部分课外平面几何定理证明

1、部分课外平面几何定理证明一.四点共圆很有用的定理，下面的定理证明中部分会用到这个，这也是我把它放在第一个的原因。这个定理根据区域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，据笔者所知，北京中考是可以直接用的。其余的还是问问老师比较好。起码在选择题是大有用处的。对角互补四点共，同向同张角相尊，童思ft：K在线段的同一个方向上的张角相等那么四点共圆2,对角互补时四点共圆匚如果四点共國，哲我要利吊圆内的知识：同弦所対的圆周角相尊-四边形对角线対应战比例，四边形的卩龟尊于它的内对角：弄等。考试时可以画上辅期圆来強题.四点共国是初中虺它看时很重要很有必要大家证明一下同向同张角相等，四垃共回：（利巨相似转化

2、成对驚互补即可）Ml.BRtAzBC4.4D14CfAI康OlfeM边上jft,曲$0空于F,cmOB交事Qia干I:TuiJd忻IttBVVAx.t(.4.统怨和tn：斗耳j神必虬m冲咐i）.itp寺O知4C込中=：tL晳西：.Frj-倍OE4(-Z)i*雷“ffisl己蛉:LEJiFAfiCCH*EJAW5中点.fffADX笫H-Wjeoo,涉.6DF网邙傭oovijq隔序Moag唯.oo=pc.zC=ODEOFEOFE-ABCHrnOF/OE=AC/AB=i弟三闽：H：rtWOF/OE=AC/ABrt-舟.BED-K.0.FC3E于邛G.BH?j：WC2FC子H,金橹DW*1iFliE：

3、EDK(2)：DGHa*!*SRt=ft.三角形三垂线交于一点四点共圆的一次运用。很多人都知道三垂线交于一点，在这里给出证明三肃形的三垂践艾于一点如酥-EEC-邓-HDC1强B求证，ArC90证:T-拉疋*一亡芒用1的七GDH、鎂虱-甘d少3又T一血-一辺号就：4罠小娱團BAD-3ED-BaD-DCD又T一朋”-CSF.CfB4DB90:三三角形垂心是连接三垂直所得到新三角新的内心由三角形的三垂线可得多组四点共圆，一般有垂心的题都离不开四点共圆。估计这个结论在中考是不能直接用的，如果地区允许四点共圆的话稍微证一下就行了。BD莆形的垂沁塞接垂足得到新用影的內心如臥点H罷ABC的壘心贝怕龍ADEF

4、的内心证明：ViU5Z-*FB.AM.朕風JRD-JFDTBFC-JC臥C.E、玦團，-HSD-FCMFD-5C.艮MH平分-DFii同理可得3A跖整在DE用J总芋氓蛭点娱AD曰啲阿心四圆幕定理（在这里只是一部分）为割线定理、切割线定理于相交弦定理的总称。这个应该是很多地方都允许用的，如果不能用的话也是稍微证一下就行了。矗线定1罢魁典一盧引两彖帯耀交于也眈苗点.；SnSPA-PC=PB-PD证明，D=PAE.APABcAPDC切劃绘宦理：从閱外-MP引圆的切勢$嚴如图卿PB:-PAPC相交弦宦理；囲内的两秦弦相交.如图则有AGBG=CGDG-BDC-CAB-ABD=-DCH._GDB.CrAC

5、GDGB=nAG*BG=CG-DGGAGC五射影定理（欧几里得定理）什么也不说了，初中几何里应该是比较常用的。目测考试随便用射彭定理;：如图，在RtABC中(BAC=90;),APC则ABBD-BCACD-CBAD:=BDCB易证得M丸、Adba.AaicS-tg似.45j?cACCBadCD则.BDABCDACBD.3:.4B：BD3CAC1CDCBAD-BDc5貶用-iC2*sc2-2itCT-44氐V4J-3D1又叮-.c;-o;(5D-CB-CDAC*-2CB.O-C02aC-C32-1C3CD.-iJ?-3C:-2-CS-C：i八弦切角定理很简单，估计每个地方都允许的。就算不把它当定

6、理，自己也能发现这个结论B弦切借定理弦切箱竽于其瓠的_APQ=_ABP弦切角宜线PQOO切于点P.冥过P点的弦AP月直线PQ的夹甬_APQf?为金的弦切博远科：连鏤OVOP,jAPQ无_JjyZOPA90s-Z1一AOP=18(-lOPA=lS(r-290c-ZlJ=180=-1SO=+21ABP=丄ZAOPw/l九燕尾定理（共边比例定理）面积法思想，出现中点时可以用来证线段相等（例如下一个，重心），另外用于比例也是挺好使的。中考的时候，直接用的话估计老师会认为你跳跃度太大，考虑的时候想到这个，证明的时候用面积法就行了。弄涯厶上玄申拄意一点Kix丸、ccpc.aC-尿于如、E、F*5j-京報d

7、辿邂.弘曲84気心%心证：Hjttc.sn一二越垂iK.m3X-yif3：-l3._C2?.VC1ZCD只”込空辿吃-处逛竺WSiooo也g弘OCV2舶.心3_处如.龟舟?S$AC0H加8十.海伦公式已知三角形三边可求其面积，可用余弦定理和正弦求面积公式推导，但余弦定理是高中知识（在后面会放出来）所以不用在这里。另外公式里带根号，若三边中有根号的配凑一下应该可以开根。这里是海伦公式的一个探讨，推广至n边形面积。在第五页有海伦公式的各种变形，其中变形的个边带有平方，可以解决边长带根号的问题，缺点是过于冗繁。吧友可以根据自己的情况进行探讨。中考嘛，一直不是很喜欢，过多的限制，不能发挥自己的能力。这

8、个公式就不推荐考试的时候用了。齊伦去孔，设的三边为乩证明=生AB匚MjpfPYHp-b*J?-CJ.重心三中线交于一点。同垂心三呼妹菠于一出点扛禅刷右G“沖点，且用倍厭r仟占J挛tilOJCffl*P*ii朗如下.壮曲一*F思蠹0疔生皿空y/sMgwF则孔i邙-弘jets-SzijfG又由载尿宦理視免心-级SA.1AG533=2十二.重心定理：重心把中线分为2:1两部分。总的来说这些定理考试能用否得问老师，不能用的话，作平行线把推导过程代进证明过程就算是侧面使用定理了，肯定不会扣分的。证明|逹接EFEFGMBCGEFEGEGIBC_CG2丄AG-2DGEG=2EGCG=LFG十三欧拉线由重心定

9、理简单得出估计中考题都不会考共线神马的（起码广东这地方是不会考的）践疑稣三螢羽甲命豪“垂心共竝程争册粗且妣對心就离代斶i2i泌心冲取处乂坤欢JbW则决MIL0延氏tx汪.晦忆*：cX、廷療点3HaG2C.l/HG2GO曲.旳sZOG口AM3fO又7OU/J.je觀-B心.潭D,話Cft爭心汗、G帜瞇十四.托勒密定理很好用的一个竞赛定理。中考填空就能用这个解，作垂线设方程就得出来了，其他人还向外做了正三角形神马的。所以个人感觉了解多点知识对于考试或对于兴趣都是挺好的留边形若两粗对边乘积之荊尊于対用线之积则四点冀托勒空圧理四边财若四處共團则期蜩边菜税之和尋于对危绪的枳如图划BD-BCAD=CDAB

10、证明jHD上取虑壬使-DBE=ABC：心DBEABChBDEmBAC,ABDEwZkBAChdd苍一=BDAC-DE酣BAAC：WBDE=jiABC/.eABD二CBE又jBCEBADACBEcnAABD卜五.余弦定理AC-3-5C：咖*.2aBaC.1.C-3C-.87JC-WL十七.赛瓦定理（ceva定理）赛瓦定理克GSZXjA匸内任賁一点，则RDCEAf.DCEAFB证】由燕冕定理得仏碇、込氏G沁必$ACG$氏垃%CSGBDCEAFM.-ZXT4FE又；5.i3G.%JOG?$AC疋=J$C尸是占詔円的三案CfvaP由心苗定理得B亡V.&D十=hSPFCxBD=CDx3PCD.BPP、9

11、B、C虽以一组调和点列证华丄f4Z厝分山Q_.1岛ZXC蹇一粗诅和点列上逑辭中，任畫两个爾立则第三牛也廣立命题II（=5）:已如I丹分詁技且3_佔则盛D、CE是一组iA和点孰证：廷长血至慮站使如七C逕陳逐出千磕XAABC,由帚平分我定理得竺竺ACDC直线丘心載心Ud由血:昴轴定理得EBCNMl.呦C.WAB丫：1EMCT上“匚叮ADMG_or-90d筋证iVt?g:中x-1CEABEBAC百CaB-,即BxDCB）-CECDC3、D、C是一组调和点列证舉证：辅勁妓如上询题所作闻平廿張疋理得克线?门牺4SCXL由用：;-.i!n淀瑾得分-乩!U仙_.if：罠D、Ch是弓且谒和点列上堆棊件中，任宜

12、两个成立则弟三个也成立命题【II（伽=:己知-辺平号-滋匚且品D.C忑是一组谓和点列贝仙-JE代入中得CVcv=w易得一丄、芒蛊匕小对则上4JWC=90俶丁AD/fMC:AD1AE证毕.4BBDCEXMAB丈二忙=.丄忖EBWAC,.X11X皿1CEMfAB由EBCXDC.*.XX1CENMBDv3.D-C.是粗询和点列.BDCECDBE亠BDBlcBceBDCE=XCDBE牡评分-3AC止J丄月三占、D、CyE是一组调和点列上述弟件中.任意两个戚立则第三牛也成立命题IV（n）i已知.3丄”沱且D、6三杲一组调和点列刚川评分一5月匸uEl过点滩卫确平行线交”富M于点M.V则有一D_V=9MDB

13、DCD_D.VjJ=sF,ce7=F又TMD、C三是一组调和点列SDxCEhBChEEgDX-.aEaE由-ZXDX=90S.-.如平分厶证毕此证法由吧友ii提供二十中线定理表述了三角形三边与中线长的关系三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。即，对任意三角形ABC设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：ABA2+ACA2=2BIA2+2AIA2或作ABA2+ACA2=1/2BCA2+2AL2卜一.角平分线定理角平分线的比例性质证法一：面积法过D做DE1AB*DF垂宜于AC,垂足为E、F证法二；比例线段过C作CEVAR,交AD延长线干EZE-ZB.W-Z

14、DJCCAECBDBAABj5c_ce_acABBD1CCD二十二九点共园定理（欧拉圆、费尔巴赫圆）三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆二十三张角定理在厶ABC中，D是BC上的一点，连结AD那么sin/BAD/AC+sin/CAD/AB=sin/BAC/AD逆定理：如果sin/BAD/AC+sin/CAD/AB=sin/BAC/AD,那么B,D,C三点共线。定理的推论：在定理的条件下，且/BAD=/CAD即AD平分/BAC贝UBDC共线的充要条件是：2cos/BAD/AD=1/AB+1/AC二十四蝴蝶定理由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆0中

15、的弦PQ的中点M过点M任作两弦AB,CD弦AD与BC分别交PQ于X，Y,贝UM为XY之中点。二十五清宫定理设P、ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BCCAAB的对称点分别是U、V、W,且QUQVQW分别交三边BCCAAB或其延长线于D、E、F,贝UD、E、F在同一直线上p二十六.西姆松定理(cave定理)过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。二十七.角元塞瓦定理设P为平面上一点(不在AB、BCAC三条直线上),且(sinBAP/sinPAC)(sinACP/sinPCB)(sinCBP/sinPBA)=1则ADBE、CF三线共点或互相平行.推论若所引的三条线段都在ABC内部，则这三条直线共点。【暂时缺图】二十八莫利定理将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。二十九.斯坦纳定理如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形三十斯台沃特定理（斯氏定理）任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，联结AD,则有：ABA2CD+ACABD=（ADA2+BDB