Chapter11布莱克休尔斯莫顿期权定价模型

1、11.0第十一章 布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价钱，在学术界和实务界引起了剧烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为普通化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深化浅出地引见布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型下文简称B-S-M模型，并由此导出衍生证券定价的普通方法。 1.布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型根本思绪11.1 我们为了给股票期权定价，必需先了解股票本身的走势。由于股票期权

2、是其标的资产即股票的衍生工具，在知执行价钱、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价钱变化的独一来源就是股票价钱的变化，股票价钱是影响期权价钱的最根本要素。 因此，要研讨期权的价钱，首先必需研讨股票价钱的变化规律。在 了解了股票价钱的规律后，我们试图经过股票来复制期权，并以此为根据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的言语来描画这种定价的思想。2.股票价钱的变化过程11.2市场有效实际与随机过程 1965年，法玛Fama提出了著名的效率市场假说。该假说以为，证券价钱对新的市场信息的反响是迅速而准确的，证券价钱能完全反响全部信息。1、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说3、强式效

3、率市场假说 根据众多学者的实证研讨，兴隆国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。普通以为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程Markov Stochastic Process是内在一致的。因此我们可以用数学来描写股票的这种特征。有效市场三个层次3.布朗运动11.2.1 布朗运动Brownian Motion来源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描画。 对于规范布朗运动来说：设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在 时间内的变化，遵照规范布朗运动的 具有两种特征：特征1： 和 的关系满足： =其中， 代表从规范正态分布即均值为0、规范差为1的正态分布中取的一个随机值。特征2：对

4、于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。 4.布朗运动11.2.1 将规范布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布朗运动： 规范布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。5.布朗运动11.2.1普通布朗运动的离差方式为 ，显然，x也具有正态分布特征，其均值为 ，规范差为 ，方差为 1、显然，遵照普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程，其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。第二项bdz是随机项，它阐明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 2、在恣意时

5、间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，规范差为 ，方差为b2T。6.伊藤过程与伊藤引理11.3 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，假设把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到 这就是伊藤过程Ito Process。其中，dz是一个规范布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。 7.伊藤过程与伊藤引理11.3 在伊藤过程的根底上，数学家伊藤K.Ito进一步推导出：假设变量x遵照伊藤过程，那么变量x和t的函数G将遵照如下过程： 其中，dz是一个规范布朗运动。这就是著名的伊藤引理。 8.伊藤过程与伊藤引理11.3案例11.1 运

6、用伊藤引理推导lnS所遵照的随机过程假设变量S服从其中和都为常数，那么lnS遵照怎样的随机过程？由于和是常数，S显然服从 ， 的伊藤过程，我们可以运用伊藤引理推导lnS所遵照的随机过程。令 ，那么代入式 我们就可得到 所遵照的随机过程为 由于dlnS是股票的延续复利收益率，得出的公式阐明股票的延续复利收益率服从期望值 ，方差为 的正态分布。*随机微积分与非随机微积分的差别9.股票价钱的变化过程：几何布朗运动11.2.4 普通来说，金融研讨者以为证券价钱的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 S2的伊藤过程即几何布朗运动来表示： 之所以采用几何布朗运动其主要缘由有两个： 一是可以防止股票价钱为负从

7、而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票延续复利收益率服从正态分布，这与实践较为吻合。 10.股票价钱的变化过程：几何布朗运动11.2.4 从案例11.1我们曾经知道，假设股票价钱服从几何布朗运动，那么有 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价钱的对数服从普通布朗运动，由于它具有恒定的漂移率 和恒定的方差率 。由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动 时，其在恣意时间长度T-t内的变化值都服从均值为 、方差为 的正态分布。也就是说， 11.股票价钱的变化过程：几何布朗运动11.2.4 由上一页的推导可知证券价钱对数服从正态分布。假设一个变量的自然对数服

8、从正态分布，那么称这个变量服从对数正态分布。这阐明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到 和 实践上就是股票价钱在Tt期间的延续复利收益率，那么Tt期间年化的延续复利收益率可以表示为 ，从式11.9可知随机变量 服从正态分布12.预期收益率与动摇率11.2.5:1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率程度、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及客观要素，因此其决议本身就较复杂。然而侥幸的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的。 3 、较长时间段后的延续复利收益率的期望值等于

9、 ，这是由于较长时间段后的延续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率那么是算术平均的结果。 13.预期收益率与动摇率11.2.51、证券价钱的年动摇率，又是股票价钱对数收益率的年规范差 2、普通从历史的证券价钱数据中计算出样本对数收益率的规范差，再对时间规范化，得到年规范差，即为动摇率的估计值。在计算中，普通来说时间间隔计算时越近越好；时间窗口太短也不好；普通来说采用买卖天数计算动摇率而不采用日历天数。 :14.衍生品价钱所服从的随机过程11.2.当股票价钱服从几何布朗运动时，由于衍生证券价钱G是标的证券价钱S和时间t的函数G(S,t)，根据伊藤引理，衍生证券

10、的价钱G应遵照如下过程： 比较11.1和11.11可看出，衍生证券价钱G和股票价钱S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。15.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1假设：1、证券价钱遵照几何布朗运动，即 和 为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有买卖费用和税收，一切证券都是完全可分的；4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、存在无风险套利时机；6、证券买卖是延续的，价钱变动也是延续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 16.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1 由于证券价钱S遵照几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔 中，S

11、的变化值 为： 在一个小的时间间隔中，f的变化值 为： 设f是依赖于S的衍生证券的价钱，那么f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得： 17.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1 为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，那么： 在 时间后，该投资组合的价值变化 为：代入和可得18.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1中不含任何风险源，因 此组合必需获得无风险收益，即代入上式可得化简为*这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，它适用于其价钱取决于标的证券价钱S的一切衍生证券的定价。19.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1 察

12、看布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于客观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决议公式中。这意味着，无论风险收益偏好形状如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们任务的假设：在对衍生证券定价时，一切投资者都是风险中性的。虽然这只是一个人为的假定，但经过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的一切情况。 在风险中性的条件下，一切证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，一切现金流量都可以经过无风险利率进展贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。 20.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1 假设一种不支付红利股票

13、目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价钱要么是11元，要么是9元。如今我们要找出一份3个月期协议价钱为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提早执行，其价值取决于3个月后股票的市价。假设3个月后该股票价钱等于11元，那么该期权价值为0.5元；假设3个月后该股票价钱等于9元，那么该期权价值为0。 风险中性定价原理的运用21. 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。假设3个月后该股票价钱等于11元时，该组合价值等于( 11 0.5)元；假设3个月后该股票价钱等于9元时，该组合价值等于9 元。为了使该组合价值处于无风险形

14、状，我们应选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着： 11 0.5=9 =0.25 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价钱等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.122. 假设如今的无风险年利率等于10%，那么该组合的现值应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否那么就会存在无风险套利时机。 布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.123.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1 从该例子可以看

15、出，在确定期权价值时，我们并不需求知道股票价钱上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。现实上，只需股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，那么股票上升的概率P可以经过下式来求：P=62.66%。24.布莱克舒尔斯默顿期权定价模型11.3.1 又如，假设在现实世界中股票的预期收益率为15%，那么股票的上升概率可以经过下式来求：P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决议了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决议了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该

16、期权的价值都等于0.31元。25.布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.2 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时T时辰的期望值为：其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价钱c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即： 26.布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.2对右边求值是一种积分过程，结果为：其中， Nx为规范正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据规范正态分布函数特性，我们有 。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。27.对于布莱克舒尔斯期权定价公式的了解： 在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于

17、X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值 。 因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.228.布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.2无收益资产的欧式看跌期权的定价公式 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：29.布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.2无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提早执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的

18、定价公式同样是：30.布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.3有收益资产的欧式期权的定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益知情况下，我们可以把标的证券价钱分解成两部分：期权有效期内知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消逝。因此，我们只需用S表示有风险部分的证券价钱。表示风险部分遵照随机过程的动摇率，就可直接套用公式:分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。31. 因此，当标的证券知收益的现值为I时，我们只需用SI替代S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价钱。 当标的证券的收益为按延续复利计算的固定收益率q单位为年时

19、，我们只需将 替代S就可求出支付延续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价钱。 普通来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付延续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付延续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权那么是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的延续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.332.有收益资产的美式看涨期权的定价 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提早执行的能够，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近 似处置方法。该方法是先确定提早执行美式看涨期权能否合理，假设不合理，那么按欧式期权

20、处置；假设在 提早执行能够是合理价钱，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价钱。在大多数情况下，这种近似效果都不错。 时辰到期的欧式看涨期权的的，那么要分别计算在T时辰和布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.333.美式看跌期权的定价 美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提早执行的能够，而且与其对应的看涨期权也不存在准确的平价关系，因此我们普统统过数值方法来求美式看跌期权的价值。布莱克舒尔斯默顿期权定价公式11.3.334.B-S-M期权定价公式的参数估计11.3.我们曾经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价钱取决于以下五个参数：标的资产市场价钱、执行价钱、到期期限、无风险利率和标的资产价钱

21、动摇率即标的资产收益率的规范差。在这些参数当中，前三个都是很容易获得确实定数值。但是无风险利率和标的资产价钱动摇率那么需求经过一定的计算求得估计值。35.B-S-M期权定价公式的参数估计11.3.一估计无风险利率在兴隆的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但在实践运用时依然需求留意几个问题。首先，要选择正确的利率。要留意选择无风险的即期利率即零息票债券的到期收益率，而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为延续复利的方式，才可以在B-S-M公式中运用。普通来说，在美国人们大多项选择择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去通常运用银行存款利率，如今那么可以从银行间债券市场的价钱中确定国债即期利率作为无风险利率。其次，要留意选择利率期限。假设利率期限构造曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很能够相差很大，我们必需选择间隔期权到期日最近的利率作为无风险利率。36.B-S-M期权定价公式的参数估计11.3.二估计标的资产价钱的