双曲线及其标准方程教案人教A选修

1、2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 2,3,1 双曲线及其标准方程 三维目标 1,学问与技能 懂得双曲线得概念, 把握双曲线得定义, 会用双曲线得定义解决问题； 明白双曲线标准 方程得推导过程及化简无理方程得常用方法 2过程与方法 通过定义及标准方程得挖掘与探究, 用,提高同学得观看与探究才能 3情感,态度与价值观 通过老师指导下同学得沟通探究活动, 识问题 重点难点 使同学进一步体验类比, 数形结合等思想方法得运 激发同学得学习爱好, 培养同学用联系得观点认 重点：懂得与把握双曲线得定义及其标准方程 难点：双曲线标准方程得推导 由于双曲线得定义与标准方程与椭圆很

2、类似, 同学已经有了一些学习椭圆得体会, 所以 本节课用“启示探究”式得教学方式,重点突出以下两点：以类比思维作为教学得主线； 以自主探究作为同学得学习方式,并结合多媒体帮忙教学,进而实现重点,难点得突破 教学建议 在教法上,宜接受探究性教学法与启示式教学法 让同学依据教学目标得要求与题目中得已知条件, 自觉主动地制造性地去分析问题, 讨 论问题,解决问题 以启示,引导为主,接受设疑得形式,逐步让同学进行探究性得学习通过创设情境, 充分调动同学已有得学习体会, 让同学经受“观看 猜想 证明 应用”得过程, 发 现新得学问, 把同学得潜意识状态得古怪心变为自觉求知得创新意识 又通过实际操作, 使

3、 刚产生得数学学问得到完善,提高了同学动手动脑得才能与增强了争辩探究得综合素养 教学流程 复习椭圆定义,提出问题：与两定点距离得差为常数得轨迹就是什么？ .第 1 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 引导同学结合试验分析,得出中意条件得曲线形状,给出双曲线定义并探究特殊情形, .通过引导同学类比椭圆标准方程得出得方法,推导双曲线得标准方程, .对比椭圆与双曲线定义得异同,完成例 1 及其互动探究,从而把握双曲线定义得应用问 题, .通过例 2 及其变式训练,使同学把握用待定系数法求双曲线得标准方.程, 通过例 3 及其变式训练,使同学懂得双曲线得定

4、义及标准方程,并学会其在实际问题中得应 用, .归纳整理,进行课堂小结,整体熟识本节课所学学问, .完成当堂双基达标,巩固所学学问并进行反馈矫正, 课标 1,明白双曲线得定义及焦距得概念 解读 2明白双曲线得几何图形,标准方程 重点 3,能利用双曲线得定义与待定系数 法去求双曲线得标准方程 重点 双曲线得定义 【问题导思】 1我们知道,与两个定点距离得与为非零常数 大于两定点间得距离 得点得轨迹就是 椭圆,那么与两定点距离得差为非零常数得点得轨迹就是什么？ 【提示】 双曲线得一支 |F1 F2 |时,轨迹就是什么？ 【提示】 当常数等于 |F1F 2| 2如定义中得常数大于或等于 时,轨迹为以

5、 F 1,F2 为端点,在直线 F 1F 2 上反向得两条射线 F 1A, F 2B包括端点 ,如图所 示 当常数大于 |F1F2|时,轨迹不存在 把平面内与两个定点 F1, F 2 得距离得差得确定值等于常数 小于 |F1F2|得点得轨迹叫 做双曲线,这两个定点叫做双曲线得焦点,两焦点间得距离叫做双曲线得焦距 双曲线得标准方程 第 2 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 【问题导思】 类比椭圆标准方程得建立过程,您能说说怎样选择坐标系,建立双曲线得标准方程 吗？ 【提示】 以经过两焦点 F1 , F2 得直线为 x 轴,线段 F1F2 得垂直平分

6、线为 y 轴建坐标 系 标准 方程 焦点 焦距 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 a x2 2 2 1a 0, b 0 b y2 a y2 2 2 1a 0, b 0 b x2 F 1 c,0, F2c,0 F 10, c,F 20 ,c |F1F2| 2c,c 2 a2 b2双曲线定义得应用 已知双曲线 2 2x y 9 16 1 得左,右焦点分别就是 F 1 ,F 2,如双曲线上一点 P 使得 F 1PF 260,求 F1PF2得面积 【思路探究】 1在PF1F2 中,由余弦定理能得到 |F1F2|,|PF 1|, |PF2|三者中意怎样得 关系式？ 2结合双曲线得定义,能否求出 【自主

7、解答】 2 2由 x 9 16 1, y 得 a3, b 4, c 5, |PF 1| |PF2|得值进而求出 F1 PF2 得面积？ 由定义与余弦定理得 |PF 1| |PF 2| 6, |F 1F 2|2 |PF1 |2 |PF2 |2 2|PF1|PF 2|cos 60 , 所以 10 2|PF 1| |PF2| 2 |PF 1| |PF2|, 所以 |PF 1| |PF 2| 64, 1SF 1PF 2 | 2 PF 1 | |PF 2| sinF 1PF 2第 3 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 2 1 64 23 16 3, 求双曲

8、线中焦点三角形面积得方法： 法一： 1依据双曲线得定义求出 |PF1| |PF 2| 2a；2利用余弦定理表示出 |PF1 |,|PF2|, |F 1F2|之间中意得关系式； 3 通过配方, 整体得思想求出 |PF1| |PF 2|得值；4利用公式 SPF1F2 2 1 |PF 1| |PF2|sinF 1PF 2求得面积法二：利用公式 SPF1F 2 2 1 |F 1F2| |yP|求得面积 本例中如 F 1PF 2 90,其她条件不变,求 F1PF2得面积 【解】 由双曲线方程知 a 3, b 4, c 5 由双曲线得定义, |PF 1| |PF2|2a 6, |PF 1|2 |PF 2|

9、2 2|PF1| |PF 2| 36 在 RtF 1PF2 中,由勾股定理 |PF 1|2 |PF 2|2 |F1F2|2 2c2 100 将代入得： |PF 1| |PF 2| 32, 1SF1PF 2 | 2 PF 1 | |PF 2| 16, 求双曲线得标准方程 求适合以下条件得双曲线得标准方程 4 10 1a 4,且经过点 A1, 3 ； 2如何求出 a2, b2 得值？ 3 2经过点 P1 2, 2 4 5与 P23 7, 4两点 【思路探究】 1所求曲线得焦点位置确定吗？ 【自主解答】 1如所求双曲线得标准方程为 x 2y 2a 2 b21 a 0, b0, x2 y2 就将 a

10、4 代入,得 16b 2 1, 4 10 又点 A1, 3 在双曲线上, 16 1 160 1,由此得 b2 0, 9b2第 4 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 不合题意,舍去 如所求双曲线方程为 y2a 2 1a0, b 0,就将 a4 代入得 x2 b 2 16 y2 1, x2 b 2 代入点 A1, 4 10 3 ,得 b 9, 2双曲线得标准方程为 y2 x2 16 9 1, 2法一 当双曲线得焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 x2 a 2 b y2 2 1a 0, b 0 P1, P2在双曲线上, 2 2 32 5 2 a2 b2

11、 1 , 4 237 42 a2 b 2 1 1 1a 2 16 解得 不合题意舍去 1 1b 2 9 当双曲线得焦点在 y 轴上时, 设双曲线得方程为 y2 x2 a2 b2 1a 0, b 0 P1, P2在双曲线上, 3524b2 1 , mx2 ny2 1mn 0,由于 2a2 47242 3a2 b2 1 解得 1 1 a 2 9 ,即 a29, b2 16, 1 1 b216 y2 x2 故所求双曲线方程为 9 161, 法二 由于双曲线得焦点位置不确定,所以设曲线方程为 P1, P2 在双曲线上, 第 5 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修

12、2-1 45 所以有 4m 4 n 1 16 7m 16n 1 9, 解得 m 16 1, 1n 9 所求双曲线方程为 x2 y2 y2 x2 16 9 1,即 9 161, 1 求双曲线标准方程得两个关注点： 1 定位：就是指确定与坐标系得相对位置,在标准方程得前提下,确定焦点位于哪条 坐标轴上,以确定方程得形式 2定量：就是指确定 a2,b2 得数值,常由条件列方程求解 mx 2ny 2 1 得形 2如焦点得位置不明确,应留意分类争辩,也可以设双曲线方程为 式,为简洁起见,常标明条件 mn0, 求适合以下条件得双曲线得标准方程 1一个焦点就是 0, 6,经过点 A5,6； 2a 5, c

13、7, 【解】 1 由已知 c 6,且焦点在 y 轴上,另一焦点为 0,6 由双曲线定义 2a | 5 0 2 6 6 2 5 0 2 6 6 2| 8, a 4,b2 c2a2 20, 所求双曲线得标准方程为 16 y2 1, 20 x2 2由已知 a5, c 7,b 2 c 2a 2 24,焦点不确定 所求双曲线得标准方程为 25 x2 1 或 1, 24 y2 25 y2 24 x2 2.3.1 双曲线及其标准方程 得实际应用 _教案 人教 A 版选修 2-1 双曲线得定义与标准方程 “神舟”九号飞船返回仓顺当到达地球后,为了准时将航天员安全救出,地面 指挥中心在返回仓估量到达区域支配了三

14、个救援中心 记为 A, B, C, A 在 B 得正东方向, 相距 6千米, C在 B 得北偏西 30方向,相距 4 千米, P 为航天员着陆点某一时刻, A 接 收到 P 得求救信号,由于 B, C 两地比 A 距 P 远,在此 4 秒后, B, C 两个救援中心才同时 接收到这一信号已知该信号得传播速度为 1 千米 /秒求在 A 处发觉 P 得方位角 【思路探究】 由 “ A 接收到 P 得求救信号得时间比其她两个救援中心早 4 s” 能否得 到|PB|与 |PA|得差为定值？就是否说明点 P 在以 A, B 为焦点得双曲线得一支上？ 【自主解答】 由于 |PC| |PB |,所以 P 在

15、线段 BC 得垂直平分线上又由于 |PB| |PA| 4, 所以 P 在以 A, B 为焦点得双曲线得右支上 以线段 AB 得中点为坐标原点, AB 得垂直平分线所在直线为 y 轴,正东方向为 x 轴正 方向建立直角坐标系,如以下图 就 A3,0,B 3,0, C 5, 2 3 所以双曲线方程为 x2 4 1x 0, y2 5 BC 得垂直平分线方程为 x 3y 70, 联立两方程解得 x 8, y5 3, 所以 P8,5 3 , kPA tanPAx 3,所以 PAx 60, 所以 P 点在 A 点得北偏东 30方向 第 7 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A

16、版选修 2-1 解答此类题第一应建立平面直角坐标系, 取两定点所在得直线为 x 轴,以两定点为端点 得线段得中点为坐标原点；然后依据双曲线得定义求出标准方程,再由标准方程解有关问 题此题得解法主要运用了数形结合思想与函数与方程思想 某工程要挖一个横断面为半圆得柱形得坑,挖出得土只能沿道路 AP, BP 运到 P 处 如 图 2 3 1所示 , |PA| 100 m, |PB| 150 m, APB 60,试说明怎样运土才能最省工 图 2 3 1 【解】 设 M 就是分界线上得任意一点,就有： |MA| |PA| |MB | |PB|, 于就是 |MA | |MB| |PB| |PA| 150

17、10050, 在PAB 中,由余弦定理得, |AB| 2 |PA| 2 |PB | 2 2|PA| |PB| cos 60 1002 1502 2 100 1501 17 500 , 2以 AB 所在直线为 x 轴, AB 中点为原点建立平面直角坐标系,就分界线就是双曲线, x2 y2 即 625 3 750 1x 25 AP 运到 P 处,右侧得土BP 运到 P 处最省故运土时,将此双曲线左侧得土沿 沿 工, 第 8 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 混淆 a, b,c 得关系致误 双曲线 8kx2 ky2 8 得一个焦点坐标为 0,3 ,求

18、k 得值 【错解】 将双曲线得方程化成标准形式为 x2 y2 1 8 1, k k 由于双曲线得焦点在 y 轴上,所以 a 28, b 2 1, k k 所以 c a2b2 8 3,即 7 9,所以 k 7k k k 9, 【错因分析】 上述解法有两处错误：一就是 a2, b 2 值确定错误,应当就是 a 2 8k, b2 1；二就是基本量 k a,b, c 得关系错误,在双曲线中基本量 a, b,c 得关系应当就是 c2 a2 b2, 【防范措施】 在椭圆中, a, b, c 得关系就是 c2 a2 b2；而在双曲线中, a, b, c 得关系就是 c 2a 2 b 2,二者极易混淆,要留意

19、区分,以防错误 【正解】 将双曲线得方程化成 kx2 ky 2 1, 8由于双曲线得一个焦点坐标就是 0,3,所以焦点在 y 轴上,且 c 3, 所以 a2 8, b2 1,所以 8 1 9,解得 k 1, k k k k 1懂得双曲线定义应留意以下三点：定义中得动点与定点在同一平面内；距离得 差要加确定值, 否就只表示双曲线得一支； 距离差得确定值必需小于焦距, 否就不就是双 曲线,而就是两条射线或无轨迹 第 9 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 2利用待定系数法可以求双曲线得标准方程, 求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步, 1动点 P 到点

20、 M1,0 , N 1,0得距离之差得确定值为 2,就点 P 得轨迹就是 A 双曲线 B 双曲线得一支 到该曲 C两条射线 D 一条射线 【解析】 |PM | |PN| 2 |MN |,点 P 得轨迹就是两条射线 【答案】 C2 2022 徐州高二检测 双曲线方程为x2 2y2 1,就它得右焦点坐标为 A 2 2, 0 B 2 5, 0 MC 2 6, 0 D 3, 0 【解析】 将双曲线方程化为标准形式 2 x2 y 1 1, 2所以 a21, b2 1,c 26 a2 b2 2, 右焦点坐标为 6, 0 2【答案】 C3中意条件 a 2,一个焦点为 4,0 得双曲线得标准方程为 x2 y2

21、 A , 4 12 1 B , 1 x2 y2 12 4 C, 4 16 1 D , 1 x2 y2 16 4 【解析】 由 a 2, c 4,得 b2 c2 a2 12,又一焦点 4,0在 x 轴上, x2 y2 双曲线得标准方程为 4 12 1, 【答案】 A 4已知双曲线 x2 1 得左支上一点 y2 16 9 M 到其左焦点 F1 得距离为 10,求点 线左焦点 F 2 得距离 【解】 2 2由 x y 16 9 1 得 a 4,点 M 在双曲线得左支上 第 10 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 |MF 2| |MF 1|,|MF 2

22、| |MF 1|2a 8, 又|MF 1| 10,|MF 2 |18, 第 11 页,共 17 页一,选择题 2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 1 2022东营高二检测 方程 2 m x2 2 m y2 1 表示双曲线,就 m 得取值范畴 A 2 m 2 B m 0 Cm0 D |m| 2 【解析】 已知方程表示双曲线, 2 m2 m 0, 2m 2, 【答案】 A 2设动点 P 到 A5,0得距离与它到 B5,0距离得差等于 6,就 P 点得轨迹方程就是 x 2 y 2 B , 1 2 2 A , 9 16 1 9 16 C, 9 16 1x 3 D , 1x

23、 3 9 16 【解析】 由题意,应为以 A 5,0,B5,0为焦点得双曲线得右支 由 c 5, a 3,知 b 2 16, x2 y2 P 点得轨迹方程为 9 16 1x3 【答案】 D3 2022 泉州高二检测 已知定点 A, B 且 |AB| 4,动点 P 中意 |PA| |PB| 3,就 |PA|得 最小值就是 1B, 3 C, 7 D 5 A , 2 2 2【解析】 由题意知,动点 P 得轨迹就是以定点 A, B 为焦点得双曲线得一支 如图 从 7图上不难发觉, |PA|得最小值就是图中 AP 得长度,即 a c2, 【答案】 C第 12 页,共 17 页双曲线及其标准方程 _教案

24、人教 A 版选修 2-1 4如椭圆 x2 1m n 0与双曲线 1a 0, b 0有相同得焦点 y2 x2 y2 m n a b F1, F2, P 就是两曲线得一个交点,就 |PF 1| |PF2|得值就是 A m a 1 B, 2ma Cm2 a2D, m a 【解析】 由椭圆定义知 |PF 1| |PF2 | 2 m, 由双曲线得定义知 |PF 1| |PF2|2 a, 2 2得 4|PF 1| |PF2| 4m a,|PF 1| |PF 2| m a, 【答案】 A 5已知双曲线得两个焦点分别为 F1 5, 0,F 2 5,0,P 就是双曲线上得一点, 且 PF 1PF 2, |PF1

25、| |PF 2| 2,就双曲线得标准方程就是 A , 2 1 x2 y2 B , 1 x2 y2 3 2 2 Cx 2 y 1 4D ,x y2 1 4【解析】 设 |PF1| m,|PF 2| n,在 RtPF 1F 2 中, m2 n22 c2 20,mn2, 由双曲线定义,知 |mn|2 m2 n2 2mn 16, 4a 2 16,a 24, b 2 c 2 a 2 1, x2 2双曲线得标准方程为 4 y 1, 【答案】 D 二,填空题 6双曲线 m2 12 x2 4m y 22 1 得焦距为 【解析】 c2 m2 12 4m2 16,c 4,2c 8, 【答案】 8 7 2022郑州

26、高二检测 设点 P 就是双曲线 x2 9 16 1 上任意一点, F y2 1, F2 分别就是其 第 13 页,共 17 页2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 左,右焦点,如 |PF1| 10,就 |PF 2|, a 3, b 4, 【解析】 由双曲线得标准方程得, 于就是 c a2b2 5, 1如点 P 在双曲线得左支上, 就 |PF2 | |PF 1| 2a6,|PF 2| 6|PF 1| 16； 2如点 P 在双曲线得右支上, 就 |PF1 | |PF 2| 6, |PF 2| |PF1| 6 10 6 4, 综上, |PF 2| 16 或 4, 【答案】

27、 16 或 4 8 2022 泰安高二检测 方程 4 k x2 k 1 y 2 1 表示得曲线为 曲线 C 不行能就是圆； 如 1 k 4,就曲线 C 为椭圆； 如曲线 C 为双曲线,就 k 1 或 k 4； 如曲线 C 表示焦点在 x 轴上得椭圆,就 1 k 5, 2C,给出以下四个命题： 其中正确命题得序号就是 写出全部正确得命题得序号 【解析】 当 4 k k 1 0 时,即 k 5 2 时,曲线 C 就是圆,命题就是假命题对 5于,当 1 k 4 且 k 2 时,曲线 C 就是椭圆,就就是假命题 依据双曲线定义与标准方程,就是真命题 【答案】 三,解答题 9求与双曲线 x2 4 1 有

28、相同焦点且过点 y2 2 P2,1得双曲线得方程 【解】 双曲线 x 4 2 1 得焦点在 x 轴上 y 2 2依题意,设所求双曲线为 a2 x2 1 a0, b0 b2 y2 2.3.1 双曲线及其标准方程 _教案 人教 A 版选修 2-1 又两曲线有相同得焦点, a2 b2 c2 4 2 6, x2 y2 又点 P2,1在双曲线 a2 b2 1 上, 4 1 1, a2 b2 k 值分别指出方程所表示得 由,联立,得 a2 b 2 3, 故所求双曲线方程为 2 2x y 3 3 1, 10已知方程 kx2 y2 4,其中 k 为实数,对于不同范畴得 曲线类型 【解】 1当 k 0 时, y

29、 2,表示两条与 x 轴平行得直线； 2当 k 1 时,方程为 x2y2 4,表示圆心在原点,半径为 2 得圆； 3当 k 0 时,方程为 4 y2 x2 4 1,表示焦点在 y 轴上得双曲线； k 4当 0 k 1 时,方程为 x2 4 1,表示焦点在 x 轴上得椭圆； y2 4 k x2 y2 5当 k 1 时,方程为 4 4 1,表示焦点在 k y 轴上得椭圆 A, 11 某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西,正东,正北方向三个观测点 B, C 得报告：正西,正北两个观测点同时听到了炮弹得爆炸声,正东观测点听到爆炸声得 时间比其她两观测点晚 4 s,已知各观测点到该中心得距离都就是 1 020 m ,试确定该枚炮弹 得突击位置 声音得传播速度为 340 m/s,相关各点均在同一平面内 【解】 如图,以指挥中心为原点,正东,正北方向分别为 x 轴, y 轴 得正方向建立平面直角坐标系,就 设 Px,y