卡方分布概念及表和查表方法

1、学习资料收集于网络,仅供参考卡方分布概念及表和查表方法如 n 个相互独立的随机变量 . ,. ,., n,均听从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布）,就这 n 个听从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）；中文名 卡方分布 外文名 chi-square distribution 别 称 西格玛分布 提出者 Friedrich Robert Helmert 提出时间 1863 应用学科 统计学目录1 简介2 定义3 性质4 概率表简介分布在数理统计中具有重要意义；分布是由阿贝 Abbe 于 1863 年第

2、一提出的,后来由海尔墨特Hermert 和现代统计学的奠基人之一的卡皮尔逊 C K Pearson 分别于1875 年和 1900 年推导出来,是统计学中的一个特别有用的闻名分布；定义如 n 个相互独立的随机变量 分布于标准正态分布）,就这. 、. 、 、 n ,均听从标准正态分布（也称独立同 n 个听从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为分布（ chi-square distribution）,学习资料学习资料收集于网络,仅供参考卡方分布其中参数 称为自由度,正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个 分布；记为 或者（其中,为限制条

3、件数）；卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布,当自由度很大时,分布近似为正态分布；对于任意正整数x, 自由度为的卡方分布 是一个随机变量X 的机率分布；性质1 分布在第一象限内,卡方值都是正值,呈正偏态（右偏态）,随着参数的增大,分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是 1；2 分布的均值与方差可以看出,随着自由度的增大,分布向正无穷方向延长（由于均值越来越大）,分布曲线也越来越低阔（由于方差越来越大）；3）不同的自由度打算不同的卡方分布,自由度越小,分布越偏斜；4 如相互独立,就：听从分布,自由度为学习资料学习资料收集于网络,仅供参考；5 分布的均数为自由度,记为E = ； =

4、 ；6 分布的方差为2 倍的自由度 ,记为D 概率表分布不象正态分布那样将全部正态分布的查表都转化为 标准正态分布 去查,在分布中得对每个分布编制相应的概率值,这通过分布表中列出不同的自由度来表示,卡方分布临界值表在 分布表中仍需要如标准正态分布表中给出不同 P 值一样,列出概率值,只不过这里的概率值是 值以上 分布曲线以下的概率；由于 分布概率表中要列出许多 分布的概率值, 所以 分布中所给出的 P 值就不象标准正态分布中那样给出了 400 个不同的 P 值,而只给出了有代表性的 13 个值,因此 分布概率表的精度就更差,不过给出了常用的几个值,足够在实际中使用了；查分布概率表时,按自由度及

5、相应的概率去找到对应的值；如上图所示的单侧概率 0.057=14.1 的查表方法就是,在第一列找到自由度 7 这一行,在第一行中找到概率 0.05 这一列,行列的交叉处即是 14.1 ；学习资料学习资料收集于网络,仅供参考表中所给值直接只能查单侧概率值,可以变化一下来查双侧概率值；例如, 要在自由度为 7 的卡方分布中,得到双侧概率为0.05 所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在上端和下端各划出概率相等的一部分,两概率之和为给定的概率值,这里是 0.05 ,因此实际上上端点以上的概率为 0.05/2=0.025 ,用概率 0.025 查表得上端点的值为 16,记为 0.05/27=

6、16 ；下端点以下的概率也为 0.025 ,因此可以用 0.975 查得下端点为 1.69 ,记为 1-0.05/27=1.69；当然也可以按自由度及 值去查对应的概率值,不过这往往只能得到一个大致的结果,由于 分布概率表的精度有限,只给了 13 个不同的概率值进行查表；例如,要在自由度为 18 的 分布查找 =30 对应的概率, 就先在第一列找到自由度 18 ,然后看这一行可以发觉与 30 接近的有 28.9 与 31.5 ,它们所在的列是 0.05 与 0.025 ,所以要查的概率值应于介于 0.05 与 0.025 之间,当然这是单侧概率值,它们的双侧概率值界于 0.1 与 0.05之间

7、；假如要更精确一些可以采纳插值的方法得到,这在正态分布的查表中有介绍；为什么从正态总体中抽取出的样本的方差听从 分布？在抽样分布理论一节里讲到,从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量 1, 2, , n的一次取值,将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得i=1, ,n,明显每个都是听从标准正态分布的,因此根据 分布的定义, 应当听从参数为 的 分布；假如将总体中的方差 2 用样本方差 s 2 代替,它是否也听从 分布呢？理论上可以证明,它是听从 分布的,但是参数 不是 n 而是 n-1 了,究其缘由在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和；

8、我们经常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度 ”,确定一个式子自由度的方法是：如式子包含有 n 个变量,其中 k 个被限制的样本统计量,就这个表达式的自由度为 n-k ；比如中包含 1, 2, , n这 n 个变量,其中 1- n-1 相互独立, n为其余变量的平均值,因此自由度为 n-1 ；附卡方表n/P0.9950.990.9750.950.900.750.500.250.100.050.0250.010.00510.020.100.451.322.713.845.026.637.8820.010.020.020.100.210.581.392.774.615.997.389.

9、2110.6030.070.110.220.350.581.212.374.116.257.819.3511.3412.8440.210.300.480.711.061.923.365.397.789.4911.1413.2814.86学习资料学习资料收集于网络,仅供参考50.410.550.831.151.612.674.356.639.2411.0712.8315.0916.7560.680.871.241.642.203.455.357.8410.6412.5914.4516.8118.5570.991.241.692.172.834.256.359.0412.0214.0716.011

10、8.4820.2881.341.652.182.733.405.077.3410.2213.3615.5117.5320.0921.9691.732.092.703.334.175.908.3411.3914.6816.9219.0221.6723.59102.162.563.253.944.876.749.3412.5515.9918.3120.4823.2125.19112.603.053.824.575.587.5810.3413.7017.2819.6821.9224.7226.76123.073.574.405.236.308.4411.3414.8518.5521.0323.342

11、6.2228.30133.574.115.015.897.049.3012.3415.9819.8122.3624.7427.6929.82144.074.665.636.577.7910.1713.3417.1221.0623.6826.1229.1431.32154.605.236.277.268.5511.0414.3418.2522.3125.0027.4930.5832.80165.145.816.917.969.3111.9115.3419.3723.5426.3028.8532.0034.27175.706.417.568.6710.0912.7916.3420.4924.772

12、7.5930.1933.4135.72186.267.018.239.3910.8613.6817.3421.6025.9928.8731.5334.8137.16196.847.638.9110.1211.6514.5618.3422.7227.2030.1432.8536.1938.58207.438.269.5910.8512.4415.4519.3423.8328.4131.4134.1737.5740.00218.038.9010.2811.5913.2416.3420.3424.9329.6232.6735.4838.9341.40228.649.5410.9812.3414.04

13、17.2421.3426.0430.8133.9236.7840.2942.80239.2610.2011.6913.0914.8518.1422.3427.1432.0135.1738.0841.6444.18249.8910.8612.4013.8515.6619.0423.3428.2433.2036.4239.3642.9845.562510.5211.5213.1214.6116.4719.9424.3429.3434.3837.6540.6544.3146.932611.1612.2013.8415.3817.2920.8425.3430.4335.5638.8941.9245.6

14、448.292711.8112.8814.5716.1518.1121.7526.3431.5336.7440.1143.1946.9649.642812.4613.5615.3116.9318.9422.6627.3432.6237.9241.3444.4648.2850.992913.1214.2616.0517.7119.7723.5728.3433.7139.0942.5645.7249.5952.343013.7914.9516.7918.4920.6024.4829.3434.8040.2643.7746.9850.8953.674020.7122.1624.4326.5129.0

15、533.6639.3445.6251.8055.7659.3463.6966.775027.9929.7132.3634.7637.6942.9449.3356.3363.1767.5071.4276.1579.496035.5337.4840.4843.1946.4652.2959.3366.9874.4079.0883.3088.3891.957043.2845.4448.7651.7455.3361.7069.3377.5885.5390.5395.02100.42104.228051.1753.5457.1560.3964.2871.1479.3388.1396.58101.88106.63112.33116.329059.20