【人教A版】高中数学必修第二册6.3.1平面向量基本定理

1、【人教A版】高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理教学设计一、教学目标1理解平面向量基本定理及其意义；2能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；3通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1平面向量基本定理及其意义；2平面向量基本定理的理解。三、教学过程：1、情景引入在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？可以如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？不一定能确定小组合作探究：e

2、e问题1：如图所示，设e，是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e，都1212e不共线的向量，在平面内任取一点O，作OAe,OBe,OCa,将a按e，的方向分解，1212你有什么发现？【答案】如图，aOCOMONee1122问题2：当a是零向量时，a还能用aee表示吗？1122【答案】可以，取0，0，则a0e0e1212问题3：若向量a与e1或e2共线，那么a还能用a1e12e2这种形式表示吗？【答案】若向量a与e共线，取0，则ae0e。12112若向量a与e共线时，取0，则a0ee。21122e问题4.设e，是同一平面内两个不共线的向量，则a用e和e进行表示是否唯一？1212【答案】

3、假设aee，aee，eeee，1122112211221122()e()e0，0,且0，1112221122，且，a用e和e进行表示唯一。1122122、探索新知平面向量基本定理：如果e，12e是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有2，使ae2e2。我们把不共线向量e，且只有一对实数，e(2)由定理可将任一向量a在给出基底e，e11112叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；12的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；例1.如图，OA,OB不共线，且APtAB(tR)，用OA,OB表示OP。解：因为APtAB(tR)，

4、所以OPOAAPOAtABOAt(OBOA)OAtOBtOA(1t)OAtOB重要结论:如果P、A、B三点共线，点O是平面内任意一点，若OPOAOB，则变式训练:设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD1【解析】易知DE=DBBE=1AB2AC，1。2AB,BEBC,若23DEABAC(,为实数)，则的值为.121212【答案】1.21212ABBC=ABACAB232363，=，63=11221212例2.如图所示，在BOC中，C是以A为中点的点B的对称点，OD2DB，DC和OA交于点E，设OAa，OBb.【答案】（1）OC2ab，DC2ab；（2）（1）用a和b表示向量OC、DC；（

5、2）若OEOA，求实数的值.5345.【解析】（1）由题意知，A是线段BC中点，且OD22OBb.33OCOAACOABAOAOAOB2ab，25DCOCOD2abb2ab；33（2）ECOCOE2aba2ab，由题可得EC/DC，且DC2a5b，322k2abk2a5b，则有3k设ECkDC，即4因此，.55，解得1k34535.例3.证明:三角形的三条中线交于一点.设G在AD上，且，则有ADABBDa(ba)(ab)AD、AB【解析】如图所示，设BE、eqoac(,CF)分别为ABC的三条中线，令a，ACb.则有BCba.AG211AD322AEABba.BE12BGAGABBDAB(ab)aba(ba)BE.同理可证CF，即G在CF上2211233