几类不同增长的函数模型3

1、3.2函数模型及其应用1几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)在x(2,4)时，log2x2xx2，在x(0,2)(4，+)时，log2xx24时，log2xx21)，y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，y=ax (a

2、1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，使当xx0时，就有logaxxn2，因而yex增长速度最快答案D2几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)kxb (k、b为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x)eq f(k,x)b (k、b为常数，k0)；(3)二次函数模型：f(x)ax2bxc (a、b、c为常数，a0)；注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见(4)指数函数模型：f(x)abxc (a、b、c为常数，a0，b0，b1)；(5)对数函数模

3、型：f(x)mlogaxn (m、n、a为常数，a0，a1)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色(6)幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n为常数，a0，n1)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛3通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：(1)收集数据；(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；(4)选择其中的几组数据求出函数模型；(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步

4、骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步；(6)用求得的函数模型去解决实际问题 题型一一次函数模型的应用一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润解本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析设每天从报社买进x (250 x400，xN)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进30 x0.206x卖出20 x

5、102500.306x750退回10(x250)0.080.8x200设每天从报社买进x份报纸时，每月所获利润为y元，则y(6x750)(0.8x200)6x0.8x550 (250 x400，xN)y0.8x550在250,400上是增函数，当x400时，y取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元点评一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理 题型二二次函数模型的应用渔场中鱼群的最大养殖量为m (m0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y和实际

6、养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围解(1)根据题意知空闲率是eq f(mx,m)，得ykxeq f(mx,m) (0 xm)(2)ykxeq f(mx,m)eq f(k,m)x2kxeq f(k,m)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(m,2)2eq f(mk,4)，当xeq f(m,2)时，ymaxeq f(mk,4).(3)根据实际意义：实际养殖量x与年增长量y的和小于最大养殖量m，即0 xym，0

7、eq f(m,2)eq f(mk,4)m，解之得：2k0，0k2.点评解题的关键在于对“空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函数的配方是比较有效的解题手段 题型三分段函数模型的应用某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关

8、系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解(1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为Pk1tm，由图象得eq blcrc (avs4alco1(2k10m,6k120m)，解得eq blcrc (avs4alco1(k1f(1,5),m2)，即Peq f(1,5)t2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为Pk2tn，由图象得eq blcrc (avs4alco1(6k22

9、0n,5k230n)，解得eq blcrc (avs4alco1(k2f(1,10),n8)，即Peq f(1,10)t8.综上知Peq blcrc (avs4alco1(f(1,5)t2，0t20,f(1,10)t8， 20t30) (tN)(2)由表知，日交易量Q与时间t满足一次函数关系式，设Qatb (a、b为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得eq blcrc (avs4alco1(4ab36,10ab30)，解得eq blcrc (avs4alco1(a1,b40).所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q40t(0t30且tN)(3)由(1)(2)可

10、得yeq blcrc (avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)t2)(40t)，0t20,blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)t8)(40t)， 20t30) (tN)即yeq blcrc (avs4alco1(f(1,5)t26t80，0t20,f(1,10)t212t320， 20t30) (tN)当0t120，第15天日交易额最大，最大值为125万元点评分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数的特点决定的由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材题型四函数建模

11、个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系y=-a(x-

12、4)2+2 (a0)ybx把x1，y0.65代入式，得065a(14)22，解得a0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系式可近似地用y0.15(x4)22表示；把x4，y1代入式，得b0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系式可近似地用y0.25x表示设下个月投入A、B两种商品的资金分别是xA万元、xB万元，总利润为W万元，得eq blcrc (avs4alco1(xAxB12,WyAyB0.15(xA4)220.25xB)，即Weq f(3,20)eq blc(rc)(avs4alco1(xAf(19,6)2eq f(3,20)eq blc(

13、rc)(avs4alco1(f(19,6)22.6.当xAeq f(19,6)3.2时，W取得最大值，约为4.1万元，此时，xBeq f(53,6)8.8.点评本题设计新颖，要求能对数据进行处理，在此基础上选用恰当的模型进行拟合，并对所得到的模型进行比较，数据分析处理是在信息社会中所必须具备的一项重要的能力某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2，L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606B45.6C46.8 D46.806错解设甲地销售x辆，则乙地销售15x辆总利润LL1L25.06x

14、0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15eq blc(rc)(avs4alco1(x10.2)245.606当x10.2时，获得最大利润45.606万元错因分析上面解答中x10.2不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛物线取与x10.2接近的整数才符合题意正解设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆，则总利润LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)245.606.根据二次函数图象和xN*，当x10时，获得最大利润L0.151023.06103045.6万元正确答案B本节考查的重点是用函数来解决实际问题，解答这类问题的

15、关键是学会阅读、理清线索、仔细观察图表，并熟悉各种函数模型，能结合所学数学知识、思想方法解决问题(2007湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=()(a为常数)如图所示根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室解析(1)设y=kt (k0)，由图象

16、知y=kt过点(0.1,1)，则1=k0.1，k=10，y=10t (0t0.1)；由y=过点(0.1,1)得1=，a=0.1，y= (t0.1)(2)由0.25=，得t0.6，故至少需经过0.6小时答案(1) y=(2)0.61某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米(b1 000，得x，故至少要售出234张门票，能使游乐场每天的盈利额超过1 000元7.自2007年以来，猪肉价格起伏不定，为了抑制猪肉价格上涨的势头，促进生猪市场的稳定，某地方政府决定对生猪养殖户在修建猪舍时给予补助某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍，由于

17、地形限制，猪舍的宽x不少于5米，不多于a米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米可得到补助5元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米可得到补助8元，猪舍外面的四周墙壁每米可得到补助10元，中间四条隔墙每米可得到补助5元问：当猪舍的宽x定为多少时，该养殖户能从政府得到最多的补助，最多补助是多少？解设该养殖户能从政府手中得到的补助为y元，猪舍的长为eq f(200,x)米，y20052008eq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(200,x)104x540eq blc(rc)(avs4alco1(xf(100,x)2 600(5xa)易得函数f(x)xeq f(100,x)在5,10)

18、上单调递减，在10，)上单调递增，当5a20，猪舍的宽定为a米，该养殖户能从政府得到最多的补助是eq blcrc(avs4alco1(40blc(rc)(avs4alco1(af(100,a)2 600)元32.1几类不同增长的函数模型 学习目标1结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性2能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用 自学导引1三种函数模型的性质eq o(sup7(

19、函数),sdo5(性质)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同2.指数函数yax(a1)，对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)增长速度的比较(1)对于指数函数yax和幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于yax的增长快于yxn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，

20、但由于ylogax的增长慢于yxn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn. 一、一次函数模型例1为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜解(1)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1eq f(1,5)，k2eq f(1,2).y1eq f(1,5)x29，y2eq f(1,2)

21、x.(2)令y1y2，即eq f(1,5)x29eq f(1,2)x，则x96eq f(2,3).当x96eq f(2,3)时，y1y2，两种卡收费一致；当xy2，即如意卡便宜；当x96eq f(2,3)时，y1y2，即便民卡便宜点评由图象给出的函数关系的应用问题，要先确定函数类型，然后，通过待定系数法列方程求解变式迁移1商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款顾客只能任选其一某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关

22、系式，并讨论两种办法哪一种更省钱解由优惠办法(1)可得函数关系式为y1204(x4)55x60 (x4)；由优惠办法(2)得：y24200.92x50.924.6x73.6 (x4)当购买34只茶杯时，两办法付款相同；当4x34时，y134时，y1y2，优惠办法(2)省钱 二、指数函数模型例2某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)分析每次过滤杂质含量降为原来的eq f(2,3)，过滤n次后杂质含量为eq f(2,1

23、00)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)n，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型解依题意，得eq f(2,100)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)neq f(1,1 000)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)neq f(1,20).则n(lg2lg3)(1lg2)，故neq f(1lg2,lg3lg2)7.4，考虑到nN，即至少要过滤8次才能达到市场要求点评一般地，形如yax (a0且a1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数ybaxk作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型以指数函数、

24、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型变式迁移22004年全国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？解设大约经过n年，我国人口由2004年的13亿增加到18亿，则13(11%)n18.1.01neq f(18,13)，即nlog1.01eq f(18,13)eq f(lgf(18,13),lg1.01)eq f(lg18lg13,lg1.

25、01)eq f(1.255 31.113 9,0.004 3)32.883 733(年)即从2004年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿 三、对数函数模型的应用例3燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2eq f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析由题目可获取以下主要信息：已知飞行速度是耗氧量的函数；第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.解答本题的关键是给变量赋值解(1)由题知，当燕子静止时，它的

26、速度v0，代入题给公式可得：05log2eq f(Q,10)，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题给公式得：v5log2eq f(80,10)5log2815 (m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.点评直接以对数函数为模型的应用问题不是很多此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解变式迁移3在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系v2 000lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m).当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火

27、箭的最大速度可达12 km/s?解由12 0002 000lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)，即6lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)，1eq f(M,m)e6，利用计算器算得eq f(M,m)402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.1根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型2常见的函数模型及增长特点(1)直线ykxb (k0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数ylogax (a1)模型，其增长缓慢；(3)指数yax (a

28、1)模型，其增长迅速一、选择题1在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()答案D2能使不等式log2 xx2400).其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)分析由题目可获取以下主要信息：总成本固定成本100 x；收益函数为一分段函数解答本题可由已知总收益总成本利润，总利润总收益总成本由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题解(1)设每月产量为x台，则总成本为20

29、000100 x，从而f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x2300 x20 000 (0 x400),60 000100 x (x400).(2)当0 x400时，f(x)eq f(1,2)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100 x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元点评在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润总收益总成本，又如“销售额销售价格销售数量”等像几何中

30、的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系变式迁移1通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强), x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)eq blcrc (avs4alco1(0.1x22.6x43(0 x10),59 (10 x16),3x107 (16x30)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强

31、？能维持多长时间？(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？解(1)当0 x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9，故f(x)递增，最大值为f(10)0.1(3)259.959；当16x30时，f(x)递减，f(x)31610759.因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.(2)f(5)0.1(513)259.959.96.453.5，f(20)3201074753.5f(5)，因此开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些 二、已知图象或表格的应用问题例2甲、乙两人连续6年对某县农

32、村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由分析首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数法求出函数解析式，下面的问题就容易解决了解(1)由图可知，直线y=kx+b，经过(1,1)和(6,2)，可求得k=0.2，b=0.8.y甲=0.2(x+4)同理可得

33、y=4.第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为261.2=31.2(万只)(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只(3)设第x年规模最大，即求y甲y乙=0.2(x+4)=-0.8x2+3.6x+27.2的最大值当x=22时，(y甲y乙)max=-0.84+3.62+27.2=31.2.即第二年规模最大，为31.2万只点评本题的信息大都在已知的图上，所以要求要有一定的读图能力，能够由图象设出函数解析式，用待定系数法求出解析式其次，要会使用所求得的解析式解决新问题变式迁移2医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白

34、鼠体内进行实验，经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表天数病毒细胞个数11223448516632已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(答案精确到天，已知：lg2=0.301 0)解(1)由题意知，病毒细胞个数关于天数t的函数为y=2t-1.则由2t1108两边取常用对数得(t1)lg28，得t27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病

35、毒细胞个数为2262%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为2262%2x.由题意，得2262%2x108，两边取常用对数，得26lg2lg22xlg28，得x6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物 三、自建函数模型的应用问题例3某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的eq f(3,4)，设该企业裁员x人后纯收益为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140a

36、280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解(1)由题意可得y(ax)(10.01x)0.4xeq f(1,100)x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,100)f(140,100)xa.axeq f(3,4)axeq f(a,4)，x的取值范围是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(a,4)中的自然数(2)由配方可得yeq f(1,100)eq blcrc(avs4alco1(xblc(rc)(avs4alco1(f(a,2)70)2eq f(1,100)eq blc(rc)(avs4alc

37、o1(f(a,2)70)2a，且140a280，eq f(a,2)70eq blc(rc(avs4alco1(0，f(a,4).当a为偶数时，xeq f(a,2)70，y取最大值；当a为奇数时，xeq f(a1,2)70或xeq f(a1,2)70，y取最大值尽可能少裁人，xeq f(a1,2)70.点评注意实际问题中自变量的取值范围，不但要使函数式有意义，且还不能使实际问题失去意义变式迁移3某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置现将工人分成两组同时开始加工，每组分

38、别加工一种装置设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完成H型装置所需时间为h(x) (单位：小时，可不为整数)(1)写出g(x)，h(x)的解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务所用的时间最少？解(1)由题意知，需加工G型装置4 000个，加工H型装置3 000个，所用工人分别为x人和(216x)人g(x)eq f(4 000,6x)，h(x)eq f(3 000,(216x)3).即g(x)eq f(2 000,3x)，h(x)eq f(1 000,216x)

39、 (0 x216，xN*)(2)g(x)h(x)eq f(2 000,3x)eq f(1 000,216x)eq f(1 000(4325x),3x(216x).0 x0.当00，g(x)h(x)0；g(x)h(x)；当87x216时，4325x0，g(x)h(x)0，g(x)h(x)f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(2 000,3x)(0 x86，xN*)，,f(1 000,216x) (87x216，xN*).)(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值当0 x86时，f(x)递减，f(x)f(86)eq f(2 000,386)eq f(1 000,129)，f(

40、x)minf(86)，此时216x130.当87x216时，f(x)递增，f(x)f(87)eq f(1 000,21687)eq f(1 000,129)，f(x)minf(87)，此时216x129，f(x)minf(86)f(87)eq f(1 000,129). 四、数据拟合型函数的应用题例4某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好为了推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：ya

41、xb，yax2bxc，yaxeq f(1,2)b，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？分析由题目可获取以下主要信息：已知函数模型；选择最优模型解答本题可先确定解析式，再通过数据拟合，选择最优模型本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型解由题知A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)设模拟函数为yaxb，将B、C两点的坐标代入函数式，有eq blcrc (avs4alco1(3ab1.3,2ab1.2)，解得eq blcrc (avs4alco1(a0.1,b1).所以得y0.1x1.此法的结论是：在不增

42、加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的设yax2bxc，将A，B，C三点代入，有eq blcrc (avs4alco1(abc1,4a2bc1.2,9a3bc1.3)，解得eq blcrc (avs4alco1(a0.05,b0.35,c0.7).所以y0.05x20.35x0.7.由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴x3.5)，不合实际设yaeq r(x)b，将A，B两点的坐标代入，有eq blcrc (avs4alco1(ab1,r(2)ab1.2)，解得eq blcrc

43、 (avs4alco1(a0.48,b0.52)，所以y0.48eq r(x)0.52.把x3和4代入，分别得到y1.35和1.48，与实际产量差距较大设yabxc，将A，B，C三点的坐标代入，得eq blcrc (avs4alco1(abc1,ab2c1.2,ab3c1.3)，解得eq blcrc (avs4alco1(a0.8,b0.5,c1.4)，所以y0.8(0.5)x1.4，把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理

44、效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这样的趋势因此，选用y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际点评对于数据拟合型函数应用问题，要先确定函数解析式，再利用数据对比，确定最优模型，多数情况下要采用数形结合法变式迁移4某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(如下表)：x30404550y6030150(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y=f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根

45、据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解(1)根据题干中所给表作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)大致落在同一条直线上，设它们共线于直线l：y=kx+b，y=-3x+150 (xN)，经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y=-3x+150 (xN)(2)依题意有P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300当x=40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润1解答应用题的基本步骤：(1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根

46、据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；(3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案2在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：一、选择题1.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V=f(h)的图象大致是()答案D解析考察相同的h内V的大小比较2今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是()AVlog2t B

47、Vlogeq f(1,2)tCVeq f(t21,2) DV2t2答案C3计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低eq f(1,3)，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为()A2 400元 B900元 C300元 D3 600元答案A4某城市的出租汽车价格统一，凡上车起步价均为6元，行程不超过2 km时均按此价收费，行程超过2 km，超过部分按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽然没有行驶，但仍按6分钟折算1 km计算陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于()A57 km B911 kmC79 km D35 km答案A5某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡()A3人 B4人 C5人 D6人答案B解析设最多用t分钟，则水箱内水量y