复变函数与积分变换1.解析

1、1.3.4 解析函数的概念1 导数与微分2 C-R条件3 解析与奇点一、复变函数的导数1、 复变函数导数的定义 定义2设 是定义在区域E上的存在，则称 在 点可导, 并把这个极限值称为 在 点的导数，记做 复变函数, z0是区域E内的定点. 若极限 定义中的极限式可以写为 即当 在 点可导时, 注意的方式是任意的. 此时，对E内任意一点z, 有 也可用 等表示 在z点的导数. 若 在区域 E内每一点都可导, 则称 在区域 E内可导.则 例1设 在复平面内处处可导，且 解因为所以例2证明 在复面内处处连续，但处处不可导. 证明对复平面内任意点z, 有 故 这说明 在复面内处处连续. 但是, 设

2、沿着平行于x 轴的方向趋向于 0, 即于是所以的导数不存在.设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即2、 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有).()()()( 000zfzzfzzfz-D-D+=Dr令 ,)()(lim000zfzzfz=D+D所以再由即在处连续. 反之, 由 知, 不可导. 但是二元实函数 连续, 于是根据 知, 函数 连续.3、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样

3、，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.其中其中与是两个互为反函数的单值函数, 且二、 解析函数 定义2.5 在区域D有定义. (1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得 在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析,也称 是 的解析点. (2) 若 在区域D内每一点都解析，则称 在区域D内解析, 或者称 是区域D内的解析函数. (3) 设G是一个区域，若闭区域 且 在G内解析，则称 在闭区域 上 解析. 函数 在 处解析和在 处可导意义不同，前者指的是在 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 处可导. 函数 在 处解析和在

4、 的某一个邻域内解析意义相同. 复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导. 反之, 设函数 在区域D内可导, 则对任意 存在z的某一个邻域U, 使得U D,由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即在z处解析.若函数 在 处不解析，则称 是 的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内, 除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数 的孤立奇点. 由例1和例2知, 函数 是全平面内的解析函数，但是函数 是处处不解析的连续函数. 根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理2.6 设函数 在区域D内解析, 则 也在D内解析. 当 时, 是的解析点. 特别

5、地, 多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 例3证明 在 处可导, 但处处不解析. 证明根据导数的定义, 因此 在 处可导，且 当 时, 由 得 故虽然但是当 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为 所以 不存在，即 在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析. 1.4.2 复函数可导与解析的充要条件 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数 u (x , y) 及

6、 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题 如何判断函数的解析性呢？一. 解析函数的充要条件 记忆定义 对于二元实函数u(x, y)和v(x, y)，方程 称为柯西-黎曼方程(简称C-R方程).定理2 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在区域D内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是（1）u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微；（2）u(x, y) ， v(x, y) 在点 (x, y )满足柯西-黎曼方程上述条件满足时，有 由

7、此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 定理2的证明略。由解析函数的定义及定理2，我们可以得到定理3.定理3 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在区域D内解析的充要条件是 （1）u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微（2）u(x, y) 和 v(x, y)在D内满足柯西-黎曼方程解析函数的判定方法: (1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接断定f (z) 在区域D内解析. (2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(

8、x,y)中的函数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续 (因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微), 并且满足柯西-黎曼方程, 则由解析函数的充要条件可以断定函数f (z)在区域D解析.判定复变函数可导性与解析性的步骤：I) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；II) 验证C-R方程；III）根据推论或定义判断函数的解析性。 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处的导数为二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则(2) f (z)=ex(cosy