6气象变量场时空结构分离

1、第六章 气象变量场时空结构分离1、主分量(主成分)分析 2、经验正交函数分解（EOF）3、 旋转经验正交分解(REOF)基础知识回顾设A是n阶方阵，如果存在常数和非零的n维向量X，使得：AX=X定义1矩阵的特征值和特征向量就称是矩阵A的特征值，X是A的属于特征值的特征向量. 式子 也可以写成:即：这是含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组它有非零解的充分必要条件是系数行列式定义2 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵：一个对称矩阵的所有元素都是实数。 设A是n阶对称矩阵，则存在n阶正交阵R，使即R使RAR对角化。其中对角线上的元素恰是A的n个特征值。性质：实对称矩阵的特征值都是正实数。实对称

2、矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交。实对称矩阵所有特征值之和等于矩阵的主对角线元素之和。即 某一区域的气候变量场通常由许多个观测站点或网格点构成，这给直接研究其时空变化特征带来困难。如果能用个数较少的几个空间分布模态来描述原变量场，且又能基本涵盖原变量场的信息，这将十分有助于我们分析气候要素场的时间和空间特征。这就要寻找某种数学表达式将变量场的主要空间分布结构有效的分离出来。气候统计诊断中，应用最广的办法就是把原变量场分解为正交函数的线性组合，构成为数较少的不相关典型模态，代替原始的气候变量场。每个典型模态都含有尽量多的原始场的信息。一、主分量(主成分)分析的原理 ( Principal C

3、omponent Analysis , PCA)把随时间变化的气象场分解为空间函数和时间函数部分。空间函数部分不随时间变化；时间函数部分由空间点(变量)的线性组合所构成，称为主分量 (主成分)。研究主分量随时间变化的规律可以代替对场的随时间变化的研究.第一节 主分量分析（PCA）二、两个变量的主成分设所分析的气象要素场仅有两个空间点，记为x1、x2，抽取容量为n=25的样本，计算其中x1、x2变量的方差与协方差，得到如果有一种方法找到由这两个变量线性组合构成的两个新变量。 y1=0.66x1+0.75x2 y2=0.75x1-0.66x2新变量的总方差与原变量的总方差相等。x1的解释方差为46

4、%， x2的解释方差为54%如果要减少变量，如何取舍x1和x2？y1的解释方差为86%，y2的仅为14%如果要减少变量，去掉y2不会使总的方差受很大影响。可用y1的变化代替x1和x2的变化。y1与y2称为主成分。如何用一个变量来反映两个变量的主要信息？在一般情况下，又如何用p个变量来反映m个变量的信息呢？(pm) -主成分分析所要解决的问题解释方差：单个变量的方差与总方差的比值。三、主成分的导出原则：1、新变量能最大限度、集中地反映原m个变量的总方差。2、新变量相互独立，可以用较少的新变量描述原气象要素场的主要特征。以原变量x1,x2组成一个新变量 y=v1x1+v2x2 极大方差极大原则极大

5、问题约束条件：极大值问题可转换为：根据微积分求极值有：即：S为x1及x2的协方差阵，I为单位阵， 为组合系数向量， 为矩阵S的特征值，v为对应的特征向量。四、主成分的性质各主分量的方差分别为原m个变量的协方差矩阵的特征值，不同的主成分量彼此是无关的.各主分量的方差贡献大小按矩阵S特征值大小顺序排列.m个主分量的总方差与原m个变量的总方差相等.一、引言 经验正交函数分解（EOF）方法最早由统计学家pearson在1902年提出，由Lorenz（1956）引入气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作中得到广泛应用（Craddock，

6、1969；Kutzback，1970；Kidson，1975）。第二节 经验正交函数分解（EOF）近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF（REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量EOF（CEOF）方法。EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。二、EOF 分析方法的原理设某气候要素在m个站点（格点）上有n次观测资料X，为消除各站气候态不同的影响，习惯上要素场采用距平值。以矩阵形式给出如下：利用经验正交函数展开，就是把X分解成

7、正交的空间函数V与正交的时间函数Z的乘积。即：写成矩阵形式为:第j个实际空间场可表示为:含义:第j个实际空间场xj可表示为m个空间典型场按 不同的权重线性叠加而成. 空间函数矩阵V的每一列表示一个空间典型场，它只与空间点有关，不随时间变化；但每一典型场和其对应的时间权重系数均不是固定不变的，而是由实际资料确定的，所以这一分析方法称为经验正交函数分解。当kl时: 当k=l时: 空间函数矩阵V是标准正交阵，即：展开：EOF分解要求 时间函数矩阵Z中各不同行向量也是正交的，即要求 是个对角阵，即： 或 下面的任务就是求解V与Z。 先观察一下X场的协方差矩阵S，有 , 所以， 由线性代数的知识知道S是

8、一个m阶实对称矩阵。 根据实对称矩阵分解定理，一定有：三、分解方法或或:这实际上是关于1 2 m的m次方程组，若只考虑第k 个方程组，则有：这其实是矩阵S的特征方程， 是其特征值，而 是对应的特征向量。或:这是一个线性齐次方程组，根据线性代数的知识，它有非零解的充要条件是：系数行列式为零。由此可得到m 个特征值 ，及其对应的m个特征向量，每个特征向量就是我们所要求得的V的一列，所有特征向量放在一起就是所要求的空间函数矩阵V，它是m 个互相独立、互不相关的空间模态. 求出了V，对应的Z 就很容易得到了： 四、X场的误差估计和计算经验正交函数具有收敛快的特点，一般特征值较大的前几个模态就能反映出气

9、候场X的主要特征。因此，我们只取pm个特征向量场（V的前p列）就能近似反映X场，即pn时，我们不直接求 的特征值，而是先求出 的特征值，然后求 的特征向量，这种方法叫时空转换。令 是 和 的特征值，它们的特征向量分别为ui 和 vi，则： 六、 EOF的计算步骤（1）对原始资料矩阵X作距平或标准化处理。然后计算其协方差阵或相关阵 。（2）用求实对称矩阵的特征值和特征向量的方法（最常用的是Jacobi 方法）求出S 阵的特征向量V和特征值 ，并由大到小排序。（3）利用 的关系求出时间系数矩阵Z。（4）计算每个特征向量所占的方差贡献，前p个特征向量所占的累积方差贡献 。（5）对前几项有意义的典型空

10、间模态以及对应的时间系数作分析。EOF分析的前几项特征向量最大限度地表征了该气候变量场的主要结构特征。每个特征向量所对应的时间系数反映了X的空间区域中由此特征向量所表示的空间型的时间变化特征。系数绝对值越大表明对应时刻这种空间分布型（模态）越明显（典型）。从特征值的方差贡献和累积方差贡献了解所分析的特征向量的方差占总方差的比例及前几项特征向量共占总方差的比例。分析该气候场的收敛速度。七、结果分析(1) 它没有固定的函数，不像有些分解需要有一种特殊的函数作基函数，如球谐函数。(2) 它能在有限的区域内对不规则分布的站点进行分解。(3) 它的展开收敛速度快，很容易将变量场的信息集中在几个模态上。(

11、4) 分离出的空间模态具有一定的物理意义。八、EOF的优点九、实例分析西北干旱区不同季节地面感热通量前10个载荷向量场的方差贡献率和累积方差EOFLV1LV2LV3LV4LV5LV6LV7LV8LV9LV10冬解释方差38.79 9.73 7.73 5.93 4.93 3.89 3.31 2.88 2.56 2.45 累积方差38.79 48.52 56.25 62.18 67.11 71.00 74.31 77.19 79.75 82.20 春解释方差19.78 14.96 10.37 7.76 6.47 4.61 4.58 3.96 3.49 3.15 累积方差19.78 34.74 45

12、.11 52.87 59.34 63.95 68.53 72.49 75.97 79.12 夏解释方差23.39 14.59 8.57 7.28 5.91 5.71 4.34 4.01 3.15 2.85 累积方差23.39 37.98 46.55 53.83 59.75 65.46 69.79 73.80 76.96 79.81 秋解释方差24.87 14.46 8.44 6.79 5.50 4.61 3.99 3.81 3.61 3.40 累积方差24.87 39.33 47.77 54.56 60.06 64.67 68.66 72.47 76.08 79.48 西北干旱区夏季地面感热通

13、量EOF分析前三个模态的空间分布(左)和时间系数(右) 23.4%14.6% 8.6%感热异常的空间分布和时间演变北大西洋冬季（DJF）海平面气压EOF分析前三模态空间分布及时间演变北大西洋涛动北大西洋上两个大气活动中心（冰岛低压和亚速尔高压）的气压变化为明显负相关；当冰岛低压加深时，亚速尔高压加强，或冰岛低压填塞时，亚速尔高压减弱。G.沃克称这一现象为北大西洋涛动。北大西洋涛动强，表明两个活动中心之间的气压差大，北大西洋中纬度的西风强，为高指数环流。这时墨西哥湾暖流及拉布拉多寒流均增强，西北欧和美国东南部因受强暖洋流影响，出现暖冬；同时为寒流控制的加拿大东岸及格陵兰西岸却非常寒冷。反之北大西

14、洋涛动弱，表明两个活动中心之间的气压差小，北大西洋上西风减弱，为低指数环流。这时西北欧及美国东南部将出现冷冬，而加拿大东岸及格陵兰西岸则相对温暖。North Atlantic oscillation (NAO)第三节 旋转经验正交分解(REOF)EOF展开的前几个特征向量，可以最大限度地表征气候变量场整个区域的变率结构，但分离出的空间分布结构不能清晰表示不同地理区域的特征。利用旋转EOF(REOF)分析，可以克服EOF分析中由于区域和时间取样不一致而造成的误差。REOF的空间分布结构清晰，可以较好地反映不同地域的变化，及不同地域的相关分布状况。REOF的思路： 如果EOF分析截取了前K个空间型

15、，累积解释场得总方差已达一定要求(比如达80)，可否将这K个空间型再作调整，使得调整后得K个空间型累积解释原场的总方差的百分率保持不变，而单个空间型尽量反映场的局部相关结果。通过极大方差旋转，即将各因子轴旋转到某一位置，使每个变量在旋转后的因子轴上极大、极小两极分化，从而使分离出的典型空间模态上只有某一较小区域上有高载荷，其余区域均接近于0，使得空间结构简化、清晰。m个原变量经过EOF展开后截取前几个模态作旋转变换合适？即怎样选取典型模态个数K？如果K太小，被截留的部分主要包含场的大尺度信息，含区域性结构的信息较少。如果K很大，则截留后包含很多小尺度变化信息。K的选取方法： 1）一般使前K个模态的累积方差贡献率达到一定量（比如60-80%）。