周期信号的傅里叶变换

1、复习1、周期信号的傅里叶变换2、傅里叶系数与傅里叶变换的关系一、频率响应 傅里叶分析是将信号分解为众多不同频率 的虚指数函数之和（积分），因此首先讨论虚指数函数作用于LTI系统引起的响应(零状态）；再讨论任意信号作用系统所引起的响应，得出响应的频域求解方法；从而引出频域中反映系统特性的函数-频率响应（函数）。 前面我们讨论了信号的频域分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系，即系统的频域分析。 4.7 LTI系统的频域分析1、 虚指数函数 作用于LTI系统所引起的零状态响应设虚指数函数作用于 LTI系统所引起 的响应（零状态）是系数为 的同频率的虚指数函数，仅是幅度及相位发生变化，但频率

2、不变。 。系统的冲激响应是当激励为任意信号 ，由式 得2、任意信号输入时的响应若令响应 的频谱函数为 ，则由上式得 频率响应（函数）（有时也称为系统函数）可定义 为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换 与激励的傅里叶变换 之比，即 令 则有3、频率响应的定义称为系统的幅频特性或幅频响应称为系统的相频特性或相频响应 是 的偶函数， 是 的奇函数。幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的倍数.幅频特性和相频特性的物理含义:相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小. 利用频域函数分析系统问题的方法，常称为频域分析法或傅里叶变换法。4、频域分析时域分析与频域分析的关系如以下图所示。图4.7-1

3、 频域分析示意图LTI系统5、例题例4.7-1 某LTI系统的幅频响应 和相频响应 如 下图所示。若系统的激励 ， 求系统的响应。 书上介绍了两种方法,一种是傅里叶级数法;一种是傅里叶变换法;但对于周期信号还有一种方法-正、余弦函数响应法。解法三：正、余弦函数响应法本题例4.7-2 描述某系统的微分方程为 求输入 时系统的零状态响应。解: 令 ， 对方程取傅里叶变换，得由上式可得该系统的频率响应函数取傅里叶逆变换得例4.7-3 如下图所示的 电路，若激励电压源 为 单位阶跃函数 ，求电容电压 的零状态响应。+ -us(t )R+Cuc(t )-us(t )=U(t)t10uc(t)t10图4.

4、7-3解: 图中网络的频率响应函数或称转移函数为式中 。 例4.7-4 如以下图所示的系统， 乘法器的输入 系统的频率响应 ， 求输出 。解: 由图可知，乘法器的输出信号 ， 依频域卷积定理可知，其频谱函数 令 ， 根据对称性可得 解：的频谱函数 取上式的傅里叶逆变换 ：二、无失真传输 所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度 大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。问：LTI系统的 应满足什么条件，才能够实现无失真传输信号？ 应满足： LTI幅频特性是常数；相频特性是通过原点的直线斜率的 负值为延迟时间图 4.7-5 无失真传输系统 的幅频特性和相频特性0 以上是无失真传输的理想条件

5、。一般对限带信号而言，只要在信号有限带宽内满足该条件即可实现无失真传输。无失真传输系统的理想条件是: 幅频特性为常数;相频特性为过原点的直线.即对所有频率成分具有相同的时移.三、 理想低通滤波器 的响应具有如下图的幅频特性和相频特性的系统理想低通滤波器。 图 4.7-6 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性01-cc或-1根据傅里叶变换的对称性可知，由1、理想低通滤波器的冲激响应 理想低通滤波器的冲激响应 是频率响应函 数 的傅里叶逆变换，因此，理想低通滤波 器的冲激响应 ：再由时移特性，得理想低通滤波器的冲激响应： -1我们可以画出其波形，见下页：其波形如下图所示。由图可见，理想低通滤波器的冲

6、 激响应的峰值比输入的 延迟了 。0ttd(a) 冲激响应0ttd(a) 冲激响应思考：为什么理想低通的冲激响应会是取样函数的形式？当 增大，对响应有何影响？当 时，响应趋于什么形式？01-cc2、理想低通滤波器的阶跃响应 令正弦积分， 下面就来画出阶跃响应的波形。先画出 ，再做尺度变换得到 最后画出 。正弦积分， 0t1td0.5g (t )tr-0.08951.0895图 4.7-7 理想低通滤波器的阶跃响应0ttdh (t )下面我们讨论几个问题: 上升时间; 最大值; 吉布斯现象; 因果性;由上图可见，在 处阶跃响应上升最快，如果定 义信号的上升或称建立时间 为 在 处的 斜率的倒数，

7、那么上升时间 为：可见，滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭。1、阶跃响应的上升时间与系统的通带宽度成反比。它与滤波器的通带宽度无关。因此，增大滤波器的通 带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近 处。3、当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近原信号时， 如果原信号包含间断点，那么，在各间断点处，其 恢复的信号将出现过冲，这种现象称为吉布斯现象。4、理想低通滤波器是物理不可实现的。2、 理想低通滤波器是物理不可实现的。但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成。 为了能根据系统的频率响应函数判断系统是否物理可实现的，就希望找到物理可实现系统特性所满足的条件。时域来说：且频域来说：称为佩利维纳