完全四点四线型

1、楚雄师范学院(Chuxiong Normal University)高等几何小论文系(院)：数 学 系专 业： 数学与应用数学姓 名：杨 艳学 号：200910212022013年1月10日高等几何中完全四点（线）形的调和性质应用于初等几何中某些问题的初探摘要：本文对高等几何中的完全四点（线）形的调和性质进行了归纳整理，并从初等几何与高等几 何之间的本质联系出发，主要讨论了高等几何中的完全四点（线）形的调和性质应用于初等几何中 某些问题的作用，以达到化难为易，拓广解题思路，并进一步获得某些初等几何命题的推广，以更 加充实和完善初等几何的内容。关键词：完全四点（线）形；调和性；应用Abstrac

2、t： The paper aims at giving a summary to the harmonicity of the complete quadrangle(line) in Higher Geometry . Based on the essential relationship between Elementary and Higher Geometry，the article discusses some possible problems in the applications of the harmonicity of the complete quadrangle (li

3、ne) in Higher Geometry to Elementary Geometry， in the hope that this will improve the mathematics teaching in the high school .Key Words:complete quadrangle (line) ， harmonicity， application1、引言点（线）形的调和性质在初等几何证题中的应用举出大量实例，对“高等几何”在“初高等 几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课。由于该课程的抽象化、逻辑化程度 较深，学起来要困难一些，因此大多数高师类数学

4、与应用数学专业的学生都怕学这门课程，甚至认 为学好了高等几何用处也不大，于是抱着一种敷衍的态度学习高等几何，但任由这种观念传播 显然对培养中学教师是十分有害的。实际上，要成为合格的中学数学教师，教好中学数学，就应有 全面的数学素质，而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的 多样化等都起着重要作用，而且从逻辑上讲，高等几何是初等几何的延伸，它为初等几何提供了理 论依据，拓展了初等几何的解题途径，丰富了初等几何的研究方法，开阔了初等几何的学习视野。 比如，初等几何中的点共线与线共点问题，是教学中的一个重点，也是一个难点，如果单纯用初等 几何的方法去解决，有时会觉得非常复杂

5、，若采用高等几何的方法去思考问题，不仅可为解题带来 了极大的方便，也可在方法上为解决初等几何的问题开辟新的思路。同理“交比和调和共轭”与射 影几何的各部分内容密切相关，运用其概念和有关性质，可以比较简单地解决初等几何问题，比如 著名的“蝴蝶定理”用交比来证明比较简便，基于这些原因，本文将针对利用完全四等几何”中的 应用进行探讨，以引起将来要从事中学数学教学的师范类大学生的高度重视。2、完全四点（线）形的概念2.1完全四点（线）形定义1：平面内无三点共线的四点及其两两联线所构成的图形称为完全四点形（完全四角形），记作 完全四点形ABCD。定义1：完全四点形含四点六线，每一点称为顶点，每一直线称为

6、边，不过同一顶点的两边称为对 边，六边分为三对，每一对对边的交点称为对边点（对角点），三个对边点构成的三角形称 为对角三角形，如图1。图1图2定义2：平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线形（完全四边形），记作完全四线形sbcd。定义2:完全死线形sbcd含四线六点，每一直线称为边，每一点称为顶点，不在同一边上的两个顶点称为对顶，六个顶点分为三对，每一对对顶的连线称为对顶线（对角线），三条对顶线 构成的三角形称为对角三角形，如图2.2.2交比定义3：共线四点A,B,C,D的交比定义为两个简比（ABC）与（ABD）的比，记为（AB , CD ）=（ABC ）（ABD ）其

7、中A,B两点称为基点，C,D两点称为分点。AC根据交比的定义有（AB,CD ）= BC = BC = AC BD VABD ） AD BC - ADBD不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系。现在来讨论改变点的顺序时，交比所 发生的变化。3、完全四点（线）形的调和性质3.1完全四点形的调和性质定理1：设s、s是完全四点形ABCD 的一对对边，它们的交点是对边点X，若X与其它二对边点的连线是t、t，则有Css ,tt ）=-1。推论1：在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另外两 个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。如图 1 中，（QR ,

8、 Y ）= -1,（PQ , XE ）= -1 等。推论2：在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一对点偶里，一个点 是对边点，一个点是对边点，另一个点是这个边与对边三角形的边的交点。如图 1 中：AB, YP ）= -1,（AD , ER ）= -1 等。3.2完全四线形的调和性质对偶地，可以得出完全四线形的调和性质。定理2：设C、D是完全四线形abcd的一对对顶点，它们的连线是对顶线x，若x与其它二对顶点的交点是A、B，则有（AB, CD ） = -1。推论1：到达完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束，其中两直线是对顶线，另 两条直线此顶点与第三条对顶线

9、上两对顶点的连线。如图2中，（BA，CD）=-1 等。推论2：在完全四线形的每个顶点上，有一组调和线束，其中两条边是过此点的两边，在另一对线 偶里，一条是对顶边，另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。如图2中，（BA,CD） =-1 等。3.3交比的性质定理2：两基点与分点交换，交比的值不变。即（CD , AB ）=（AB,CD ）定理3：只有两基点交换或只有两分点交换，交比的值与原来的交比值互为倒数。即（BA , CD ）=（AB,DC ）= 1tVAB , CD ）定理4：交换（AB,CD ）中间两字母顺序或交换两端的两字母顺序所得的交比值与原来交比值和为常数1，即（AC , BD ）

10、=（DB,CA ）= 1 -（AB , CD ）共线四点A,B,C,D可有4! = 24种不同的排列。由定理4.14.3可得24个交比值只有6个不 同的取值：（AB , CD ）=（BA , DC ）=（CD , AB ）=（DC , BA ）= m ,（AB , CD ）=（BA , CD ）=（CD , BA ）=（DC , AB ）=,（AC , BD ）=（BD , AC ）=（CA , DB ）=（DB , CA ）= 1 - m ,（AC , DB ）=（BD , CA ）=（CA , BD ）=（DB , AC ）=,1 一 m（AD , BC ）=（BC , AD ）=（CB

11、, DA ）=（DA , CB ）=生1,m（ad , CB ）=（BC , DA ）=（CB , AD ）=（DA , BC ）= m 一 1上述定理及推论的证明可祥见于高等几何（朱德祥编）。利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能 够融合贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。4、应用举例4,1证明平分线段问题例1、四边形ABCD的对边AB与CD交于M , M与AB交于N ,直线MN平行于四边形 ABCD的对角线BD上，求证：另一对角线AC平分线段MN。证明：如图3所示，设平行线BD与MN交与Q , AC与MN交于P，视四边形ABCD为完全8四点形（

12、四线形），则MN为完全四点形ABCD的对边三点行的一条边，由定理1的推论1 或定理2,易得：（MN , PQ ） = -1,即（MN , PQ ） = （MNP ） = = -18NP故P为线段MN的中点，从而对角线AC平分线段MN。由此题的证明过程不难证明其逆命题成立。逆命题：四边形ABCD的对边AB、CD交于M , BC、AD交于N ,对角线AC平分线段MN , 求证：直接MN平行于四边形ABCD的对角线BD。由以上说明，这一类初等几何问题通过构造四边形，进而把问题转化为完全四点（线）形的问题， 然后用其调和性极易得到解决。图4图5图64.2证明平分角度问题例2设X为A ABC的高线AD上

13、的任一点，BX、CX延长线交对边于Y、Z，则DA平分Z YDZ。证明：如图4，设DY与CZ交于。，则DCYZ为完全四点形，由完全四点行的调和性，有（CX , OZ ） = -1以D为射影中心向这四点投影得（DC、DX , DO、DZ ） = -1又因DX 1 DC，则知DX，DC分别为ZODZ的内、外角平分线，即DA平分/ YDZ当A ABC为钝角三角形时，仿上同理可证。例3两圆相交于A、B两点，过A引AB的垂线，交两圆于C、D，连BC、BD交两圆于E、F，证明 AB平分zeaf或其外角。设AF交CB于G，视ABGD为完全四点形，仿上例可同理证明本题结论。由以上两例不难看出，利用完全四点（线）

14、形的调和性解决某些初等几何平分角问题时，主要在 于完成两个步骤，一是构造四边形，得四直线调和分割，二是设法建立交错二直线相互垂直关系， 由此即可证明平分角结论。4,3证线共点问题例4设X、Y、Z是完全四点形ABCD的三个对边点，XZ分别交AC、BD于L、M，证明 YZ、BL、CM 共点。证明：如图5，在完全四点形ABCD中，据定理1的推论1知，边AC上的四个点A、C、Y、L是 一组调和点，即（AC，YL）=-1。又在完全四点形YBZL中，设LB与YZ交于N，MN交YL于C，据定理1的推论1知，边YL 上的四点Y、L、C，、A是一组调和点，即（YL，AC，）=-1。由于（YL，AC）=1，故C三

15、C ，所以YZ，BL,CM共点与N。4.4证共线点问题例5设D,E,F分别是A ABC的三边BC,CA,AB或者延长线上的点，且DB -里 FA = 1，则它们DC EA FB三点共线（梅尼劳斯定理的逆定理）。证明：如图6，因为DB引,则FA。EA，故EF必与BC相交。DC FB ECAA设EF交BC于D ,连BE交于H点，连AH交BC于F,得到完全四点形AFHE,由定理1的推论有（D F ,BC）= D-B - -C = -1DC F B.F B EC FA又AF BE , CF共点于H，由赛瓦定理有 - =-1x得D B EC FA 寸 DB EC FAD B DBD在BC上，- =1,又

16、- =1，故有=DC EA FB DC EA FBDC DC从而DC = DC，所以D, D，重合，即F, E, D共线。仿此可证朱德祥编高等几何P66第4,8题。由以上说明处理共点、共线的问题，最常用的方法一是把平行四边形视为四点形或四线形，二是 用重合法进行证明。4,5证线平行问题例6如图7在 ABC中，AD是/ A的内角平分线，在AD上任取点P，连BP交AC于F，连CP 交AB于E，EF交BC于H，求证：垂直于AH的直线平行于AD。证明：如图 7，设/ BAD= / DAC= a，/ DAH= 0，/ CAH= p。视四边形AEPF为完全四边形，则由定理2的推论2或定理1有（AB、 AC

17、、 AD、 AH） =-1又由线束交比的几何意义，即得（AB、AC，AD、AH）=侦 AB，AD 谶 AC，AH ） = sin sin P =-1sin（ AB , AH ） sin（ AC , AD ） sin（ a + 0 ） - sin（ -a ）故 sin p =sin （ a + 0），又 sinp =sin （ 0 -a）所以 sin （ 0 -a）= sin （ a + 0）兀即 cos 0 - sin a = 0，故 cos 0 = 0 或 sin a = 0，于是0 =或a =兀。2兀但a是 ABC的一个内角，不可能等于兀，所以0 =一，从而AH 1 AD，即垂直于AH 2

18、的直线平行于AD，并且AH即为/ A的外角平分线。由例1及本例不难得到利用完全四点（线）形的调和性质证明二直线平行的一般方法。4.6证比例线段问题例7已知在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，AF = 1DF , EF交AC于G ,求证:2AG = 1 AC。5证明：如图8,连BD交AC于H,过E作EE H BD交AD于E ,连E G交AB于A ，视AF GF 为完全四点形。因E为AB中点，且EE II BD，所以EE 为 ABC之中位线，A”为EE之中点，由 初等几何知识易证EE I FF，所以AFAA2AA 31AF = AD3(AG , A A )= -1由定理1，得即(AG , A

19、A)=AA GA2-AA (AA3-AG )=-1AA -GAAA -(AG -2 -AA) 3411即AG =AA，又 AA，AH=AC524,所以411。AG=XAC =AC545由此题的证明，不难得到更一般性的结论成立。推广：在平行四边形ABCD 中,E在 AB上，F 在 AD 上，11EF交AC 于 G ，AE =AB,af =AD ,mn(AG , AA) = 1且则1AG = ACm + n证明略。4.7解决作图问题从以上可以看出，利用完全四点（线）形的调和性质可以使我们由纯粹几何方法得到调和共轭点 列或调和共轭线束，即仅用直尺可作出已知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的

20、第四 调和直线的方法。我们知道，一直线l上的点偶P , P与Q , Q成为调和共轭的充要条件是：“ P和P是一个完全 121212四点形的对边点，Q1和Q 2是通过第三个对边点的一对对边与l的交点”（参见文1）。为此，可通 过完全四点形的作图来作第四调和点。利用完全四点形和完全四线形的调和性质在初等几何作图中 的一些具体应用如下：例1、已知A、B、C三点共线于l，在直线l上求作点C关于A、B的调和共轭点，有以下几 种方法。限于篇幅，只给出作法，具体作图过程及证明从略。利用完全四点形和完全四线形的调和性质过点C任作一直线，在其上任取异于C的两点Q、S，分别连接S、A ； Q、B交于点R，连接Q、

21、A ； S、B交于点T，再连接A、B ； R、T交于点Q，则点D即为所求。利用“线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”过点C任作一直线，在其上取两点A、B分别位于点C的两侧，并且A、B到C的距离相等。1111连A与A、B与B相交于S点，过点S作直线AB的平行线交A、B、C所在直线l于点D，则 1111点D即为所求（参见文2）。利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”过点C任作一条不与l垂直的直线l1，作线段AB的垂直平分线与直线l1相交于E点，过不共线三点A、B、E作一圆，交直线l1于另点F，再作ZAFB的外角平分线与A、B、C所在直线l相交于D，则点D即为所求。利用二次曲线极点、极线的作图法过A、B两点任作一圆，作出点C关于此圆的极 线，与A、B、C所在直线l相交于D，则点D 即为所求。例8、已知共线三点F、E、G，求作第四点p，使得或EG - FP=