNC相似?【拓展探究】14.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ.若BPQ与ABC相似,求t的值.【答案与解析】1.C解析:MNP是等腰三角形,底角是75,则顶角是30,C中三角形与MNP的三角对应相等,且夹30角的两边对应成比例,所以两个三角形相似.故选C.2.B解析:根据题意,这两个相似三角形的相似比是155=31,

15、因此所求最长边长是633=21(cm).故选B.3.B解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为,2,所以三边之比为12,A中三角形的三边长分别为2,3,三边之比为3,故此选项错误；B中三角形的三边长分别为2,4,2,三边之比为12,故此选项正确；C中三角形的三边长分别为2,3,三边之比为23,故此选项错误；D中三角形的三边长分别为,4,三边之比为4,故此选项错误.故选B.4.D解析:若三角形的每条边都扩大为原来的3倍,则两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似,由相似三角形的对应角相等可得三角形的每个角都与原来相等.故选D.5.B解析:OAOC=OBOD,AOB=COD(对

16、顶角相等),与相似.故选B.6.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似7.解析:由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为,故要使ABC和A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2=.故填.6解析:因为两条线段相交,对顶角相等,所以=时,AOCBOD,所以A=B,所以ACBD,故此时=,所以OD=4.所以CD=CO+OD=2+4=6.故填6.9.解:=,ABCADE,BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC,即BAD=CAE=20.10.解:(1)PCD是等边三角形,PC=CD=PD,PCD=PDC=CPD=60,PCA=PDB=120,当=时,ACPPDB,即=,当CD2=ACDB时,

17、ACPPDB.(2)PDBACP,BPD=A.APC+BPD=APC+A=PCD=60,APB=APC+BPD+CPD=60+60=120.11.B解析:因为A是APC和ACB的公共角,所以夹这个角的两条边对应成比例时,这两个三角形相似,所以APAC=ACAB,即AC2=APAB.故选B.12.9.6解析:ABDDBC,=,BD2=ABBC.AB=15 cm,BD=12 cm,BC=9.6 cm.故填9.6.13.解:设CM的长为x.在RtMNC中,MN=1,NC=.当RtAEDRtCMN时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去)；当RtAEDRtCNM时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去).综上所述,CM=或时,AED与MNC相似.14.解:当BPQBAC时,易知=,又BP=5t cm,QC=4t cm,AB=10 cm,BC=8 cm,=,t=1.当BPQBCA时,易知=,=,t=.t=1或时,BPQ与ABC相似. 本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层