北师大版初三数学知识点总结归纳

1、北师大版九年级数学学问点汇总 北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章 特殊平行四边形 一,平行四边形 1,定义 : 两组对边分别平行的四边形就是平行四边形； 2,性质 :1 平行四边形的对边平行且相等； 2 平行四边形的对角相等 , 邻角互补； 3 平行四边形的对角线相互平分 , 两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角 形； 第 1 页,共 13 页北师大版九年级数学学问点汇总 4 平行四边形就是中心对称图形； 3,判定 :1 两组对边分别平行的四边形就是平行四边形； 2 两组对边分别相等的四边形就是平行四边形； 3 一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形； 4

2、 两组对角分别相等的四边形就是平行四边形； 5 对角线相互平分的四边形就是平行四边形； 4,面积 :S 平行四边形 =底高 二,菱形 1,定义 : 有一组邻边相等的平行四边形就是菱形； 2,性质 :1 菱形具有平行四边形的全部性质； 2 菱形的四条边都相等； , 并且每一条对角线平分一组对角 ; 两条对角线把菱形分成 3 菱形的对角线相互垂直平分 四个全等的直角三角形； 4 菱形既就是中心对称图形 , 又就是轴对称图形 两条 ； 3,判定 :1 有一组邻边相等的平行四边形就是菱形； 2 对角线相互垂直的平行四边形就是菱形； 3 四条边都相等的四边形就是菱形； 4,面积 :S 菱形 =底高 ;S

3、 菱形 =对角线乘积的一半 三,矩形 1,定义 : 有一个角就是直角的平行四边形就是矩形； 2,性质 :1 矩形具有平行四边形的全部性质； 2 矩形的四个角都就是直角； 3 矩形的对角线相等且相互平分 , 两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形； 4 推论 : 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 5 矩形既就是中心对称图形 , 又就是轴对称图形 两条 ； 3,判定 :1 有一个角就是直角的平行四边形就是矩形； 2 对角线相等的平行四边形就是矩形； 3 有三个角就是直角的四边形就是矩形； 4,面积 :S 矩形 =底高 四,正方形 1,定义 : 有一组邻边相等 , 且有一个角就是直角的平

4、行四边形就是正方形； 第 2 页,共 13 页北师大版九年级数学学问点汇总 2,性质 :1 正方形具有菱形与矩形的全部性质； 2 正方形的四条边都相等 , 四个角都就是直角； 3 正方形的对角线相互垂直平分且相等 , 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角 三角形； 4 正方形既就是中心对称图形 , 又就是轴对称图形 四条 ； 3,判定 :1 有一组邻边相等的矩形就是正方形； 2 对角线相互垂直的矩形就是正方形； 正方形 =菱形 +矩形 3 有一个角就是直角的菱形就是正方形； 4 对角线相等的菱形就是正方形； 4,面积 :S 正方形 =边长的平方 ;S 正方形 =对角线乘积的一半 五,中点四

5、边形 1,定义 : 以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形 2,中点四边形 : 一般四边形平行四边形 ; 平行四边形平行四边形 ; 菱形矩形 ; 矩形菱形 ; 正方形正方形； 其次章 一元二次方程 ax 2 , bx , c 2 一,定义 : 我们把形如 ax bx c oa, b, c 为常数, o 的方程 , 称为一元二次方程；其中 分别称为二次项 , 一次项与常数项 , a a , b 分别称为二次项系数与一次项系数； 二,解一元二次方程的方法 1,配方法 : 移项二次项系数化为 1配方 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 开平方 有正负两 个结果 求解写根； 2,公式法 : 化为一般

6、形式 2 ax bx c o 找出 a , b , c 记得带上符号 代入根的判别式 b24ac 代入求根公式 x bb 2 2a 4 ac b 24ac 0 求解写根； 3,因式分解法 : 当一元二次方程的一边为 0, 另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法； 1 提公因式法 : ac bc 0 ca b 02 22 公式法 : 平方差公式 : a b a b a b 完全平方公式 : a 2 2ab b 2 a b 23 十字相乘法 : x 2 p qx pq x p x q 三,一元二次方程根的判别式 : 对于一元二次方程 ax 2bx c oa o 1 当 b 2 4 ac

7、 0 时, 方程有两个不相等的实数根； 2 当 b 2 4 ac 0 时, 方程有两个相等的实数根； 第 3 页,共 13 页北师大版九年级数学学问点汇总 3 2 当 b4 ac 0 时, 方程没有实数根； 四,一元二次方程根与系数之间的关系 韦达定理 , 那么 x 1x 2b, x x 1 2 c 假如方程 ax2bx c oa o 有两个实数根 x , x 2aa五,应用一元二次方程 1 ,几何面积问题 ;2 ,销售问题 审题查找数量关系与等量关系设未知数 检验作答； 直接假设与间接假设 列一元二次方程解方程 第三章 概率的进一步熟识 一,列表法与化树状图法 1,列表法 : 当一次试验涉及

8、两个因素 , 并且可能显现的结果数目较多时 , 为了不重不漏地列出全部可能的结 , 果 , 通常接受列表法； 2,画树状图法 : 当一次试验涉及 3 个或更多因素时 , 列表就不便利 , 为了不重不漏地列出全部可能的结果 通常接受画树状图法； 二,频率估量概率 : 一般的 , 在大量重复试验时 , 假如大事 A 发成的频率 m 稳固于某个常数 nP , 那么大事 A 发生的概率 P A P 第四章 图形的相像 一,成比例线段 1,定义 : 四条线段 a,b, c, d 中 , 假如 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 ab比例线段 , 简称比例线段； c , 那么这四条线段 a,b

9、,c, d 叫做成 d2,性质 :1 基本性质 : 假如 abc , 那么 ad bc; c d假如 ad bc a, b, c, d 都不等于 0 , 那么 abd2 等比性质 : 假如 abc = L d = m nbd L n0, 那么 ac LmabdLnb3 合比性质 : 假如 abc , 那么 abc d, abc ddbdbd二,平行线分线段成比例 1,定理 : 两条直线被一组平行线所截 , 所得的对应线段成比例 2,推论 : 平行于三角形一边的直线与其她两边相交 三,相像多边形 , 截得的对应线段成比例 北师大版九年级数学学问点汇总 1,定义 : 各角分别相等 , 各边成比例的

10、两个多边形叫做相像多边形；相像多边形对应边的比叫做相像比 2,性质 : 相像多边形的周长比等于相像比 四,相像三角形 , 面积比等于相像比的平方 1,定义 : 三角分别相等 , 三边成比例的两个三角形叫做相像三角形 2,判定 :1 两角分别相等的两个三角形相像 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相像 3 三边成比例的两个三角形相像 3,性质 :1 相像三角形的对应角相等 , 对应边成比例 2 相像三角形对应高的比 , 对应中线的比 , 对应角平分线的比都等于相像比 3 相像三角形的周长比等于相像比 , 面积比等于相像比的平方 五,黄金分割 : 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 与 B

11、C AC BC , 假如 AC BC , 那么称线段 AB AB AC 被点 C 黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 , AC 与 AB 的比叫做黄金比 , 即 AC : AB 0.618:1 六,位似图形 1,定义 : 一般的 , 假如两个相像多边形任意一组对应顶点 P , P 所在的直线都经过同一点 O , 且有 OP = k OP k 0 , 那么这样的两个多边形叫做位似多边形 , 点 O 叫做位似中心 2,性质 : 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比 3,画图步骤 :1 尺规作图法 : 确定位似中心 ; 确定原图形中的关键点关于中心的对应点 ; 描出

12、新图 形 2 坐标法 : 在平面直角坐标系中 , 将一个多边形每个顶点的横坐标,纵坐标都乘 于同 一个数 k k 0 , 所对应的图形与原图形位似 , 位似中心就是坐标原点 , 它 们的相像比为 k 一,投影 : 物体在光线的照射下 第五章 投影与视图 , 这就就是投影现象 , 影子所在的平面 , 会在地面或其她平面上留下它的影子 叫做投影面 1,中心投影 : 由同一点 点光源 发出的光线形成的投影叫做中心投影；如物体在灯泡发出的光照射下形成 的影子就就是中心投影 2,平行投影 : 由平行光线形成的投影叫做平行投影；如物体在太阳光的照射下形成的影子 简称日影 就就 二,三视图 是平行投影；如平

13、行光线与投影面垂直 , 就这种投影称为正投影 北师大版九年级数学学问点汇总 1,视图 : 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形 , 称为物体的视图 2,三视图概念 :1 主视图 : 从正面得到的视图叫做主视图 , 反映物体的长与高 2 左视图 : 从左面得到的视图叫做左视图 , 反映物体的长与宽 3 俯视图 : 从上面得到的视图叫做俯视图 , 反映物体的高与宽 3,三视图特点 :1 主视图与俯视图的长对正 2 主视图与左视图的高平齐 3 左视图与俯视图的宽相等 第六章 反比例函数 一,定义 : 一般的 , 形如 y k k 为常 k 0 的函数 , 叫做反比例函数；其中 x 就是自变量 ,

14、 y 就是函 x 数, 数； 自变量 x 的取值范畴就是不等于 0 的一切实数 二,表达式 :1 , y k ; 2 , y kx 1; 3, xy k x 三,图象与性质 1,图象 : 由两条曲线组成 双曲线 2,性质 : 函数 0k 0图象 所在象限 增减性 第一, 三象限 在同一象限内 , y k x, y同号 随 x 的增大而减小 y k x k 0其次, 四象限 在同一象限内 , y k 为常数, k x, y 异号 随 x 的增大而增大 k 越大 , 函数图象越远离坐标原点 3,反比例 函数比例系数 k 的几何意义 如图 , 在反比例函数 y k 上任取一点 P x, y , 过这

15、一点分别作 x 轴 , y 轴 x 的垂线 PE , PF 与坐标轴围成的矩形 PEOF 的面积 S xy k 4,对称性 :1 中心对称 , 对称中心就是坐标原点 2 轴对称 : 对称轴为直线 y x 与直线 y x 第 6 页,共 13 页北师大版九年级数学学问点汇总 第七章 直角三角形的边角关系 B 1一,锐角三角函数 a对 边 在 Rt ABC 中 , C90 , 就 A 的三角函数为 A 斜边 c bC定 义 表达式 取值范畴 邻边 关 系 正弦 sin A A 的对sin A a0 sin A 1 A 为锐角 sin A cos A cosB sin B 边 斜边 c 余弦 cos

16、 A A 的邻cos A b0 cosA 12 sin A cos2 A 边 斜边 c A 为锐角 正切 tan A A 的对tan A tan A 1 tan B a tan A 0边 b A 为锐角 二,特殊角的三角函数值 A 的邻边 60 三角函数 30 45 sin 123222cos 321222tan 3133三,解直角三角形 1,直角三角形的边角关系 :1 两锐角关系 : aA bB 90 cos B a , c cos A sin B b2 三边关系 : 222 c 勾股定理 3 边角关系 : sin A c tan A a, tan B bba2,解直角三角形的类型与解法 已

17、知条件 A 图形 解法 90 c2 a 2 2已知始终角边与一个锐角 B B 90 A, c a ,b sin A a或a, A tan A b 已知斜边与一个锐角 斜边 c b邻边 对 a 边 CB 90 A, a csin A,b c cos A 或 b 2 c ac, A 已知两直角边 a, b c a22 b ,由 tan A a求 A, B A b已知斜边与一条直角边 第八章 b2 c 2 a ,由 sin A a 求 c A, B 90 A c, a 二次函数 第 7 页,共 13 页北师大版九年级数学学问点汇总 一,概念 : 一般的 , 如两个变量 x , y 之间的对应关系可以

18、表示成 式, 就称 y 就是 x 的二次函数 , 其中 , x 就是自变量 , 数,一次项系数与常数项 二,二次函数图象及其性质 1,图像与性质 2 y ax bx c a, b, c 是常数 , o的形 a a, b, c 分别就是函数解析式的二次项系 函数 y a x h2k a, h,k 为常数 , a 0y 2 ax bx c a, b, c 是常数 , a oa0a0a0a0图象 开口 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 方向 对称轴 直线 x h直线 x b2a 增减性 当 x h 时, y 随的 x 增大而减小 ; 当 x h 时, y 随 x 的增大而增大 当 x h 时

19、, y x 当 x b 时 , y 2a 的 x 增大而减小 ; 随 当 x b 时 , 2a y 随 的增大而增大 ; 当 x h y 随的 x 增大而减小 ; 时 , x 的增大而增大 ; b 当 x 时 , y 2a 的 x 增大而减小 ; 随 当 x b时 , y 随 2a x 的增大而增大 性 质 a 0 时 , 在对称轴左 , y 随 x 的增大而减小 , 在对称轴右侧 , y 随 x 的增大而增大 ; a 侧 , y 随 x 的增大而增大 , 在对称轴右侧 , y 随 x 的增大而减小 0 时 , 在对称轴左侧 2顶点 h, k 2a b , 4ac b 4a 抛物线有最低点 ,

20、 当 抛物线有最高点 , 当 抛物线有最低点 , 当 抛物线有最高点 , 当 b b最值 值 , x h 时 , y 有最小 值 x h 时, y 有最大 小值 x 2a 时, y 有最 大值 x 2a 时, y 有最 y 最小值 k y 最大值 k y 最小 4ac b 2 y 最大 4ac b 2 值 4a 值 4a 2,抛物线与 a,b,c 的关系 准备抛物线开口方向 a 0 , 抛物线开口向上 ; a a 0 , 抛物线开口向下 准备抛物线开口大小 a 越大 , 开口越小 a,b 准备抛物线对称轴位置 , b 0 , 对称轴为 y 轴 ; 第 8 页,共 13 页北师大版九年级数学学问

21、点汇总 对称轴为直线 x bab 0 , 对称轴在 y 轴左侧 ; 0 , 对称轴在 y 轴右侧 同号在左 , 2 a ab 异号在 右 c 准备抛物线与 y 轴的交点位置 c c 0 , 抛物线过原点 ; 0 , 抛物线与 y 轴交于正半轴 ; ; 0c 0 , 抛物线与 y 轴交于负半轴 b 24ac 0 时 , 与 x 轴有两个交点 a,b, c b24ac 准备抛物线与 x 轴的交点 2 b 4ac0 时 , 与 x 轴有一个交点 ; 2 b0 时 , 与 x 轴没有交点 a4ac b , 4ac b 2 2a 4a 准备顶点位置 顶点坐标为 b 4ac , b 2 2a 4a 三,二

22、次函数表达式的确定； 确定二次函数表示的方法仍就是待定系数法 , 有以下三种方法 : 1,一般式 : 如已知抛物线过三点 , 一般设函数表达式为 y 2 ax bx c a o2,顶点式 : 如已知抛物线的顶点就是 h, k , 可设函数表达式为 y a x h 2k a03,交点式 : 如已知抛物线与 x 轴两个交点 x1,0 , x2 ,0 , 可设函数表达式 y a x x1 x x2 四,二次函数的平移规律 移动方向 平移前的表达式 平移后的表达式 k 简记 向左平移 m 个单位 y a x h2k y a x hm2左加 向右平移 m 个单位 y a x h2k y a x hm2k

23、 右减 向上平移 m 个单位 y a x h2k y a x h2k m上加 向下平移 m 个单位 y a x h2k y a x h2k m下减 留意 平移之前函数表达式必需先化为顶点式 五,二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y 2 ax bx c ao的图象与 x 轴的交点有三种情形 : 有两个交点 有一个交点 ; 没有交点 , 当图象与 x 轴有交点时 , 令 y 0 , 解方程 2 ax bx c 0 就可以求出与 x 轴交点的横坐标 b 2 4ac 02 ax bx c 0 的根 抛物线 y 2 ax bx c 与 x 轴的交点 两个不相等的实数根 两个交点 0 0两个相等的实

24、数根 一个交点 没有实数根 没有交点 第九章 圆 一,圆的有关概念与性质 1,圆的基本概念 : 1 圆 : 到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆；定点就是圆心 , 定长就是半径 2 弦,直径 : 连接圆上任意两点的线段叫做弦 ; 经过圆心的弦叫做直径 北师大版九年级数学学问点汇总 3 弧 : 圆上任意两点间的部分叫做弧 ; 大于半圆的弧称为优弧 , 小于半圆的弧称为劣弧 4 等圆,等弧 : 能够重合的圆叫做等圆 ; 能够重合的弧叫做等弧 5 圆心角 : 顶点在圆心 , 端点在圆上的角叫做圆心角 6 圆周角 : 定点与端点都在圆上的角叫做圆周角 2,圆的性质 1 圆就是轴对称图形 , 任

25、意一条直径所在的直线都就是圆的对称轴 ; 圆也就是中心对称图形 , 对称中心 就是 圆心 2 把圆绕圆心旋转任意一个角度 , 所得到的图形都与原图形重合 3 过不在同始终线上的三个点确定一个圆 二,与圆有关的定理与推论 圆 文字语言 A 图形 B E F D几何语言 定理 : 在同圆或等圆中 , 相等的圆心 O 在同圆或等圆中 , 角所对的弧相等 , 所对的弦 1,圆心角相等 : AOB DOE 心 也相等 2,弧相等 : AB 3,弦相等 : AB DE DE 角 , 推论 : 在同圆或等圆中 , 假如两个圆 弧 以上条件知其中一个可得其二 , 心角 , 两条弧 , 两条弦中有一 弦 C组相

26、等 , 那么它们所对应的 之 其余各组量都分别相等 间 的 关 系 定理 : 圆周角的度数等于它所对的 B O CQ AOB 就是 AB 所对的圆心 角 , C 就是 AB 所对的圆周角 , C 1 2 AOB 弧的圆心角度数的一半 A 圆 周 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角 B DO CQ C 与 D 都就是 AB 所对的圆周角 角 定 相等 CD理 A 第 10 页,共 13 页北师大版九年级数学学问点汇总 推论 2: 直径所对的圆周角就是直 B O CA Q AB 就是 e O 的直径 C 就是 AB 所对的圆周角 角 , 90 的圆周角所对的 C90 弦就是直径 Q C 就是 AB

27、 所对的圆周角 C 90 AB 就是 e O 的直径 推论 3: 圆的内接四边形对角互补 B DAE 垂 定理 : 垂直于弦的直径平分弦 , 并且 CA DQ AB 就是 e O 的直径 , AB CD 平分弦所对的两条弧 CE DE , BC BD , AC AD推论 : 平分弦 不就是直径 的直径 O Q AB 就是 e O 的直径 , CE DE 垂直于弦 , 并且平分弦所对 AB CD 于点 E BC BD , AC AD 径 定 的两条弧 理 E B 三,与圆有关的位置关系 1,点与圆,直线与圆的位置关系 点 文字语言 图形 B rdddO 几何语言 设 e O 的半径为 r , 点到圆心的距离为 d , 就有 : 与 点在圆外 A 点 A 在圆外 dr圆 的 点在圆上 点 B 在圆上 dr位 置 关 点在园内 rC点 C 在圆外 dr系 设 e O 的半径为 r , 圆心 O 到直线 l 的距离为 d相交 : 直线与圆有两 直 就有 : 直线 l 与 e O 相交 dr个公共点 线 与 圆 的 位 相切 : 直线与圆只有 直线 l 与 e O 相切 dr置 一个公共点 关