减少解析几何运算量的常用策略

1、减少解析析几何运运算量的的常用策策略浙江省上上虞中学学 谢谢全苗（31223000）解析几何何是在坐坐标系的的基础上上，用代代数方法法研究几几何图形形性质的的一门数数学学科科，因此此代数学学运算就就不可避避免地出出现在其其中，如如果解题题时思维维的起点点与方法法选择的的不当，则不是是繁琐就就是出错错，因此此，运用用解题的的思维策策略，选选择恰当当的思维维起点与与方法，以最大大限度地地减少解解析几何何的运算算量回到定义义定义、定定理是对对数学对对象的本本质属性性的概括括和内在在规律的的揭示，只有深深刻地理理解概念念的本质质和定理理所揭示示的内在在规律，才能灵灵活运用用它来简简化解题题过程有的问问

2、题虽可可以不依依赖于定定义，但但如能回回到定义义，则常常能使问问题获得得简捷的的解法，波利亚亚就提倡倡“回到定定义”例1一一直线被被两直线线：和：截得的的线段的的中点恰恰好是坐坐标的原原点求求这条直直线的方方程简析略解解：此题题的一般般求解思思路是：先求出出分别与与、的交点点（用表表示），然后利利用中点点坐标公公式求出出，进而而得到的的方程，这样运运算量太太大如如果我们们对直线线与方程程的定义义有深刻刻的理解解，就会会自觉地地利用定定义，并并结合运运用设而而不求的的技巧来来寻求简简捷解法法设分别与与、交于点点、，又设设的坐标标为（），则有有又因为、关于对称称，所以以点的坐坐标为（），则则有，得

3、可见）在在：上，又又此直线线过原点点，由两两点确定定一直线线知所求求直线的的方程为为图例2已已知分别别是椭圆圆的左右右焦点，是该椭椭圆上的的一动点点，是的外角角平分线线，于，求动动点的轨轨迹方程程略解：设设，延长长和直线线相交于，则则，且所以以，由椭圆的的定义得得：所以，即所以，动动点的轨轨迹方程程为设而而不求例 已知的的三个顶顶点都在在椭圆上上，若，重心是是椭圆的的右焦点点，求直直线的方方程简析略解解： = 1 * GB3 = 2 * GB3 因为椭圆圆的短轴轴的顶点点，右焦焦点为重心，所以的的坐标与与三顶点点的坐标标有关，故设，则 = 3 * GB3 = 4 * GB3 又因为在在椭圆上上

4、，故由、求出、两两点的坐坐标，再再求直线线的方程程对思维监监控评价价：这里里解题的的方向是是正确的的，但通通过四个个方程来来求出四四个坐标标的运算算是比较较麻烦的的，能否否有比较较简单的的途径呢呢？由得：由题意知知：，将将、整体代代入得，这个正好好是直线线的斜率率，而的中点点坐标，即，所以直线线的方程程为：问题之所所以得到到简捷地地解答，就是用用了设而而不求的的策略用好对称称数学中的的对称是是广义的的，有几几何图形形的对称称，数量量关系式式结构的的对称，对偶等等，用起起来比较较灵活，而解析析几何中中的对称称还是比比较直观观的，要要是能灵灵活运用用，可化化繁为简简，化难难为易例如如图2，在直线线

5、上任取取一点，经过点点且以椭椭圆的焦焦点为焦焦点作椭椭圆，问问当在何何处时，所作椭椭圆的长长轴最短短，并求求出具有有最短长长轴的椭椭圆方程程图2简析略解解： 椭椭圆两焦焦点为，作关于直直线的对对称点，要使所所作椭圆圆的长轴轴最短，即即最短，也就是是最短，故故点应是是直线与与已知直直线的交交点，如图2直线的方方程为，由方程程组得点点，由中中点坐标标公式得得，故直直线的方方程为解方程组组得所所求点的的坐标为为（，）由于，此此时椭圆圆的方程程为注：怎样样能使椭椭圆的长长轴最短短？当然然想到椭椭圆的定定义最最小折线段段的和最最短三点一一直线寻找找对称点点对称称变换简明的的解法找找到了对称，能提供供一种

6、清清晰的想想象力，这种想想像力常常能使我我们看到到并发现现用别的的方法也也许较难难发现的的关系活用平几几由于解析析几何就就是用代代数方法法研究几几何图形形性质的的一门数数学学科科，所以以平面几几何的许许多知识识就能使使我们的的思路来来得直观观明了图例5（220011年全国国高考试试题）设设抛物线线的焦点点为，经经过的直直线交抛抛物线于于A，BB两点，点C在在抛物线线的准线线上，且且轴，证证明直线线经过原原点O简析略证证：如图图，记记 轴与与准线交交点，过作作，垂足为为，则则连结，与与相交于于点，则则由平几几知识得得：，根据抛物物线的几几何性质质，所以，即是的中点点，与抛抛物线的的顶点重合，所以

7、直直线经过过原点OO巧用向量量向量是高高中教材材的新增增内容，由于向向量具有有几何和和代数的的双重属属性，以以向量为为工具，改变了了传统的的平面三三角、解解析几何何、立体体几何等等内容的的学习体体系，使使几何问问题彻底底代数化化了，使使数形结结合思想想体现的的更深刻刻、更完完善.例（19999年全全国高中中数学联联赛试题题）已知知点，过过点的直直线与抛抛物线交交于，两点点，试判判断的形形状解：设，则有有，三点共共线，所以又，所以，故为直直角三角角形例已已知圆和和两个定定点，点点为圆圆上的的动点，过点的圆的切线线为，点点关于于的对称称点为，求的最最大值图分析：本本题的常常规解法法是：首首先求出出

8、点的轨轨迹方程程，再利利用两点点间距离离公式去去求的表表达式（要运用用点的轨轨迹方程程将二元元函数问问题转化化为一元元函数最最值），进而求求出的最最大值这里所所用的纯纯解析法法虽然思思路很直直接，但但求出点点的轨迹迹方程是是一个难难点，很很难突破破，并且且运算量量大，过过程繁琐琐而平平面向量量的几何何计算灵灵活方便便，运用用平面向向量的运运算法则则合理安安排运算算，使问问题的解解决变得得简洁解：如图图1，设设与直线线交于点点，连接接，由分别为为的中点点，得，且且又，故 设，则，由题意得得，则，即，即，得又,，当时，所以，此时，点的坐坐标为（，），切切线方程程为，点的坐坐标为（，）利用极坐坐标例

9、已已知椭圆圆，直线线：是上一一点，射射线OPP交椭圆圆于，又点在OPP上且满满足当在在上移动动时，求求点的的轨迹方方程，并并说明轨轨迹是什什么曲线线(119955年全国国高考压压轴题)解题的策策略分析析：本题题是求动动点的的轨迹方方程，即即找到关关于的等等式，可可以用一一般法来来解，即即设点，再布布立方程程组来解解但必必须看到到这里有有，六个末末知量，这样，所立的的方程组组中不下下五个方方程，因因此，即即使可解解，也该该暂缓，看有否否别的方方法？从从条件知知，这是是一个与与长度与与角度有有关的问问题，故故可用参参数法求求解比较较简单但不要要就此停停步，再再看是否否还有别别的方法法？的确确，用极

10、极坐标法法来解将将会显得得更简捷捷在分分辩了方方法间的的优劣之之后，策策略层面面的问题题已经解解决，但但仍不要要大意，要继续续细心分分辩，因因为在选选择极坐坐标法来来解后，还有个个极点选选在原点点还是在在椭圆左左焦点的的问题，它关系系到极坐坐标方程程是用统统一式还还是用互互化式的的问题，这是一一个学生生用极坐坐标法来来解时常常常难以以选择这里考考虑到都都是从原原点出发发的线段段长度，故选用用以坐标标原点为为极点来来解，即即不用统统一式而而用互化化式这这样，分分辩清了了，简捷捷的方法法、合理理的运算算和要运运用的知知识也就就自然择择优而定定了 用用好焦半半径公式式例 如图已已知梯形形中=2, 点

11、分有有向线段段所成的的比为，双曲线线过、三点,且以,为焦点点，当时，求求双曲线线的离心心率的取取值范围围.(220000年全国国高考试试题)解题的策策略分析析：一看看到这个个题，不不要说当当年一些些普通考考生望题题兴叹，就是一一些基础础不错的的考生也也没了头头绪，这这不但是是由于它它是一个个双参数数范围问问题，而而且是在在未知双双曲线方方程的情情况下来来求离心心率的取取值范围围，再加加上大家家期望要要用上的的已知条条件：中的，又又是大家家在日常常解题中中着实有有点感到到后怕的的“点分有向向线段所所成的比比”这时时，一些些有思维维策略的的学生就就有了用用武之地地：他们首先先从审题题后看到到题设中

12、中无系无无方程，因此，用分而而治之的的策略，从建立立坐标系系，确立立方程的的形式入入手：如图以的的垂直平平分线为为轴, 以所在在的直线线为轴,建立直角坐标标系,则则轴. 因为双双曲线过过、,且以以,为焦点,由双双曲线的的对称性性知、关于轴对对称，并并设双曲曲线方程程为=1 (0,0), 则离离心率=在做好这这一基础础性工作作的前题题下，如如何由的的范围来来求的范范围就成成了解决决本题的的思维核核心，他他们看到到在本题题这个双双参数问问题中，和既互相相制约，又在一一个矛盾盾中统一一(统一一在一个个方程里里)，这这是考查查学生在在解题某某个阶段段视哪一一个为主主元，哪哪一个辅辅元，而而在解题题另一

13、个个阶段，又需要要主辅互互换，反反客为主主，真是是个考查查辩证思思维的绝绝妙押轴轴题这这虽难，但也正正是考生生一显身身手，展展示自己己思维能能力的好好地方，也是与与众考生生一决高高下的分分水岭因此，他们根根据的范范围已知知这一条条件，进进而确立立：先视视为主元元，再视视为主元元，找出出两个参参数之间间的关系系=，将问问题转化化归为已已知范围围，再解解不等式式，由此此求出参参数的范范围这样样一个整整体的思思路和思思维策略略 于是，他他们先视视为主元元，找的的关系式式：依题意，记 (,0 ) , (,)，(,)，其中中=为双曲曲线的半半焦距，是梯形形的高.由定比比分点公公式得：= ， =但在如何何

14、再视为为主元，找出两两个参数数之间的的关系=上，是是又一次次体现思思维水平平的层次次性和思思维策略略的重要要性视角一：视点、为直线线与与双曲线线的交点点，这时时，虽能能把方程程代入=1得得：这这一常规规思路虽虽正确，解题方方向也不不错，但但要用上上这一方方程不但但难，而而且繁，在应试试的情况况下当然然应另辟辟蹊径思路敏敏锐的学学生在不不代前就就暂时放放弃了视角二：视点、在双曲曲线上，将、的坐标标和=代入双双曲线的的方程,得=1 =1 由得：= 1 将式代代入式整理理得: (4)=1+22, 故故得=11 .由题设 , 得 1 ,故故得 . 所以双双曲线的的离心率率的取值值范围是是.视角三：视、

15、为点、EE到焦点点的距距离，由由焦半径径公式得得：，而、同号号，从而而所以由题设 , 得 1 ,故故得 . 所以双双曲线的的离心率率的取值值范围是是.这里同是是、二点，但由于于解题思思维策略略的运用用，从不不同的视视角出发发，使解解题的切切入点和和解题的的方向各各不相同同，对同同一问题题解答所所用的知知识、方方法和也也不同，其中中视角二二下的方方法比较较简单，而视角角三下的的方法，运用焦焦半径公公式来解解，在简简捷中更更显得灵灵活，真真是：“横看成成岭侧成成峰，远远近高低低无一同同”简化解答答虽不是是突破性性的进展展和创造造，却也也是对已已经取得得成果的的改造和和推进. 对学学生来说说, 则则是一种种对所学学知识的的灵活运运用和高高超驾驭驭基础上上的创新新, 是是一种精精神的升升华和对对数学美美的追求求. 从从中体现现出思维维的批判判性、深深刻性、广阔性性、敏捷捷性和解解题的艺艺术性. 因此此, 培培养学生生的求简简精神, 不仅仅是正确确、迅速速解题的的需要和和保证，而且是是优化思思维品质质、领悟悟数学精精神、提提高创新新能力的的有效途途径.主要参考考文献：1谢全全苗论论数学求求简精神神的培养养数学学通报，20004.22 = 2 * Ar