函数与函数性质模板

1、函数与函数的性质模板函数与函数的性质模板函数与函数的性质模板函数与函数的性质一、定义域与值域1定义：f(x）是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，所以函数图像上全部点的纵坐标组成一个会合，这个会合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法例的代表，它能够由f(x）的解析式决定。因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的会合）。2定义域是在一个函数关系中全部能使函数存心义的自变量X的会合。（1）确立函数定义域的原则1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中全部实数x的会合。2.当函数y=f(x)

2、用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x轴上的投影所覆盖的实数的会合。3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式存心义的实数的会合。4.当函数y=f(x)由实诘问题给出时，函数定义域要使函数存心义，同时还要符合实质状况。（2）怎样利用解析式确立函数的定义域1.求定义域的步骤：写出令函数存心义的不等式（组）；解不等式（组）；写出函数的定义域（注意用区间或会合的形式写出）。2.确立定义域的依据：f(x)是整式（无分母），则定义域为R；f(x)是分式，则定义域为使分母不为零的x取值的会合；f(x)是偶次根式，则定义域为被开方数0的x取值的会合；对数式中真数0，当指数式、对数式底

3、中含有变量x时，底数0且底数1；零次幂中，底数0，即x0中x0；若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的交集。3函数值域常有的求解思路：划归为几类常有函数，利用这些函数的图象和性质求解。反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域成立函数y的不等式，解不等式即可获解。能够从方程的角度理解函数的值域，假如我们将函数yf(x)看作是对于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0必定为方程yf(x)在定义域中的一个解，即方程yf(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程yf(x)在定义域内有解x0，则y0必定为x0对

4、应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使对于x的方程f(x)在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看作对于x的一元二次方程，则可经过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用鉴别式求出函数的值域。能够用函数的单一性求值域。其余。4函数值域的求法常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形联合）3）函数单一性法（4）配方法5）换元法（包含三角换元）（6）反函数法（逆求法）7）分别常数法（8）鉴别式法（9）复合函数法10）不等式法（11）平方法二、经典例题（一）定义域例1求以下函数的定义域：1；f(x)1f(x)3x2；f(x)x1x22xyax2ax1例2若函数a的定义域是R，

5、务实数a的取值范围例3、若函数yf(x)的定义域为1，1，求函数yf(x1)f(x1)的定义域44例4、已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域。例5、已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域。例6、若函数f(x1)的定义域为，求函数f(2x1)的定义域（二）值域（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围。或由函数的定义域联合图象，或直观察看，正确判断函数值域的方法。例1：求函数yx1x1,x1的值域。例2：求函数yx26x10的值域。（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可

6、使用配方法。例1：求函数yx24x2（x1,1）的值域。3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，经过求反函数的定义域，获得原函数的值域。x例1：求函数y12x的值域。12（5）、分别常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分别常数法，此类问题一般也能够利用反函数法。小结：已知分式函数yaxb(c0)，假如在其自然定义域（代数式cxd自己对变量的要求）内，值域为yya；假如是条件定义域（对自变量有附带条件），采cabad用部分分式法将原函数化为yc(adb

7、c)，用复合函数法来求值域。ccxd例1：求函数y1x的值域。2x5（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域简单确立的另一函数，进而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解。例1：求函数y2x12x的值域。（7）、鉴别式法：把函数转变成对于x的二次方程F(x,y)0；经过方程有实数根，鉴别式0，进而求得原函数的值域，形如ya1x2b1xc1（a1、a2不同样时为零）的函数的值域，a2x2b2xc2常用此方法求解。例1：求函数yx2x3的值域。x2x18）、函数的单一性法：确立函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单一性，求出函数的值域。例

8、1：求函数yx12x的值域。例2求函数yx1在区间x0,上的值域。x例3：求函数fx1x1x的值域。8）、数型联合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形联合的方法，依据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式拥有某种显然的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数y|x3|x5|的值域。（9）、复合函数法：对函数yf(u),ug(x)，先求ug(x)的值域充任yf(u)的定义域，进而求出yf(u)的值域的方法。3x的值域例1、求函数y3x110）、非负数法依据函数解析式的结构特点，联合非负数的性

9、质，可求出有关函数的值域。例1、(1)求函数y16x2的值域。(2)求函数yx23的值域。x21三、函数解析式1、待定系数法：在已知函数解析式的结构时，可用待定系数法。例1设f(x)是一次函数，且ff(x)4x3，求f(x)例2、已知f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的解析式。2、配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式简单配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例1已知f(x1)x21(x0)，求f(x)的解析式xx23、换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还能够用换元法求f(x)的解析式。与配凑法同样，要注意所换元的定义域的变化。例1已知f(x1)x2x，求f(x1)4、代入法：求已知函数对于某点或许某条直线的对称函数时，一般用代入法。例