函数的概念与基本初等函数

1、函数的概念与基本初等函数第1页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【命题预测】 1函数的单调性是历年来考查的重点，也是热点，常与其他知识结合进行考查2最值是新课标下专门给出概念的一条性质，虽说不新，但突出了其地位，单调性是求最值的一条主要途径【应试对策】 1学习函数单调性三大性质时，主要从“数”和“形”两个方面进行整体把握，从理 解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化2函数的单调性是函数最基本的性质之一，只有理解了一个函数的单调性，才能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况

2、第2页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一例如，简单的幂函数yx3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数yx3的图象的基本形状以及它的变化趋势在学习其概念时，首先应明确对应函数的定义域，其次要理解其区间性，即函数yf(x)是在给定区间上的单调性，反映的是随自变量在区间上变化时函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质第3页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一3对函数单调性的证明要明确其步骤：(1)取自变量；(2)作差；(3)判断得结论注意，定义法是严格的单调性证明，在不需进行严格证明时，可以通过作

3、图进行判断另外，在后面学习的用导数判断函数的单调性也属严格的证明因此，解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题，一般要用单调性的定义解决第4页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【知识拓展】 1判断函数单调性(求单调区间)的方法(1)从定义入手：设x1，x2A，且x10，b0)在(， 及 ，)上单调递增；在 ，0)及(0， 上单调递减第7页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一1函数单调性的概念 一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的 任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说yf(x)在

4、区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的 如果对于区间I内 的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说yf(x) 在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的 f(x1)0，y0，满足f(xy)f(x)f(y)，则不等式f(x6)f(x)1，不等式等价于 ，解得1xf(4)，则f(x 的最小值是f(4)21. 答案：12第11页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一5若f(x)|xa|在区间1，)为增函数，则实数a的取值范围是_ 解析：函数f(x)|xa|的递增区间为a，)， 由已知1，)a，)则a1. 答案：(，1第12页，共29页，2022年，5月20日，9点39

5、分，星期一用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形(3)定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论(4)判断：根据定义得出结论第13页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【例1】 (经典题)试讨论函数f(x) ，x(1,1)的单调性(其中a0) 思路点拨：可根据定义，先设1x1x21，然后作差、变形、定 号、判断；也可以

6、求f(x)的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系解：解法一：设1x1x21，则f(x1)f(x2) .1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10， 0， 0，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210. 0.因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数第14页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一解法二：f(x) ，f(x)当a0时，1x1， 0，即f(x)0，此时f(x)在(1,1)上为减函数同理，当a0时，f(x)在(1,1)上为增函数综上可知，a0时，

7、f(x)在(1,1)上为减函数；a0时，f(x)在(1,1)上为增函数 第15页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一变式1：(原创题)设函数f(x) ，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性解：函数f(x)的单调区间是(，1)及(1，)证明如下：任取x1，x2，且x1x21，则：f(x1)f(x2) 因为x1x2，所以x2x10，所以当x1x21时，x110，x210， 所以(x11)(x21)0，所以 0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上是减函数同理可证f(x)在(1，)上也为减函数第16页，共29页，2022年

8、，5月20日，9点39分，星期一求函数的单调性或单调区间的方法：(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间第17页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一 【例2】 判断函数f(x)lg(x22x)的单调性 思路点拨：求出函数的定义域，在定义域上先确定x22x的单调性，再 确定f(x)的单调性 解：由x22x0得x2或x0，所以函数的定义域为(，0)(2，) x22x在(，0)上为单调减函数， f(x)

9、lg(x22x)在(，0)上为单调减函数； x22x在(2，)上为单调增函数， f(x)lg(x22x)在(2，)上为单调增函数第18页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一 变式2：判断函数f(x) 的单调性 解：由x23x20，得x23x20，所以1x2. 因为x23x2在 上为增函数，所以f(x) 在 上是增函数； 因为x23x2在 上是减函数，所以f(x)在 上是减函数第19页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【例3】 (2010合肥168中学高三)已知函数f(x) ，x0,1 (1)求f(x)的单调区间和值域； (2)设a1，函数g(x)x33a2

10、x2a，x0,1，若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围思路点拨：(1)利用导数求f(x)的单调区间，利用单调性求函数的值域(2)由f(x)的值域是g(x)的值域的子集列出a的不等式，并由a的不等式，求出a的范围第20页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一解：(1)f(x) ，f(x)当0 x 时，f(x)0；当x 时f(x)0；当 x1，f(x)0.因此f(x)在 上递减，在 上递增又f(0) ，f 4，f(1)3，则f(x)的值域为4，3(2)由g(x)x33a2x2a得：g(x)3x23a2，又a1,0 x1，则g(x)0，

11、g(x)在0,1上递减，g(0)2a，g(1)3a22a1，即g(x)的值域为3a22a1，2a，根据已知条件 解得1a ，因此a的取值范围是 .第21页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一解：(1)f(x) x 2，x1，)，f(x)f(1) .由x1时f(x)f(1)知当x1时，f(x)最小f(1) ，函数f(x)的最小值为 ；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，即 0，x22xa0对于一切x1，)恒成立；又x22xa(x1)2a13a，由3a0得a3. 变式3：已知函数f(x) ，x1，)， (1)当a 时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x1，)，f(x

12、)0恒成立，试求实数a的取值范围第22页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【规律方法总结】 求证一个函数在某一区间上具有单调性，常用单调性的定义证明，求函数的单调区间常结合函数的图象和导数来完成，如果已知函数的单调性利于求函数的值域或最值. 第23页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【高考真题】 【例4】 (2009山东)函数y 的图象大致为() 第24页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一分析：先确定函数的定义域x|x0，再确定函数的单调性，以此利用排除法可得正确答案规范解答：由题意，得exex0，所以函数定义域为x|x0又因为 所以

13、当x0时函数为减函数又函数y是奇函数，故选A.第25页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一【命题探究】 本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质考题将函数的图象、定义域、值域、单调性等知识点交汇，构成了一道既注重基础又注重能力的中档题本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质【全解密】【课本探源】本题是江苏版数学必修1第55页第8题“已知函数f(x) ，试讨论函数f(x)的单调性”的改编题考题的函数变得复杂了，并且函数单调性问题变成了利用函数单调性讨论函数图象问题，使得考题的能力要求提高了第26页，共29页，2022年

14、，5月20日，9点39分，星期一【技巧点拨】 本题的求解需要较强的解题技巧首先，求解函数的定义域x|x0；其次，将函数化简为y1 ，可得当x0时函数为减函数进而得解这里，函数的化简、图象的观察等等，不仅需要扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧. 第27页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，星期一1已知f(x) 是(，)上的减函数，那么a的取值 范围是_ 解析：当x1时，ylogax单调递减，0a1；而当x1时， f(x)(3a1)x4a单调递减，a ，又函数在其定义域内单调递减， 故当x1时，(3a1)x4alogax，得a ，故 . 答案：第28页，共29页，2022年，5月20日，9点39分，