材料选择题的常见解法

1、作者：huzm 第 1 页共 30 页选择题的几种常见解法一、特殊值代入法注 1：当寻找对一类量都成立（或一样）的结论时，可以通过一组具体的量得到相应的结果这一组具体的量可以是数值、函数、矩阵、向量、图形、甚至位置等注 2：对于选项是函数等式或函数不等式，可以通过取具体的点排除掉错误选项（一）特殊数值例 111（2005）已知 x y 5 ， z y 10 ，则 x2 y2 z2 xy yz zx （）A 50B 75C100D105答：B分析：本题是 2005 年的一道考题，主要考查了两数差的平方公式根据题中条件，如何将平方交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键由于 x y 5, z

2、y 10 ，所以 z x 5 ，从而x2 y2 z2 xy yz zx 1 (x y)2 (z y)2 (z x)2 75 2故正确选项为 B特殊值代入法：令 y 0 ，则 x 5 ， z 10 ，所以x2 y2 z2 xy yz zx 25 100 50 75 例 112（2006）设 n 为正整数，在1 与 n 1 之间n 个正数，使这n 2 个数成等比数列，则所的n 个正数之积等于（nA (1 n)2）B (1 n)nC (1 n)2nD (1 n)3n答：A分析：（本题是代数题考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式）设此等比数列的公比为q ，则 qn1 n 1，所以1n n1

3、)2n n 12 2n 1的数为 2 (1 1)2 即只有选项 A 满足特殊值代入法：取n 1 ，则数列为1, 2, 2 ，作者：huzm 第 2 页共 30 页例 113（2003）设点(x0 , y0 ) 在圆 x2 y2 1 的，则直线 x0 x y0 y 1 和圆（）A不相交B有一个交点C有两个交点且两交点间的距离小于2D有两个交点且两交点间的距离大于2答：A分析：查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，及判断直线与圆的位置关系的方法根据题意可知 x2 y2 1 ， x2 y2 1 的圆心 (0, 0) 到直线 x x y y 1 的距离是00001d 1，所以直线与圆不相交故正确选

4、项为Ax2 y200特殊值代入法：取 x 1 , y 0 ，则点(x , y ) ( , 0) 在 x y 1 内，这时直线 x 122x y y 100000022变为 x 2 由此便知正确选项为 A例 114.（2010）若某公司有10 个股东，他们中任意6 个股东所持的和都不少于总股份的50 0 0 ，则持股最多的股东所持占总的最大百分比是（）A 25 0 0答 AB. 30 0 0C. 35 0 0D 40 0 0分析：不妨设a1 a2 a9 a10 .因为a1 a2 a6 50 0 0 ， a7 a8 a9 25 0 0 ，所以a10 25 0 0 .特殊值代入法：设a1 = a2

5、= = a9 a10 .因为a1 a2 a6 50 0 0 ，所以a1 a2 a9 75 0 0 ，从而 a10 25 0 0 .例 115已知a 0, b 0 ，且 a b 2 ，则（）(A) ab 12答：C(B) ab 12(C) a2 b2 2(D) a2 b2 3作者：huzm 第 3 页共 30 页 a b 2分析：因为ab ( ab )2 1 ，所以a2 b2 (a b)2 2ab 4 2ab 2 2特殊值代入法：取a 0, b 2 ，则排除选项 B，D取a b 1 ，则排除选项 A：a2 b2 表示的是点(a, b) 到原点距离的平方，其最数形B小值就是原点 O 到直线 a b

6、 2 的距离的平方。由图可知a2 b2 2 。Ca+b=2例 116今有a, b, c, d , e 五个球，己知a 球比b 球大； c 球的半径是a, b 两球半径的平均值；d 球的表面积是a, b 两球表面积OA的平均值；e 球的体积是a, b 两球体积的平均值，则这五个球从大到小排列的次序是(A) a, c, d , e, b (B) a, d , e, c, b(C) a, e, d , c, b (D) a, c, d , e, b 答：C。特殊值代入法：取a 3 ， b 1 ，则c 2 ， d 5 ， e 3 14 例 117（200711）x 1mn当 x 1 和 x 2 时,恒

7、成立，则（ A） 2A m 2, n 3C m 2, n 3B m 3, n 2D m 3, n 2分析：考查分式运算，因式分解，待定系数法等x 1mn m(x 2) n(x 1) (m n)x (2m n) ， 2 2(所以， (m n)x (2m n) x 1，于是比较系数得m n 1, 2m n 1 ，解得 m 2, n 3 特殊值代入法：令 x 1 得 m n 0 ，令 x 0 得 m n 1 ，解得m 2, n 3 2322 , 223 ,4例 118设0 x y 则sin y, sin(x y), cos(x y) 从小到大的次序为（）A cos(x y) sin(x y) sin

8、 yC sin(x y) sin y cos(x y)B sin y sin(x y) cos(x y)C sin y cos(x y) sin(x y)答：A特殊值代入法：取 x , y 2 ，则63作者：huzm 第 4 页共 30 页sin y 3 ， sin(x y) 1 ， cos(x y) 3 。222可知正确选项为 A例 119.（2010）若a, b, c, d 成等比数列，则函数 y 1 ax3 bx2 cx d （3）A有极大值，而无极小值B无极大值，而有极小值C有极大值，也有极小值D无极大值，也无极小值答：D分析：因为 y 1 ax3 bx2 cx d 1 ax3 aqx

9、2 aq2 x aq3 ，所以33y ax3 2aqx aq2 a(x q)2 。即 y 不变号，故函数没有极值点。特殊值代入法：取a b c d 1 ，则y 1 ax3 bx2 cx d 1 1 ，33y 1)2 0 ，即函数 y 13例 1110（2012） 1 单调递增的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列如果数阵中所1有数的乘积等于，那么a （）22512 a11a12a13 aaa23 2122aa32a3133A 18B 14C 12D1分析（代数：等比数列）根据题意a a a a3 ， a a a a3 a3 ，且 a a a2 ，所以， a a a11 12 131221 2

10、2 232231 32 333212 3222a a a a a a a a a a3 a3 a3 a9 11 12 1321 22 2331 32 3312 22 3222由 a9 ，得a 1 122225122答：C特殊值代入法：取a c (1 i 3, 1 j 3) ，则c9 ，所以 a c 1 1ij225122例 1111（2012）一次有四个候选人甲、乙、丙、丁，若投票结果是：丁得票比乙多，作者：huzm 第 5 页共 30 页甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是（）A甲、丁、丙、乙B丁、乙、甲、丙C丁、甲、乙、丙D

11、甲、丁、乙、丙分析（代数：不等式性质）由题意，得丁 乙，甲 乙 丙 丁，甲 丙 乙 丁，（1）（2）（3）由(2) (3) ，得甲 丁；由(2) (3) ，得 乙 丙（4）由（1），（4）可知甲 丁 乙 丙答：D特殊值代入法：设甲、乙、丙、丁的得票数分别 x, 3, y, 6 依题意x 3 y 6 ， x y 9 9 x y 2x 3 ，故 x 6 ， y 3 所以甲 丁 乙 丙所以（二）特殊函数例 191（2003）函数 y f (1 x) 与 y f (1 x) 的图形关于（ C ）A直线 x 1 对称 C直线 x 0 对称分析：记 g(x) f (1 x), h(x) f (1 x) ，

12、由于B直线 x 1 对称D直线 y 0 对称g(x) f (1 x) f 1 (x) h(x) ，所以曲线 y g (x) 上的点(x, g(x) 关于直线 x 0 的对称点(x, g(x) ( x, h(x) 在曲线 y h(x) 上，即函数 y f (1 x) 与 y f (1 x) 的图形关于直线 x 0 对称故正确选项为 C特殊值代入法：作为选择问题，利用特殊值代入法处理本题是最有效的如取 f (x) x ，则 y f (1 x) 1 x 与 y f (1 x) 1 x 是两条关于 y 对称的直线作者：huzm 第 6 页共 30 页例 192已知函数 f (x) 是定义在(, ) 上

13、的偶函数, 且在0, ) 上单调递增. 若实数a满足 f (log2 a) f (1) ,则 a 的取值范围是1A 1 , 2B (0 , 2C 1 , 22答：CD0 , 2分析：因为 f (log2 a) f (1) 且 f (x) 是在0, ) 上单调递增的偶函数，所以当log2 a 0 时， log2 a 1 。即1 a 2 。当log a 0 时， log a 1。即 1 a 1 。2221综上可知a 的取值范围是 , 2 。2特殊值代入法：取 f (x) x2 ，则(log a)2 1 ，即1 log a 1 。所以21 a 21 。22例 193（2009）设函数 g(x) 在

14、x 0 点某邻域内有定义若lim x g(x) 1 成立，则（）sin xx0A g(x) 在 x 0 点连续，但不可导B g(x) 在 x 0 点可导C lim g (x) 存在，但 g(x) 在 x 0 点不连续x0D x 0 时， g(x) 是 x 的高阶无穷小【分析】本题是微积分中极限部分的无穷小比较问题，考查了极限四则运算及高阶无穷小的概念因为lim x g(x) 1 ，所以 lim g( g(x) 1 1 0 ，即 g(x) 是sin x 的sin xx0 sinx0高阶无穷小(x 0) ，从而是 x 的高阶无穷小正确选项为Dx2 ,x 0,x 0,x g(x)特殊值代入法：取 g

15、(x) 1 ，但选项 A，B，C 都不成立则 limx0sin x A,排除法：根据极限概念，函数在一点的极限与函数在这一点的情况无关，而选项 A，B，C都牵扯到了 g(x) 在 x 0 处的值，所以不会成立例 194（2005）设 f (x) 在点 x 0 处可导，且 f ( 1 ) 2 (n 1, 2,3,) ，则 f (0) （）nnC 2A 0B1D 3答：C分析：主要考查了导数的概念和可导与连续的关系作者：huzm 第 7 页共 30 页因为函数 f (x) 在点 x 0 处可导，所以其在点 x 0 处连续，从而1f ( ) f (0)n12f (0) lim f ( ) lim 0

16、 ， f (0) lim 2 1nnn nnn即正确选项为 C特殊值代入法：作为选择题，本题的简单方法是取 f (x) 2x ，则 f (x) 满足题中条件，且f (x) 2 ，特别地有 f (0) 2 f ( x) f ( x) 等于（例 195设 f (0) 1, , 为常数，且 0 ，则 limx0B ）x1 11 1(A) (B) (C)(D)f ( x) f (特殊值代入法：取 f (x) x ，则limx0 xxx0例 196.设函数 f (x) 可导，且 f (0) a 若 g(x) f (sin(cos x) ，则 g ( ) 2B aD 2aA aC 2a答：B分析：因为 g

17、(x) f (sin(cos x) ，所以g(x) f (sin(cos) 从而 g ( ) 2特殊值代入法：取 f (x) ax ，则 f (0) a ，且 g(x) f (sin(cos x) a sin(cos x) ，所以g(x) a cos(cos x) (sin x) ， g ( ) a cos(cos ) (sin ) a 。222例 197（2006）f (a 1 )设 f (x) 0 ，且导数存在，则limn ln n （）f (a)nf (a)C ln f (a)A 0B Df (a)答：D分析：主要考查了导数定义和复合函数的链导法则f (a 1 )ln f (a 1 )

18、ln f (a)因为limn ln n limn1nf (a)nn作者：huzm 第 8 页共 30 页f (a) ， ln f (x)xa f (a)所以正确选项为 D特殊值代入法：由于本题中的 f (x) 是满足一定性质的一类函数，所以利用特殊值代入法应该有效考虑到指数函数与对数函数互为反函数，取 f (x) ex ，则f (a 1 )a 11limn ln n limn ln e limn ln en limn 1 1 ，neaf (a)nnnnn这样就排除了选项 A，B，C故正确选项为 D例 198（2003）如果 f (x) 在 x0 处可导， f (x0 ) f (x0 x) f

19、(x0 ) ，则极限f (x0 ) df (x0 ) （limx0）xA等于 f (x0 )B等于1C等于0D不存在答：C分析：考查了微分的函数可微的概念和微分的定义及可导与可微的关系因为 f (x) 在 x0 处可导，所以可微，即f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) df (x0 ) o(x) ，f (x0 ) df (x0 ) lim o(x) 0 故正确选项为C所以 limx0 xxx0) x0 x ， df (x0 ) f (特殊值代入法：取 f (x) x ，则f (，所以f (x0 ) df (x0 ) 0 limx0 xf 2 (h) 2例 199（2008）若函数

20、f (x) 可导，且 f (0) f(0) 2 ，则lim=（）hh0C 2 2A 0B1D 4分析：本题是微分学题，考查了连续概念和导数定义f 2 (h) 2f (h) 2 lim( f (h) 2)limh0hf (h) hh0f (0) ( f (h) 2) limhh0 f (0)( f (0) 2 ) 2( 2 2) 4.作者：huzm 第 9 页共 30 页故正确选项为特殊值代入法：取 f (x) 2(x 1) ，则 f (0) f (0) 2 ，且f 2 (h) 2 2(h 1)2 2h2 2h limh0 2 limh0 4 limh0hhh故正确选项为例 1910.（2010

21、）设函数 g(x) 导数连续，其图像在原点与曲线 y ln(1 2x) 相切若函数 g (x) ,x 0,x 0B 0f (x) 在原点可导，则a （x a,）A 2C1D 2答：D2分析：因为 g(0) ln(1+0）=0 ， g(0) 2 ，1 0所以 a lim g(x) lim g (x) g(0) g(0) 2 xxx0 x0特殊值代入法：取 g(x) ln(1 2x) ，则 a lim f (x) lim ln(1 2x) 2 xx0 x0f 2 (x) 2 8 ，则 f (2) （例 1911（2012）若 f (x) 是非负连续函数，且limx2）x2 4A 4B 2C1D 2

22、分析（微积分导数部分：导数定义、可导必连续性质、连续定义）因为 f (x) 是非负连续函数，所以lim f (x) f (2) 0 x2又，所以 f (2) 2 ，且f 2 (x) 2f (x) f (2) f (x) 2limx2 2f (x) f (2) 2 lim8 x 22x2f (x) f (2) 4 ，即 f (2) 4 所以 limx2x 2答：Af 2 (x) 2f 2 (x) 2 8 ，所以可令 8 ，即特殊值代入法：因为limx2x 42x 42作者：huzm 第 10 页共 30 页f 2 (x) 2 2(x2 4) 2 所以2 f (x) f (x) 4 2x 又 f

23、(2) 2 ，所以 f (2) 4 例 1912设 f (x0 ) f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 , 则（）A x0 是 f (x) 的极大值点B x0 是 f (x) 的极大值点C x0 是 f (x) 的极小值点D x0 是 f (x) 的拐点答：D分析：本题主要考查了导数的定义、极限的保序性质、判断一个点是否是函数拐点的充分条件(x0 ) lim f (x) 0 ，根据极限保序性可知，当 x x 时，由 f (0 x xx00f (x) 0 ；当 x x0 时， f (x) 0 ，所以 x0 是 f (x) 的拐点由于当 x x0 时， f (x) 0 ，所以当 x x0 时

24、， f (x) f (x0 ) 0 类似地可知当 x x0时， f (x) f (x0 ) 0 故 f (x) 在 x0 两侧同号， x0 不是 f (x) 的极值点综上可知正确选项为D(0) 0 ，特殊值代入法：取 f (x) x3 ，则 f (x) 满足条件x 0 是f (x) x3 的拐点，但非极值点例 1913.（2011）若 f (x) 在 x0 处可导，且 f (x0 ) a，f (x0 ) b，而f (x) 在 x0 处不可导，则（）.A. a 0，b 0B. a 0，b 0C. a 0，b 0D. a 0，b 0答：B特殊值代入法：例如取 f (x) x ，则 f (x) 在

25、x0 0 处可导，但| f (x)| 在 x0 0 处不可导这时 f (0) 0 ， f (0) 1 0 例 1914（2005）lim f (x) 1，则对任意常数a 必有x若 f (x) 的二阶导数连续，且作者：huzm 第 11 页共 30 页lim f (x a) f (x) （x）D af (a)A aB1C 0答：A分析：主要考查了微分中值定理根据微分中值定理可知，存在介于 x 和 x a 之间的 使得f (x a) f (x) f ( )a lim f (x) 1，所以 lim f (x a) f (x) lim f ( )a a 由于xxx故正确选项为 A1特殊值代入法：取 f

26、 (x) 1 ，则2 xlim f (x) 1又 f (x，所以lim f (x a) f (x) lim x a x x a x x xa lim a a 。x a x x 或：取 f (x) 1 1 ，则 f (，所以xlim f (x a) f (x) lim x a ln(x a) x ln xxx lim a ln(1 a ) a 。xx例 1915（2005）f x 在0, a 内严格单调递增，且 f 0 0 ， f a a ，若 g x 是 f x设连续函数 y a 的反函数，则f x g x dx =()0f 2 a g 2 a f 2 a ABaaf xdx C 2D2g x

27、 dx00)(答：B分析：主要考查了反函数的概念、定积分的几何意义和定积分的换元积分法与分部积分法a解法 1：如图，根据定积分的几何意义，f (x)dx 表示a0f (a) a的是图中区域 D1 的面积， 0g( y)dy g(x)dx 表示的0图中区域 D2 的面积，二者之和正好是边长为 f (a) a 的正方形面积 f 2 (a) 故正确选项为 BD2D1作者：huzm 第 12 页共 30 页排除法：由于在本题中 f (x), g(x) 地位对称，所以选项（C）(D)都不成立取 f (x) x ，则g(x) x ，这时可知选项（A）也不成立，故正确选项为 B特殊值代入法：由于本题中的 f

28、 (x) 也只是满足一定条件的一类函数，利用特殊值带入法肯定能得到正确选项取 f (x) 1 x2 ，则 y f x 在0, a 内严格单调递增，且 f 0 0 ，af a a ，这时 g(x) ax ，所以12a f (x) g(2 ax dx a a a f 2 (a) 2223301x11例 1916（样题）如果函数 f (x) 在区间0,1 上连续，且f (x)dx a ，则f ( x )dx 001x111f ( x )dx 2f ( x )d x 2f (t)dt 2a 分析：0001特殊值代入法：取 f (x) a ，则f (x)dx a ，且01x1 2a x10 2af (0

29、 x1例 1917已知 f (x)dx 1 ，求f (cos22的值001f (x)d x 1 ，所以分析：因为0 20 x) f (u)du 1222 f (cos x)d(cosf (cos20011特殊值代入法：取 f (x) 1 ，则 f (x)dx 1 ，且020 2f (cos2 2 sin 2 100例 1918（2004）dx 1 ，则f (cos xdx （ C ）设 f (x) 为连续函数，且f (00C 1A 0B1*D 分析：因为0dx f (cos xdx f (sin x) f (u)du 0f (0000dx 1 ，所以f (cos xdx 1 且f (00作者：

30、huzm 第 13 页共 30 页1特殊值代入法：取 f (x) ，则f ( 1，且d20f (coscos xdx0 1 (2) 1.例 1919（2012）若函数 f (x) 的二阶导数连续，且满足 f (x) f (x) x ，则f (（）f () f ()A f () f ()B 2f () f ()C f () f ()D 2分析（微积分定积分不分：分部积分法、奇函数定积分的性质）由分部积分法，得 f (x) sin x f (f ( f (x) cos x f ( (因为 f (x) f (x) x ，且 0 ，所以 () f (即答：B特殊值代入法：取 f (x) x ，则 0

31、排除掉选项 C,Df (（三）特殊图形（位置）例 71（2012）若三角形 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，则表达式abc(cos A cos B cos C ) 的值为（）a2 b2 c2A 12abB 23cD 32C1分析（三角函数：余弦定理）:因为b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2cos A ， cos B ， cos C ，2bc2ac2ab作者：huzm 第 14 页共 30 页所以abc(cos A cos B cos C )a2 b2 c2abcabca2 b2 c2 1a2 b2 c22abc2答：A特殊值代入法：取a b c 1，

32、则abc(cos A cos B cos C ) 1 3 1 1 a2 b2 c2abc322例 72（2012）在直径为 D 的大圆内作两两外切的n 个小圆，小圆的圆心都在大圆的同一n直径上，两端的小圆又分别内切于大圆若第k 个小圆的周长为lk ，则lim lk （）n k 1B等于2DC等于 DA等于DD不存在分析（微积分极限部分：极限直观概念，平面几何：圆的周长）(k 1, 2, n) ，则其周长为设第k 个小圆的直径为 Dklk Dk ，所以nnnlk Dk Dk D k 1k 1k 1n故 lim lk lim D D n k 1n答：A特殊值代入法：设n 个小圆的直径相等，均为 D

33、 ，则它们的周长之和为n( D ) D nn例 73（2004）ABC 中， AB 5 ， AC 3 ，A x ，该三角形 BC 边上的中线长是 x的函数 y f (x) ，则当 x 在(0, ) 中变化时，函数 f (x) 取值的范围是（）A (0, 5)B (1,)C (3, 4)D (2, 5)答：BC特殊值代入法：如图，当A x 在(0, ) 内变化时，3f(x)由于 lim f (x) 4 ， lim f (x) 1 ，所以 BC 边上的中x0 xBA5线长 f (x) 的变化范围是(1, 4) 故正确选项为 B作者：huzm 第 15 页共 30 页CDABABCDABCD当 x

34、0 时，中线长 AD 4 ，当 x 时，中线长 AD 1 例 74.（2007）在ABC 中， A : B : C 3 :2 :7 , 如果从 AB 上的一点 D 做射线l ，交 AC 或 BC 边于点 E 使ADE 60 ，且l 分ABC 所成两部分的面积相等，那么（ B ）A l 过C 点（即 E 点与C 重合）B l 不过C 点而与 AC 相交C l 不过C 点而与 BC 相交D l 不存在分析：本题是几何题，考查平面三角形的基本性质由A : B : C 3 :2 :7 ,A 0 ,B 2 150 300 , C 7 150 1050 C过C 作CD , 使ADC 60 , 因此BCD

35、ADC B 300 , 从而有CD BD ;BADACD 1050 300 750 A , 可见,AD CD BD 由此可知， ADC 的面积大于ABC 的一半因此题设中射线l 不过C 点而与 AC 相交x2y2例 75.（2009）设双曲线 1 的左、右焦点分别是 F , F 若 P 是该双曲线右支上a2b212异于顶点的一点，则以线段 PF2 为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（）A外离B外切C相交D内切特殊值代入法：取a 3, b 4 ，则右焦点为(5, 0) 再取 P (5, 16) ，则以 PF 为直径的圆的23作者：huzm 第 16 页共 30 页 8 28289

36、17852 3 ，这与两圆的半径之和相圆心坐标为(5, ) ，两圆心的距离是3 3 933同，所以两圆外切例 76.（2010）正三角形 ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的A点， F , G 分别是 DE ， BC 的中点。已知 BD 8 ， CE 6 ，则FG DFEA. 13B. 37CBGC. 48D. 7答：B特殊值代入法：取三角形的边长为8 ，这时 D 与 A 重合，点 F 在边 AC 上由CF 7 ，CG 4 , C 60 ,得 GF 2 42 72 2 4 7 cos 60 37 即GF 37 特殊值代入法：取三角形边长为12 ，以 G 为原点， BC 为 x 轴

37、建立平面直角坐标系，则21 7D(2, 4 3) ， E(3, 3 3) ，所以 F ( ,3) ， GF 2 2 2 2例 77. （2011）如图，面积为9 平方厘米的正方形 EFGH 在面积为25 平方厘米的正方形BCABCD 所在平面上移动，始终保持 EF / AB ，记线段CF 的中GF点为M ， DH 的中点为 N ，则线段MN 的长度是（）厘米.EH AND752734732254A.B.C.D.y答：BC特殊值代入法：考虑的特殊位置，并建立的F坐标系由题知，正方形 EFGH 的边长为3 ，正方形 ABCD 的边长为5 所以点M 的坐标为( 5 , 4) ，点 N 的坐标为(4,

38、 0) 所2以xHN D(4,0)| MN | (4 5 )2 (0 4)2 73 22M(2.5,4)M作者：huzm 第 17 页共 30 页（四）线性代数中的特殊值代入法x01111x00 x11110 x例 51(2007) 行列式展开式中的常数项为（ D ）A 4B 2C1D 0分析（本题考查了行列式按行按列展开的性质）将题中的行列式按第一列展开，去掉系数是 x 的项，得x011110111 ，10 x01111x00 x11110 x10 x111x10 x11的常数项为1 1 0 ，1而 11 的常数项也为0 ，所以的常数项是0 0 x0故选（D）x01111x00 x11110

39、 x0011110000111100的常数项是它在 x 0 时值，即特殊值代入法：，由于此行列式的第一行与第二行相同，故其值为0 例 52（2005）已知 X 为 n 维列向量， X T 为 X 的转置， En 为矩阵，若G XX T ，则G2 等于（）B GA GC1D En分析： G2 TX T G ，即正确选项为 A作者：huzm 第 18 页共 30 页1 1 00 0 0000 0 ，所以G2 G特殊值代入法：取 X ，则G XX T 0 00 0 0 0 例 53（2009）已知 A (aij ) 为3 阶矩阵，AT A E（ AT 是 A 的转置矩阵，E 是矩阵）若a11 1 ，

40、 b (1, 0, 0)T ，则方程组 AX b 的解 X （）A (1,1, 0)TB (1, 0,1)TC (1, 1, 0)TD (1, 0, 0)T【分析】本题是线性代数中矩阵与方程组部分，考查了矩阵的运算（转置、乘法、逆矩阵）与方程组解的概念因为 AT A E ，所以 A1 AT ，且 A 的行向量与列向量均是向量，又 a11 1 ，所 100以 A 0 aa23 22 0a32a33 11 100由 Ax b 得 x A1b AT b 0 0 0 aa32 22 0 0 a23a033 正确选项为 D 1 10 1 100 010特殊值代入法：取 A 01 0 ，则 AT A E

41、，且 x AT b 00 0 0 01 01 0 0 0 例 54. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB O ，则 A 和 B 的秩（）B都小于nA必有一个等于零C一个小于n ，一个等于nD都等于n分析：本题主要考查了矩阵秩的性质因为 AB O ，所以 r( A) r(B) n ，又因为 A, B 都是 n 阶非零矩阵，所以 r( A) 1 ，r(B) 1，从而可知正确选项为 B特殊值代入法：因为 A, B 都是n 阶非零矩阵，所以r( A) 1， r(B) 1，从而排除了选项 A；r( A) n ，则矩阵 A 可逆，从而由 AB O 便得 B O ，这与条件又若设，这样可以排除选项

42、 C，D作者：huzm 第 19 页共 30 页 10 00 00特殊值代入法：取 A 01 0 ， B 00 0 00 01 00 11b ca1 例 55.设 A a 。若方程组 Ax 0 存在非零解，则a, b, c 满足的条件是c bcab B a b 或b c 或a cD a b 或b c 或 a cA a b cC a, b, c 互不相等答：B1a bc1b ca1c ab100c a b(a c)分析： | A |ab abc c(a b)1a bc01c0 (a b)(a c)1 (a b)(a c)(c b) 。b方程组 Ax 0 存在非零解等价于| A | 0 ，即等价于

43、(a b)(a c)(c b) 0 。特殊值代入法：取a b 0 ， c 0 ，就能找到正确选项！（五）几个特殊题型0, 0,例 31（2008）设 f (则有（）A f ( f (x) ( f (x)2B f ( f (x) f (x)C f ( f (x) f (x)D f ( f (x) f (x)分析：本题是简单函数题，考查了函数求值问题0, 0,f (x) 0 ，所以因为 f (f (x) 0, f ( f (x) f (x),f (x) 故正确选项为 B1 f (x),f (x) 0特殊值代入法：取 x 2 ，则(2) f (2) 2 ，这时选项 A, C,D 都不成立故正确选项为

44、 B例 32设S (1)2 4x 3 ，则 S 等于（）A x4B x4 1C (x 2)2D x4 4作者：huzm 第 20 页共 30 页答：A特殊值代入法：取 x 0 ，则 S 0 故选项B,C,D 错误例 33（2004）如下不等式成立的是（ B ）A在(3, 0) 区间上， ln 3 x ln(3 x)B在(3, 0) 区间上， ln 3 x ln(3 x)C在(0, ) 区间上， ln 3 x ln(3 x)D在0, ) 区间上， ln 3 x ln(3 x)ln 3 ，则 f (3) ，又 f (0) 0 ，所分析：令 f (以在(3, 0) 区间上，有 f (x) f (0)

45、 0 ，即ln 3 x ln(3 x) 特殊值代入法：取 x 1 可知选项 A 不对；取 x 1 可知选项 C 不对；取 x 0 可知选项 D 不对y Valuex Value数形：如图二、排除法例 111（2003）甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么A甲乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样D甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样答：C分析： 设甲的速度为 v1(t) ， 乙的速度为 v2 (t) ， 他们跑完百米用的时间都是 T ， 则TTTv (t)dt 100 ， v (t)dt 100 ，故 v(t) v (t)dt 0 ，因此

46、被积函数v (t) v (t) 至少在121212000一点的值为零故正确选项为C4222462468作者：huzm 第 21 页共 30 页排除法：因为甲乙两人百米赛跑成绩一样说明他们用的时间相同，也就是他们的平均速度相等看过百米赛跑的人很容易会将选项A，B，D 排除掉，剩下的选项 C 就是正确选项例 112（2003）A, B, C, D, E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 A 队已赛过4 场，B 队已赛过3 场，C队已赛过2 场， D 队已赛过1 场，则此时 E 队已赛过A1 场B 2 场C 3 场D 4 场答：B排除法：因为所有球队的比赛场次之和应是2 的倍数，所以排除掉选项 A,

47、C。又因为D 队只赛了1 场，所以排除掉选项 D。例 113.（2007）有两个独立的装置 在紧急情况发生时各装置发出信号的概率分别是0.95 和0.92 则紧急情况发生时至少有一个器发出信号的概率是（ D ）A 0.920B 0.935C 0.950D 0.996排除法：两个器应比一个保险。故要求的概率应大于0.95 ，所以只有 D 选项可选！例 114（2009）等腰ABC 中， AB AC 3 ，底边 BC 3 ，则顶角A 的取值范围是（） 22A (0, ) 4B ( , )4 3C ( ,)3 3D (,) 3【分析】本题是平面几何与三角函数的题，考查了特殊三角形的概念与特殊角的三角

48、函数值在等腰三角形 ABC 中，当 AB AC 3 ， BC 3 时， sin A 3 3 ， 所以12223A 2 从而当 BC 3 时，角 A 的取值范围应是( 2 ,) 正确选项为 D3排除法：根据题意3角 A 的取值可以接近 ，而选项 A，B，C 都做不到这一点若 x 5 3 ，则代数式 2)(x 3) 的值为（例 115.（2011）.2A. 1C. 1D. 2B. 0答：A分析：本题主要考查了代数运算及两数平方差公式作者：huzm 第 22 页共 30 页5 3)( 5 1)( 5 1)( 5 3) 2)(x 3) (24 (5 9)(5 1) 116 2)(x 3) 0 排除法：

49、因为 x 0 ， x 1 0 ，所以例 116（2005）三个不相同的非0 实数 a, b, c 成等差数列，又a, c,b 恰成等比数列，则 a 等于（ A ）bC 4D 2A 4B 2排除法：根据条件可知c2 ab ，从而 a 0 。b又 2b a c ，即2 a c ，且 c 0 ，所以 a 2 ，故 a 4 ，即正确选项为Abbbbb2x 4,x 3,3 x 3, 的图像恰x 3例 117（2009）在直角坐标系中，若直线 y kx 与函数 y 2,2x 8,有3 个不同的交点则k 的取值范围是（）22A (, 0D2, )B (0, 3C ( , 2) 3【分析】本题是平面几何题，考

50、查了平面直线l2的基本概念及简置关系l1 23如图，直线 l 的斜率 k，直线 l2 的斜率113k 2 当直线 y kx 介于l 与l 之间，即 2 k 222123时，直线与所给图像有三个不同交点正确选项为 C2排除法：取k 0, 2 将选项 A，B，D 排除3y=x例 118过原点且与圆 x2 y2 2x 0 截得的弦长为 3 的一条直线方程是 D y=-x(A) y x(B) y 3x作者：huzm 第 23 页共 30 页3 x3(C) y x(D) y 注：选项验证与排除法例 1191设 a 0, b 0 ，且a2 b2 7ab ，那么ln | a b | B 3(A) 1 (ln

51、 a ln b) 2(C) 1 (ln a ln b) 3排除法：直接排除A,C(B) 1 ln(ab) 2(D) 1 ln(ab) 3例 1110（2007）lim f (x) 4 ，则必定x1( C )A f (1) 4C在 x 1 某邻域(x 1) ， f (x) 2B f (x) 在 x 1 处无定义D在 x 1 某邻域(x 1) ， f (x) 42(x2 1)排除法：特殊值代入法与排除法取 f (x) 排除 A，取 f (x) 4 排除 B,Dx 1当 x 3 时，下述选项中为无穷小量的是（例 1111.(2011)）.1e x3B. ln(3 x)A.x 31C. sinD.x

52、3x2 9答：A分析：本题主要考查了无穷小的概念和简单函数的性质1因为 lim e x3 0 ，所以正确选项为 Ax3x 31 1 ， lim sin1排除法：因为 lim ln(3 x) ， lim lim不存在，所以正x3 x2 9x3 x 36x3x 3x3确选项只能为 A三、选项验证法注 1：对于方程（组）求解问题，可以通过验证法找出正确选项；注 2：对于不定积分问题，可以通过验证法找出正确选项；注 3：对于函数等式或函数不等式问题，可以通过验证法找出正确选项；注 4：已知特征值求特征向量的选择题，可以通过验证法找出正确选项作者：huzm 第 24 页共 30 页例 91（2007）方

53、程 x y 2 | x 2 y 0 的解为（D）x 0 x 3x 2x 4A y 2B y 1C y 3D y 2分析：考查绝对值，根式的概念及简单代数方程求解x y 2 0由 x y 2 | x 2 y 0 , 得等价联立方程| x 2 y 0 x y 2 0 x 4即， x 2 y 0, 求解得： y 2选项验证法：选项验证法可能是本题最直接的解法例 92（2004）某校有若干住校，若每间房住4 人，则20 人未住下，若每间住8 人，则仅有间未住满，那么该校有宿舍的房间数为（）A 4B 5C 6D 7答：C选项验证法：若只有 4 间宿舍，则人数是36 人，每间8 人不可能住下，故选项A错误

54、；若只有5 间宿舍，则人数是40 人，每间8 人恰好住满，说明选项 B 错误；当有6 间宿舍时，人数是44 人，这时每间8 人5 间住不下、6 间住不满，符合题意故正确选项为 C例 93如果多项式 f (x) x3 px2 gx 6 有一次因式 x 1和 x 3 ，那么它的另外一个一2次因式是()A x 2B x 2C x 4D x 4答：C选项验证法：看常数！例 94已知抛物线 y ax2 bx c 关于直线 x 1 0 对称，且过点(0, 0) 和(1, 3) ，那么该抛物线的方程是（）A y x(x 2)B y 3x(2 x)C y x(2x 1)D y 3x(2x 1)答 A选项验证法

55、：看对称轴！作者：huzm 第 25 页共 30 页例 95如果6, a, c 和36, a2, c2 都是等差数列，那么c 的取值是（）（A） 6（D） 2 或6（B） 2（C） 2 或6答：D分析：本题主要考查了等差数列的概念与中项公式6 c 2a,因为6, a, c 和36, a , c 都是等差数列，所以222236 c 2a .6 c 2a,当 a 0 时， c 6 ；当 a 0 时，由6 c a解得c 2 故正确选项为D选项验证法：本题本质上是一道方程组求解问题，故选项验证法有效。例 96某小组共有4 张，可能的面值为1 元，10 元，100 元将它们都换成5 角的硬币，刚好可以平

56、分给7 人，设总币值为 x 元，则 x （）(A) (100,110)(B) (110,120)(C) (120,130)(D) (210, 220)答：B选项验证法：例如，若 x (100,110) ，则只可能是 x 104 。又2x 208 不能被7 整除，所以排除掉选项 A。例 97 e2A ex () C （ C 为常数）B 1 ex2 22C 2ex2D (1 2x2 )ex答：B分析：本题考查了简单代数变形方法与不定积分的凑微分法2因为e选项验证法：由于e所以选项 B 正确C ，所以正确选项为 B2 1，所以排除掉选项 A；由于e2 ln x ， 2例 98（2005）1 31 设

57、 A 201 ，则 A 的对应于特征值2 的一个特征向量是（） 12 1作者：huzm 第 26 页共 30 页 1 1 0 1 A 0 B 1C 1 D 1 1 0 1 0 选项验证法：11 31 31 因为 ， ， 2 1 1 2 0 0 31 011 0 2 0 21 1 1 21 ，所以选项 A，B，C 都不正确故正确选项为 D 12 1 1注：因为选择题的目的只是找到正确选项，在做题的过程中只要得到了够用的信息就可以了， 31 011 10 42 14没必要把所有的步骤都写出例如本题利用 21 01 1 就足以找1 12 101到正确选项例 99（2008）f ( x)时，函数 f

58、(x) 可导，有非负的反函数 g(x) ，且恒等式g(t)dt x 1 成立，2当x 01则函数 f (x) =（）C x2 1D x2A 2x 1B 2x 1分析：本题是积分学题，考查了变限定积分求导、反函数概念和定积分性质f ( x)g(t)dt x 1 ， 得 f (x)g( f (x) 2x ， 又 g( f (x) x ， 所以 f (x) 2 ， 即2由1f (x) 2x C f ( x)f (1)g(t)dt x 1 知g (t)dt 1 1 0 ， 即 f (1) 1 ， 所 以22C 1又 由， 故11f (x) 2x 1所以正确选项为选项验证法：若 f (x) 2x 1 ，则 g(x) 1 (x 1) ，所以21212x1f ( x)2 x 1g(t)dt (t 1)dt (t 1)42 x2 x2 1 ；111若 f (x) 2x 1，则 g(x) 1 (x 1) ，所以21212 x1f ( x)2 x 1g(t)dt (t 1)dt (t 1)42 x2 1 111故正确选项为 B作者：huzm 第 27 页共 30 页四、数形例 101 若方程ln x 1 2ax 0 有两个不同实根，则实数a 的取值范围是A (,