单涡卷蔡氏电路的非线性时间序列分析

1、单涡卷蔡氏电路的非线性时间序列分析张捷 孙俊峰Michael Small 香港理工大学 电子及资讯工程学系，香港 九龙摘要：蔡蔡氏电路路表现出单涡卷卷引子时时，其输输出为包含一一明显周周期成分分的伪周周期时间间序列。 对于这这种时间间序列我我们采用用几种最新新提出的的方法来来分析和和刻画其其混沌动动力学特特性，包包括将时间序序列划分分为单个个Cyccle，并在时时域和相空空间中研研究其相相关性质质，以及对系系统重现现时间分分布进行行统计。这些新新的方法法进一步步加深了了我们对对蔡氏电电路单涡涡卷混沌沌吸引子子的认识识。关键词：单涡卷卷蔡氏电电路；伪周期期时间序序列；复杂网网络；重重现时间间；混

2、沌沌近年来,非线性性科学及及混沌理理论在保保密通信信，功率电电子学,自动控控制,生物医医学以及及许多其他他工程领领域获得得了广泛泛的应用用1, 比如利用用混沌同同步实现现保密通通信,和和通过反反馈方法法对混沌沌奇怪吸吸引子的的不稳定定周期轨轨道进行行控制,已成为为通讯领领域2和自控控领域的的研究热热点，并并已进入入到应用用阶段。在电路与与系统研研究中蔡蔡氏电路路一直是是一个热热点.它是目前前众多混混沌电路路中最具具代表性性的一种种,其典型型的电路路结构已已成为理理论和实实验研究究混沌的的一个范范例。蔡氏电电路能够够展现出出一系列列复杂的的混沌动动力学特特性,但对于其单涡卷吸引引子的情情形研究究

3、还较少少。蔡氏氏电路表表现出单单涡卷吸引引子时，其分量量包含一一明显的的周期成成分，见见图1。所对应应的时间间序列为为一伪周周期时间间序列。传统的的基于混混沌理论论的非线线性时间间序列分分析方法法对于伪伪周期时时间序列列往往不不适合，这是因因为伪周周期时间间序列内内在的周周期性可可能会掩掩盖原本本存在的的混沌特特性3。此外外噪声不不可避免免的会引引起传统统的混沌沌不变量量如关联联维数，李亚普普诺夫指指数的失失效3。本文采采用新的的伪周期期时间序序列的分分析方法法3，4以及状态态复现时时间（RRecuurreencee Tiime）对蔡氏电电路单涡卷吸引引子分量量进行分分析，目目的是对对这种时时

4、间序列列的确定定性成分分（如混混沌）进进行多方方面和更更为鲁棒棒的刻画画，从而而对系统统的混沌沌动力学学特性有有更深入入的理解解。这些些刻画还还可以用用于系统统辨识等等其他目目的。时间序列列的混沌沌特性检检测.Cyccle的的时域相关性性图1 (a) 蔡氏氏电路的的单涡卷卷混沌吸吸引子。（b）蔡氏电电路的分分量。对应的的方程为为：,Fig.1 (a) sinnglee-scrrolll.chhaottic atttracctorr frrom Chuua circcuitt (bb) CCorrrespponddingg tiime serriess.我们首先先将时间间序列 （个观测测值）按按

5、照局部部极大（或极小小）值分分割为个个连续的的Cyccle(周期)。对每每对Cyyclees 和和 (), 我们用用其相关关系数来来度量它它们的相相似性或或者在相相空间中中的距离离3. 事事实上，两个Cyyclee如果具具有高的的相关系系数，它它们在相相空间中中的距离离也是小小的。对对每一CCyclle ，我们将将其他所所有个CCyclle按照照其与的的距离升升序排列列，得到到个列向量量，其中是与与距离第第近的CCyclle 的的序号。将每一一()中的的第个CCyclle取出出并连缀缀在一起起我们得得到一行行向量，表示为为。很自然然的原时时间序列列可以表示示为。 可以发发现序列列与原序序列最为

6、为接近( 因为中每每一Cyyclee与原序序列相应应的Cyyclee都是距距离最近近的 )，而而为第2接接近，,以此类类推。用用表示中CCyclle的序序号，接接下来我我们寻找找满足如如下关系系的Cyyclee对:. （其其中表示示中第个元元素）。我们 用表示中满满足上述述条件的的Cyccle对对的个数数。从物物理角度度讲，这这意味着着彼此非非常接近近的两个个Cyccle 和 随时时间演化化将导致致两段非非常接近近的轨道道（或者者Cyccle链链）。对对混沌系系统，由由于邻近近轨道呈呈指数发发散，与与应满足足指数关关系，即即与是线性性关系，见图22。其斜斜率表示示相近的的Cyccle发发散的速

7、速度，称称为Cyyclee Diiverrgennce Ratte。第第2个统统计量是是Cyccle Divverggencce RRatee对于各各个的一一个平均均，称为为Aveeragge CCyclle DDiverrgennce Ratte。即即将对于于各个进进行加和和，得到到的与之间满满足一个个幂率关关系，见见图3，其斜斜率也表表示相近近的Cyyclee发散的的速度，但对噪噪声更为为鲁棒。 第3个个统计量量是Sppatiial Divvergennce Ratte它反反映了确确定性成成分如何何在中随随而减少少，见图图4。对于于混沌系系统，与与之间也也满足一一个幂率率递减关系系。以上上

8、各统计计量的详详细导出出过程可可参参见原文文3。图 xx分量的的Cyccle Divverggencce RRateeFig.2 Cyccle Divverggencce RRatee foor xx coompoonennt.图3 xx分量的的Aveeragge CCyclle DDiveergeencee RaateFig.3 AAverragee Cyyclee Diiverrgennce Ratte ffor x coompoonennt.图4 xx分量的的 Sppatiial Divverggencce RRatee.Fig.4 Spaatiaal DDiveergeencee Ra

9、ate forr x coompoonennt.Cyclle在相相空间中中相关性性在上一节节的基础础上，即即将序列列划分为为连续的的Cyccle并并用相关关系数作作为其距离的的度量，我们进进一步将将时间序序列映射射至复杂网网络域4.其中中每一CCyclle对应应于复杂杂网络中中的一个个节点，两个Cyccle是是否连接接取决于于其相关关系数是是否足够够大（大大于一阈阈值）。复杂网络络已成为为近十年来研研究的前前沿和热热点问题题4，并已已涉及到到科研和和工程中中的绝大大多数领领域。复复杂网络络的概念念为研究究复杂系系统提供供了可能能。通过过上面提提出的映映射方法法，原时时间序列列的动力力学特性性将

10、在相相应的复复杂网络络的拓扑扑结构中中得到体体现，而而网络拓拓扑结构构的统计计量就可可以被用用来刻画画时间序序列的时时域特性。图5给出了了时间序序列所对对应的复复杂网络络。可以以看到它它具有高高度的聚聚类特性性，而所所有的节节点（即即cyccle）位于一一个低维维的流形形结构上上说明原原时间序序列源于于一确定定性的低低维系统统。图66给出了了在一系系列不同同的阈值值下所得得到的复复杂网络络的度分分布曲线线。图中中的尖峰峰对应于于系统的的不稳定定周期轨轨道（UUPO）。而不不同混沌沌系统的的UPOO的分布布的差别别就可以以通过图图6中的22维度分分布来整整体研究究。这里里由于篇篇幅限制制仅给出出

11、一个初初步结果果，可以用用更多的的复杂网网络拓扑扑结构统统计量对对原系统统做更深深入的研研究和刻刻画。图5 由由x 分量量构造的的复杂网网络。Fig.5 Commpleex nnetwworkk buuiltt frrom x coomponnentt.图6 xx 分量量构造的的复杂网网络的二二维度分分布Fig.6 2DD deegreee ddisttribbutiion froom tthe commpleex nnetwworkk buuiltt frrom x coomponnentt.复现时间间分析动力学系系统的状状态复现现是混沌沌系统的的一个重重要特征征。近年年来，关关于状态态复现

12、时时间（RRecuurreencee Tiime）的统计计研究表表明混沌沌系统的的平均状状态复现现时间遵遵循一个个幂率关关系（ppoweer-llaw）5, 并并且这种种关系可可以用于于检测因因参数漂漂移而导导致的非非平稳性性，定位位分叉等等6。状态态复现还还广泛应应用于混混沌时间间序列的的降噪、预测、及时频频分析7，并且且能揭示示混沌系系统的时时间拓扑扑关系。下面对蔡蔡氏电路路（Chhuas Ciircuuit）模拟产产生的数数据进行行复现时时间统计计。 对于时间间序列，先用时时间延迟迟方法进进行相空空间重构构得到相相矢量序序列，其中中为时间间延迟， 为嵌嵌入维数数。 然然后对于于给定的的参

13、考相相点定义义其近邻邻点集，其中为为近邻点点集的半半径，并并把这些些近邻点点按下标标升序排排列如下下，其中中为近邻邻点的个个数（如如果所研研究的混混沌系统统具有遍遍历性，那么参参考相点点可以任任意选取取）。这这些近邻邻点为参参考相点点的庞家家莱复现现点（PPoinncarre rrecurrrennce poiint）。定义义第一类类复现时时间为：，。对于于由连续续时间系系统得到到的时间间序列，小的延延迟时间间会导致致同一条条近邻轨轨道（复复现轨道道）上有有多个连连续的相相点被作作为近邻邻点（如如图7）。显显然，同同一个轨轨道上的的近邻点点相互之之间的复复现时间间很短（一个或或数个），第一一类

14、复现现时间并并不能很很好地表表征系统统相轨道道的复现现。为此此，可在在每个近近邻轨道道中仅取取离参考考相点最最近的一一个相点点组成第第二类近近邻点集集。同样样把第二二类近邻邻点按下下标升序序排列并并计算下下标差值值可得第第二类复复现时间间。R1R0R2图7 近邻点点集示意意图。RR0表示参参考轨道道，R11表示第第一条近近邻轨道道，R22表示第第二条近近邻轨道道，黑点点表示参参考相点点，其他他圆点表表示第一一类近邻邻点，其其中灰点点表示第第二类近近邻点，大圆环环表示近近邻点集集。Fig 7 Schhemaaticc off reecurrrennce poiint.对于由连连续时间间系统得得到

15、的时时间序列列，研究究表明第第一类复复现时间间的均值值遵循一一个幂率率关系：，其中中是混沌沌系统的的信息维维（innforrmattionn diimennsioon）；第二二类复现现时间的的均值也也遵循幂幂率关系系：5。对由由蔡氏电电路得到到的时间间序列进进行复现现时间统统计分析析得到的的结果如如图8所示（为方便便比较近近邻点集集半径与与重构吸吸引子大大小，在在进行相相空间重重构之前前先把时时间序列列归一化化到区间间0 1）。图88表明对对于蔡氏氏电路的的时间序序列，很很好地遵遵循幂率率关系（如A所所示），其斜率率随参考考相点而而变，这这反映了了吸引子子的不同同部位的的状态复复现频率率不同。

16、在半径径较大的的区间（如所所示）也也很好地地遵循幂幂率关系系。当半半径较小小时，第第一类近近邻点集集基本上上也只能能在每个个近邻轨轨道上取取一个近近邻点，即第一一类近邻邻点集和和第二类类近邻点点集基本本一样，故和在较小的的区间表表现一致致。图8 平均复复现时间间与近邻邻点集半半径之间间的幂率率关系。Fig.8 Thee poowerr-laaw sscallingg off thhe mmeann off reecurrrennce timme vverssus thee raadiuus oof nneigghboorhoood.结束语本文对单单涡卷蔡蔡氏电路路的伪周期期时间序序列输出出进行

17、了了非线性性时间序序列分析析。结果果表明将将序列划划分为单单个Cyyclee，并从从时域和和相空间间中进行行研究其其相关特特性，以以及对状状态复现现时间的的统计能能够更好好的揭示示和刻画画原系统统的混沌沌动力学学特性。参考文献献Chuaa L O. Thee geenessis of Chuuass ciircuuit J . Intt . J . Ellecttronn. CCommmun , 119922 , 46 (4) : 2500-2577.Cruzz J M aand Chuua LL O 19993 IIEEEE. Trranss . Cirrc SSystt . 40 6144

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