曲线积分和曲线积分

1、第九章积分学 定积分二重积分积分域 区间域 平面域曲线积分曲线域曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分曲线积分与曲面积分 第一节一、第一类曲线积分二、第二类曲线积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线积分 第九章 一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, 都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2.定义下列“乘积和式极限”则

2、称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.3. 性质（k 为常数)( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,证

3、:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点设各分点对应参数为对应参数为 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:因此积分限必须满足(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广: 设空间曲线弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中L为双纽线解: 在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性 ,

4、得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解: 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 例4中 改为计算解: 令, 则圆的形心在原点, 故, 如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算其中为球面解: 化为参数方程 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类曲线积分1. 引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线

5、所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) “大化小”.2) “常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和”4) “取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在

6、L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明: 下面先证存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设

7、分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧 ,同理可证机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数, 则解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中L为(1)