高考数学资料-函数的概念与基本初等函数-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

1、第PAGE 页码48页/总NUMPAGES 总页数48页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.专题02 函数的概念与基本初等函数2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化【高频考点及备考策略】(1)深刻理解函数、分段函数及函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等概念(2)掌握各种基本初等函数的定义、图象和性质，以及幂和对数的运算性质(3)掌握函数图象的作法、变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法(4)掌握利用函数性质比较大小、求值、求参数范围等问题的方法(5)加强对函数零点的理

2、解，掌握函数的零点与方程根的关系掌握研究函数零点、方程解的问题的方法考向预测：预测2021年命题热点为：(1)求函数定义域及与分段函数有关的求值、求范围等问题(2)给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题(3)利用函数的性质求值，求参数取值范围、比较大小等问题(4)函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题将实际背景常规化，最后归为二次函数、高次式、分式及分段函数或指数式、对数式函数为目标函数的应用问题必备知识1指数与对数式的七个运算公式(1)amanamn，amanamn.(2)(am)namn.(3)loga(MN)logaMlogaN(a0且a1，M

3、0，N0)(4)logaeq f(M,N)logaMlogaN(a0且a1，M0，N0)(5)logaMnnlogaM(a0且a1，M0)(6)alogaNN(a0且a1，N0)(7)logaNeq f(logbN,logba)(a0且a1，b0且b1，M0，N0)2单调性定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1x2，都有f(x1)f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)3奇偶性定义对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x2)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数)4周期性定义周期函数f(x)的最小正周期T

4、必须满足下列两个条件：(1)当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x).(2)T是不为零的最小正数.5指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数图象单调性0a1时，在R上单调递增 0a1时，在(0，)上单调递增函数值性质0a0时，0y1；当x10a1时，y0；当0 x0a1，当x0时，y1；当x0时，0y1，当x1时，y0；当0 x1时，y0)或向右(a0)或向下(a0且a1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽略ax0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确选择题1、（2020新课标卷理科T12）若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，

5、当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.（2020新课标卷文科T8）设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2、（2020新课标卷理科T11同文科T12）若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题

6、考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.3、（2020新课标卷理科T12）已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）A. abcB. bacC. bcaD. cab【答案】A【解析】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.（2020新课标卷文科T10）设a=log32，b=log53，c=，则（ ）A. acb

7、B. abcC. bcaD. ca0，b0，且a+b=1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.10、（2020北京卷T6）已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.

8、故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.11、（2020天津卷T3）函数的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项12、（2020天津卷T6）设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析

9、】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.13、（2020天津卷T9）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足

10、题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.14、（2020浙江卷T9）已知a，bR且ab0，对于任意x0 均有(xa)(xb)(x2ab)0，则（ ）A. a0C. b0【答案】C【解析】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.二、填空题1、（2

11、020新课标卷理科T16）关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图像关于y轴对称f（x）的图像关于原点对称f（x）的图像关于直线x=对称f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，则，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.（2020北京卷T11）函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，故

12、答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.（2020江苏卷T7）已知y=f(x)是奇函数，当x0时， ，则f(-8)的值是_.【答案】【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.高频考点、热点题型强化考点一 函数的性质及其应用【典例】(1)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是 .解析(1)f(x)是偶函数，图象关于y轴对称又f(2)0，且f(x)在0，)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x1)0，得2x12，即1x3.(2)设奇函数yf(x)(xR

13、)，满足对任意tR都有f(t)f(1t)，且x0，eq f(1,2)时，f(x)x2，则f(3)f(eq f(3,2)的值等于 解析根据对任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，进而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函数yf(x)的一个周期为2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，f(eq f(3,2)f(eq f(1,2)eq f(1,4).所以f(3)f(eq f(3,2)0(eq f(1,4)eq f(1,4).【备考策略】函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知

14、的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题。【类比演练】1已知函数f(x)ax3bsinx4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg2)等于( )A5B1C3 D4解析lg(log210)lg(eq f(1,lg2)lg(lg2)，由f(lg(log210)5，得alg(lg2)3bsin(lg(lg2)451，则f(lg(lg2)a(lg(lg2)3bsin(lg(lg2)4143.2已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为 解析易知f(x)为增函数又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x)m

15、x2x，即mxx20，令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)0恒成立，即eq blcrc (avs4alco1(g2x20,g23x20)，2x0，,logf(1,2)x，xf(a)，则实数a的取值范围是( )A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析方法一：由题意作出yf(x)的图象如图显然当a1或1af(a)故选C方法二：对a分类讨论：当a0时，log2alogeq f(1,2)a，即log2a0，a1.当alog2(a)，即log2(a)0，1a0，则下列结论正确的是( D )A B0C2解析设f(x)xsinx，xeq f(,2)，eq f

16、(,2)，yxcosxsinxcosx(xtanx)，当xeq f(,2)，0时，y0，f(x)为增函数，且函数f(x)为偶函数，又sinsin0，sinsin，|，22.【备考策略】(1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性【类比演练】1设eq f(1,5)(eq f(1,5)b(eq f(1,5)a1，那么( )AaaabbaBabaabaCaabaab Dabbaaa解析因为指数函数y(eq f(1,5

17、)x在(，)上是递减函数，所以由eq f(1,5)(eq f(1,5)b(eq f(1,5)a1得0ab1，所以0eq f(a,b)1.所以yax，ybx，y(eq f(a,b)x在(，)上都是递减函数，从而abaa，(eq f(a,b)aaa，故abaaba，答案选B2已知函数f(x)2xeq f(1,2x)，函数g(x)eq blcrc (avs4alco1(fx，x0，,fx，x0，)则函数g(x)的最小值是 .解析当x0时，g(x)f(x)2xeq f(1,2x)为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.考点三 函数的零点【典例】 (1)已知实

18、数a1,0b1,0b1，f(x)axxb，所以f(1)eq f(1,a)1b0，所以f(1)f(0)0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点(2)设函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)x3，则函数g(x)|cosx|f(x)在区间eq f(1,2)，eq f(3,2)上零点的个数为( )A3 B4C5 D6解析由f(x)f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称由f(x)f(2x)，得f(x)的图象关于直线x1对称当x0,1时，f(x)x3，所以f(x)在1,2上的图象如图令g(x)|cosx|f(x)0，得|cosx|f(x)

19、，两函数yf(x)与y|cosx|的图象在eq f(1,2)，eq f(3,2)上的交点有5个(3)已知在(0,2上的函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)3，x0，1，,2x11，x1，2，)且g(x)f(x)mx在区间(0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A(eq f(9,4)，2(0，eq f(1,2) B(eq f(11,4)，2(0，eq f(1,2)C(eq f(9,4)，2(0，eq f(2,3) D(eq f(11,4)，2(0，eq f(2,3)解析由函数g(x)f(x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点，得yf(x)，ym

20、x在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点当ymx与yeq f(1,x)3在x(0,1相切时，mx23x10，94m0，meq f(9,4)，结合图象可得当eq f(9,4)m2或0meq f(1,2)时，函数g(x)f(x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点【备考策略】1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)1，)则函数f(x)的零点为( )Aeq f(1,2)，0 B2,0 Ceq f(1,2) D0解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f

21、(x)1log2x0，解得xeq f(1,2)，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.（2）已知函数f(x)(eq f(1,2)xcosx，则f(x)在0,2上的零点个数为( )A1 B2C3 D4解析作出g(x)(eq f(1,2)x与h(x)cosx的图象，可以看出其在0,2上的交点个数为3.故选C（3）已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有( )A10个 B9个 C8个 D1个解析在同一平面直角坐标系中分别作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图又lg 101，由图象知选A强化训练1已

22、知函数f(x)的定义域为3,6，则函数yeq f(f2x,r(logf(1,2)2x)的定义域为( )Aeq f(3,2)，)Beq f(3,2)，2)C(eq f(3,2)，) Deq f(1,2)，2)解析要使函数yeq f(f2x,r(logf(1,2)2x)有意义，需满足eq blcrc (avs4alco1(32x6，,logf(1,2)2x0)eq blcrc (avs4alco1(f(3,2)x3，,02x1)eq f(3,2)x0，且1bxax，则( )A0ba1 B0ab1C1ba D1a0时1bx1，a1，又bx1，eq f(a,b)1，ab.故选C3设函数f(x)，g(x

23、)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)

24、g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误故选C4已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为( )A4 B4C6 D6解析由题意，f(0)30m0，解得m1，故当x0时，f(x)3x1，f(log35)f(log35)(3log351)4.故选B5函数yeq f(2xsinf(,2)6x,4x1)的图象大致为( )解析yeq f(2xsinf(,2)6x,4x1)eq f(2xcos6x,22x1)eq f(cos6x,2x2x)，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A；又函数有无数个零点，可排除C；当x取一个

25、较小的正数时，y0，由此可排除B，故选D6若关于x的不等式4ax10，且a1)对于任意的x2恒成立，则a的取值范围为( )A(0，eq f(1,2) B(0，eq f(1,2)C2，) D(2，)解析不等式4ax13x4等价于ax11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，由图知不满足条件；当0a0，由于uax10恒成立，当x1时，有最小值，ax1a10，所以a1.8.若函数f(x)2xsinx对任意的m2,2，有f(mx3)f(x)0，知f(x)为增函数，因为f(mx3)f(x)0可变形为f(mx3)f(x)，所以mx3x，所以mx3x0.设g(m)xm3x，由题意知当m2,2时，g

26、(m)0恒成立，则当x0时，g(2)0，即2x3x0，则0 x1；当x0时，g(2)0，即2x3x0，则3x0.所以所求x的取值范围是(3,1)9.已知函数f(x)exx，g(x)lnxx，h(x)lnx1的零点依次为a，b，c，则( )Aabc BcbaCcab Dbac解析由f(a)eaa0，得aea0；b是函数ylnx和yx图象交点的横坐标，画图(图略)可知0b1；由h(c)lnc10知ce，所以abc.10.已知函数f(x)2axa3，若x0(1,1)，f(x0)0，则实数a的取值范围是( )A(，3)(1，) B(，3)C(3,1) D(1，)解析函数f(x)2axa3，由x0(1,

27、1)，f(x0)0，可得(3a3)(a3)0，解得a(，3)(1，)数学二级结论高考的应用第一结论不动点通法 数列通项放缩问题国一各种数列压轴题 通杀不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解那么a,b就为Xn不动点不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xna高考里你只需要取大根就好，小根忽视比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范围解an=c-1/an 令a

28、n=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2显然就是证xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回头看这个：即an+1 - x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号 a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即题目变成anan+1x3恒成立求x的范围解x3得到答案这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题大学教授，都带有高数味儿得小结论C:y2=2px过x轴上(a,0)点与C相交，存在x1x2

29、=a2无数小题用此结论减免思维强度连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B(x2,-y2) 让你证AB过焦点你想想 x1x2只和a2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊极坐标：秒杀焦点弦我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日日为过F的直线的倾斜角p为焦准距双曲线单支和椭圆一样交于两支时 r=ep/ec

30、os日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正抛物线r=p/1 -+ cos日（抛物线e=1）以上三者的焦点弦R=r1+r2长为R=|2ep/1-e2cos2日|这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀左加右减套绝对值，同边开负，异边开正举例解释比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a技巧09山东22题告诉我们过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因为AO BO垂直 这些关系可以

31、用倾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an这种强大的公式不懂你就亏了四面体体积公式V=1/6(abhsin日)a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀有关立体几何中的开放式问题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图还有这个在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1这个有什么用呢？ 已知两个角

32、求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系双曲线焦点到渐近线的距离=b过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形则 斜边为c 另一条直角边为b我们来看看圆锥面是一个三角形旋转一周所得意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理举个例子：P要满足A,B,C，求P的方法数画个韦恩图U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）看到图你知道该怎么算了吧P=U-(A+B

33、+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C两个条件的我就懒得打字啦有关离心率问题 很多命题点在这里椭圆离心率e2=1-(b/a)2双曲线：e2=1+(b/a)2看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关双曲线渐近线方程可设为b2x2-a2y2=0看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 则F1PF2为902.POOF1 则OF1 则，为锐角导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内0【这是一个你死也要记住的不等式链】sqrt(a2+b2)/2=(a+b

34、)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为设向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad-bc证明可用S=1/2absin日 证平行四边形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量构筑不等关系若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑向量m=(a,c)

35、向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称切记等差数列Sn=(d/2)n2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊等比数列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)a1+a2+a3+.

36、+anb1+b2+bn（通过单项放缩）a1/1-q=题目要求值cos75=1/sqrt(6)+sqrt(2)sin75=1/sqrt(6)-sqrt(2)自己推15的啊。这个我做数学和物理真题的时候遇到过 物理尤其光学题对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f(T/2+nT)=0可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性质比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇注意这种构造法|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+b(n+1)-bn| y0/x0 * k = -b2/a22.和l联立消去x,y （别弄走了k)抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少

37、运算y2=2px的参数方程(2pt2,2pt)比例性质专业化简啊！分比性质a/b=c/d (a-b)/b=(c-d)/d合分比性质(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧这俩公式 尤其下面的，平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了已知过x轴上一点方程 一定要设为my=x-c为什么？ 它包括了斜率不存在的情况，可以避免讨论对存在性问题，可以从特殊条件出发，进而再证明这个值就是一般情况下的值平面上任意一点P(x,y)都可以表示为x=|OP|cosy=|OP|sin有什么用途呢？ 比如有OA OB 他们互相垂直你会发现神奇的事情详见2009年山东理22(2

38、)三次函数具有对城中心P(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)(x1x2 他们都是极值点)动态问题一般核心思想是：动中找静，双动则定一找出题中定死不变的量，有可能它是显性的有可能是隐形的比如2009全国2 16两点间距离空间版PQ2=d12+d22+d2-2d1d2cosd1,d2为PQ到 二面角P-l-Q的l的距离d为PQ在l上投影为二面角大小这个结论很好证，主要是画图 勾股定理极值问题 一般都出在自变量为d或者为的时候f(x)+k=0解的个数y=f(x)y=-k看图说话这个思想用于无数的导数压轴题和选填过(a,0)点向y2=2px 作直线有交点存在x1x2=a2这可以用来解很多小题和部分

39、大题（2010国卷21题（1）在涉及最值问题时，不要急于思索搜寻所谓的类型和方法，【认真，准确的化简，整理表达式才是关键】我们总是根据【整理的结果选择适当方法】结果未出的种种设想都是无谓的干扰见 切点 过圆心 出直角，这是一重要的平面几何知识可以转化为三角等问题对f(x)=|x-x1|+|x-x2|+|x-xn|设x1x2x3xnn为奇数时 x取中间点时f(x)有min值n为偶数时，x取中间两点任意一点可以取min值别以为这个没用，高考题有一些题是以这个为模型 的模拟题这个见得太多了一大把原文摘抄：面对有函数的试题，首先要毫不迟疑的确定其定义域，即使没有要求，也要这么做，即【定义与优先】此外，

40、对给定函数 即便题目没有设问，也要从 单调性 奇偶性 周期性等角度对其全方位查体在单调性中，增减性几何意义增:离y轴越近，函数值越小减:离y轴越近，函数值越大注意是距离，距离怎么表达的？ 想起来了？举个简单例子y=x2中函数值比4小的x的结集？f(x0)=4 x0=2|x|2f(x2)-f(x1) 0 x2 - x1的几何意义是，斜率值恒0 斜率是什么？ 导数0 说明f(x)恒递减他的变式是f(x2)+g(x2)-f(x1)+g(x1) x2 - x1想什么呢？构造t(x)=f(x)+g(x)呀f(a+x)+f(b-x)=2c f(x)有对城中心(a+b/2,c)y=f(a+wx)y=f(b-

41、wx)这俩函数关于x=b-a/2w对称三角平移问题速解（就是那种已知一个三角函数 又知另一个三角函数问平移情况或者参数变化情况）可以取特殊点即原三角函数的第一个最值(不能取0点）再对比新三角函数的第一最值，你就知道怎么移动了、数学二级结论高考的应用第一结论不动点通法 数列通项放缩问题国一各种数列压轴题 通杀不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解那么a,b就为Xn不动点不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xna高考里你只需要取大根就好，小根忽视比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用核心思想：有关数列通项的相关问题，

42、先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范围解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2显然就是证xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回头看这个：即an+1 - x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号 a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即题目变成anan+1x3恒成立求x的范围解x3得到答案这是真正

43、的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题大学教授，都带有高数味儿得小结论C:y2=2px过x轴上(a,0)点与C相交，存在x1x2=a2无数小题用此结论减免思维强度连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B(x2,-y2) 让你证AB过焦点你想想 x1x2只和a2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊极坐标：秒杀焦点弦我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式椭圆 过F作直线交C于AB

44、，设AF=r1 BF=r2目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日日为过F的直线的倾斜角p为焦准距双曲线单支和椭圆一样交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正抛物线r=p/1 -+ cos日（抛物线e=1）以上三者的焦点弦R=r1+r2长为R=|2ep/1-e2cos2日|这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀左加右减套绝对值，同边开负，异边开正举例解释比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a技巧09山东22

45、题告诉我们过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an这种强大的公式不懂你就亏了四面体体积公式V=1/6(abhsin日)a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀有关立体几何中的开放式问题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图还有这个

46、在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1这个有什么用呢？ 已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系双曲线焦点到渐近线的距离=b过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形则 斜边为c 另一条直角边为b我们来看看圆锥面是一个三角形旋转一周所得意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理举个例子：P要满足A,B,

47、C，求P的方法数画个韦恩图U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）看到图你知道该怎么算了吧P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C两个条件的我就懒得打字啦有关离心率问题 很多命题点在这里椭圆离心率e2=1-(b/a)2双曲线：e2=1+(b/a)2看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关双曲线渐近线方程可设为b2x2-a2y2=0看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 则F1PF2为902.

48、POOF1 则OF1 则，为锐角导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内0【这是一个你死也要记住的不等式链】sqrt(a2+b2)/2=(a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为设向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad-bc证明可用S=1/2absin日 证平行四边形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量A

49、B-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量构筑不等关系若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑向量m=(a,c)向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称切记等差数列Sn=(d/2)n2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊等比数列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/