函数极限 (2)讲稿

1、关于函数极限 (2)第一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放第二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月通过上面演示实验的观察:问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.第三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月2.另两种情形:第五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月3.几何解释:第六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月例1 证明证故不妨设|x|1，而当|x|1时第七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月二、自变量趋向有限值时函数

2、的极限先看一个例子 这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。1xyo4第九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月注定义习惯上称为极限的定义其三个要素：10。正数，20。正数，30。不等式定义中所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x

3、0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0第十二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式 |f(x) A| 来选定，一般地，越小，越小2.几何解释:第十三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月例2 证明证于是恒有例3 设x00 证明第十四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月证恒有例4 证明证（不妨设1）第十五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第十六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月例5 证明证不妨设第十七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月注 在利用定义来验证函数极限

4、时，也可考虑对|f(x) A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。第十八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月3.单侧极限:例如,第十九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月左极限右极限第二十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月例6证左右极限存在但不相等,第二十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月三、函数极限的性质1.局部有界性2.唯一性3.不等式性质（局部）定理(保序性)第二十二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月推论定理(保号性)推论第二十三张，PPT共四十四页，创作于20

5、22年6月4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理第二十四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月证第二十五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.Heine定理，又称归并原则第二十六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月即证明设即恒有再由则对上述有又故第二十七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月设对都有要证用反证法若即但现取有满足即但此与矛盾第二十八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月例7证二者不相等,第二十九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月四、小结函数极限的统一定

6、义(见下表)第三十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 第三十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月思考题第三十二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.第三十三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月练 习 题一、填空题:第三十四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第三十五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月练习题答案第三十六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第三十七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第三十八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第三十九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第四十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月第四十一张，PPT共四十四页，创作