创新型问题解题策略

1、创新型问题解题策略专题辅导【考情分析】新课程标准要求学生对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和探究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致，具有创新意识和创新思维的新题。从最近几年来高考中探索性问题和创新题型比重逐年攀升，对探索性问题和创新型问题的预测研究应该是我们备考的重点。预测12年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何等方面，估计新课标省市试题中此类题目分值10分左右（上海、广东、江苏较为典型），并且

2、主观题、客观题设置较为灵活。今年高考多会结合合情推理知识点出探索性问题（特别是解答题），应加强对这些内容的研究；创新题型多出现与经济、生活密切相关（像概率、线性规划等）的数学问题相关的问题有关，题目新颖，数学知识并不复杂。关注以下两种类型：1、类比比归纳型型类比归纳纳型创新新题给出出了一个个数学情情景或一一个数学学命题，要求用用发散思思维去联联想、类类比、推推广、转转化，找找出类似似的命题题，或者者根据一一些特殊殊的数据据、特殊殊的情况况去归纳纳出一般般的规律律这是是新课程程较为重重视的类类比推理理、归纳纳推理主要考考查学生生的观察察、分析析、类比比、归纳纳的能力力，从不不变中找找规律，从不变

3、变中找变变化。2、信息息迁移型型创新题是是指以学学生已有有的知识识为基础础，并给给出一定定容量的的新信息息，通过过阅读，从中获获取有关关信息，捕捉解解题资料料，发现现问题的的规律，找出解解决问题题的方法法，并应应用于新新问题的的解答它既能能有效地地考查学学生的思思维品质质和学习习潜力，又能考考查学生生的综合合能力和和创新能能力。【知识交交汇】1探索索型问题题常见的探探索性问问题，就就其命题题特点考考虑，可可分为归归纳型、题设开开放型、结论开开放型、题设和和结论均均开放型型以及解解题方法法的开放放型几类类问题；（1）结结论开放放型探索索性问题题的特点点是给出出一定的的条件而而未给出出结论，要求在

4、在给定的的前提条条件下，探索结结论的多多样性，然后通通过推理理证明确确定结论论；（2）题题设开放放型探索索性问题题的特点点是给出出结论，不给出出条件或或条件残残缺，需需在给定定结论的的前提下下，探索索结论成成立的条条件，但但满足结结论成立立的条件件往往不不唯一，答案与与已知条条件对整整个问题题而言只只要是充充分的、相容的的、独立立的，就就视为正正确的；（3）全全开放型型，题设设、结论论都不确确定或不不太明确确的开放放型探索索性问题题，与此此同时解解决问题题的方法法也具有有开放型型的探索索性问题题，需要要我们进进行比较较全面深深入的探探索，才才能研究究出解决决问题的的办法来来。解探索性性问题应应

5、注意三三个基本本问题:认真审审题,确定目目标；深深刻理解解题意;开阔思思路,发散思思维，运运用观察察、比较较、类比比、联想想、猜想想等带有有非逻辑辑思维成成分的合合理推理理,以便为为逻辑思思维定向向。方向向确定后后，又需需借助逻逻辑思维维,进行严严格推理理论证,这两种种推理的的灵活运运用,两种思思维成分分的交织织融合,便是处处理这类类问题的的基本思思想方法法和解题题策略。解决探索索性问题题，对观观察、联联想、类类比、猜猜测、抽抽象、概概括诸方方面有较较高要求求，高考考题中一一般解这这类问题题有如下下方法：（1）直直接法：直接从从给出的的结论入入手，寻寻求成立立的充分分条件；直接从从给出的的条件

6、入入手，寻寻求结论论；假设设结论存存在（或或不存在在），然然后经过过推理求求得符合合条件的的结果（或导出出矛盾）等；（2）观观察猜测证明（3）特特殊一般特殊其解法是是先根据据若干个个特殊值值，得到到一般的的结论，然后再再用特殊殊值解决决问题；（4）联联想类比比（5）赋赋值推断断（6）几几何意义义法几何意义义法就是是利用探探索性问问题的题题设所给给的数或或式的几几何意义义去探索索结论，由于数数学语言言的抽象象性，有有些探索索性问题题的题设设表述不不易理解解，在解解题时若若能积极极地考虑虑题设中中数或式式的几何何意义所所体现的的内在联联系，巧巧妙地转转换思维维角度，将有利利于问题题的解决决；2创新

7、新题型根据现行行的教学学大纲和和国家数数学课程程标准的的要求，结合中中学数学学教材的的内容及及我国的的经济发发展的要要求，在在实际问问题中侧侧重如下下几种模模型：（1）社社会经济济模型 现值、终终值的计计算及应应用（计计息、分分期付款款、贴现现等），投资收收益，折折旧，库库存，经经济图表表的运用用；（2）拟拟合模型型数据的利利用、分分析与预预测（线线形回归归、曲线线拟合）等问题题；（3）优优化模型型科学规规划，劳劳动力利利用，工工期效益益，合理理施肥，最值问问题，工工程网络络，物资资调用等等问题；（4）概概率统计计模型彩彩票与模模型，市市场统计计，评估估预测，风险决决策，抽抽样估计计等问题题；

8、（5）几几何应用用模型工工厂选址址，展开开、折叠叠，视图图，容器器设计，空间量量的计算算，轨迹迹的应用用等；（6）边边缘学科科模型与与理、化化、生、地、医医等相关关方面的的问题。【思想方方法】题型1：探索问问题之直直接法例1（20111年山山东理111）设，是平面面直角坐坐标系中中两两不不同的四四点，若若 (RR)，(RR)，且且,则称，调和分分割， ,已知点点C(c，o),D(dd，O) (cc，dR)调调和分割割点A(0，00)，BB(1，0)，则则下面说说法正确确的是（A）CC可能是是线段AAB的中中点 （B）DD可能是是线段AAB的中中点（C）CC，D可可能同时时在线段段AB上上 （D

9、）CC，D不不可能同同时在线线段ABB的延长长线上【答案】D；【解析】由 (RR)，(RR)知:四点，在同一一条直线线上,因因为C,D调和和分割点点A,BB,所以以A,BB,C,D四点点在同一一直线上上,且, 故选选D.例2（20110辽宁宁理，12)有四根根长都为为2的直直铁条，若再选选两根长长都为aa的直铁铁条，使使这六根根铁条端端点处相相连能够够焊接成成一个三三棱锥形形的铁架架，则aa的取值值范围是是 (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）【答案】A【命题立立意】本本题考查查了学生生的空间间想象能能力以及及灵活运运用知识识解决数数学问题题的能力力。【解析】根据条

10、条件，四四根长为为2的直直铁条与与两根长长为a的的直铁条条要组成成三棱镜镜形的铁铁架，有有以下两两种情况况：（11）地面面是边长长为2的的正三角角形，三三条侧棱棱长为22，a，a，如如图，此此时a可可以取最最大值，可知AAD=，SD=，则有有2+，即，即即有a0;综上分析析可知aa（0,）。点评：这这也是一一道结论论探索型型问题，结论不不唯一，应从题题设出发发，通过过分类以以简化思思维，再再利用射射影的概概念，得得到正确确的结论论。例3已已知函数数(a,cR,a0,b是自然然数）是是奇函数数，f(x)有最大大值，且且f(1).（1）求函函数f(x)的解析析式；（2）是否否存在直直线l与y=f(

11、x)的图象象交于PP、Q两点，并且使使得P、Q两点关关于点（1，0）对称称，若存存在，求求出直线线l的方程程，若不不存在，说明理理由.分析：本本题考查查待定系系数法求求函数解解析式、最值问问题、直直线方程程及综合合分析问问题的能能力.解析：（1）f(x)是奇函函数，f(x)=f(x)，即，bx+c=bxc，c=0，f(xx)=.由a0，b是自然然数得当当x0时，f(x)00，当x00时，f(x)0，f(x)的最大大值在xx0时取得得.x00时，当且且仅当即时，ff(x)有最大大值=1,a=b2 又f(11)，,5b2a+2 把代入入得2b25b+20解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=

12、（2）设设存在直直线l与y=f(x)的图象象交于PP、Q两点，且P、Q关于点点（1，0）对称称，P(x00,y0)则Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得得x0=1,P点坐标标为()或()，进而相应应Q点坐标标为Q（）或Q()，过P、QQ的直线线l的方程程：x4y1=00即为所所求。点评：充充分利用用题设条条件是解解题关键键.本题是是存在型型探索题题目，注注意在假假设存在在的条件件下推理理创新，若由此此导出矛矛盾，则则否定假假设，否否则，给给出肯定定的结论论，并加加以论证证。题型2：探索问问题“观察猜测证明”例4（20111上海海文，23）已知数数列和的通项项公式分分别为

13、，（），将将集合中中的元素素从小到到大依次次排列，构成数数列。（1）求求三个最最小的数数，使它它们既是是数列中中的项，又是数数列中的的项；（2）中中有多少少项不是是数列中中的项？说明理理由；（3）求求数列的的前项和和（）。解： 三项项分别为为。 分别别为 ， 。例5.（20003高考考上海卷卷）已知知数列（n为正整整数）是是首项是是a1，公比比为q的等比比数列。 （1）求和和：（2）由由（1）的结结果归纳纳概括出出关于正正整数nn的一个个结论，并加以以证明.（3）设设q11，Sn是等比比数列的的前n项和，求：，解析：（1）（2）归归纳概括括的结论论为：若数列是是首项为为a1，公比比为q的等比比

14、数列，则：（3）因因为 例6、（20111陕西西理，113）观观察下列列等式1=12+3+4=993+4+5+66+7=254+5+6+77+8+9+110=449照此规律律，第个个等式为为 .【分析】归纳总总结时，看等号号左边是是子的变变化规律律，右边边结果的的特点，然后归归纳出一一般结论论行数数、项数数及其变变化规律律是解答答本题的的关键【解】把把已知等等式与行行数对应应起来，则每一一个等式式的左边边的式子子的第一一个数是是行数，加数的的个数是是；等式式右边都都是完全全平方数数， 行行数 等等号左边边的项数数1=1 1 112+3+4=99 22 33+4+5+66+7=25 3 54+5

15、+6+77+8+9+110=449 4 7 所以，即【答案】题型3：探究问问题之“特殊一般特殊”例7设设二次函函数f(x)=ax22+bxx+c (a,b,ccR,aa0)满足条条件：当xR时，f(x4)=f(22x)，且且f(xx)xx；当x(0,2)时时，f(x)；f(xx)在R上的最最小值为为0。求最大值值m(mm1)，使得得存在ttR，只要要x1,m，就有ff(x+t)x分析：本本题先根根据题设设求出函函数f（x）解析析式，然然后假设设t存在，取x=1得t的范围围，再令令x=mm求出m的取值值范围，进而根根据t的范围围求出mm的最大大值。解法一：f(xx-4)=f(2-xx)，函数的的

16、图象关关于x= -11对称 即b=2aa由知当当x= 1时时,y=0，即即abb+c=0；由得 f(11)11，由得 f(1)1。f(11)=11，即a+b+cc=1，又abb+c=0，a=、b=、c=，f(xx)=，假设存在在tR，只要要x1,m，就有ff(x+t)x，取x=11时，有有f(tt+1)1(t+11)2+(t+1)+144t0，对固定的的t4,00，取取x=m，有有：f(tm)m(tt+m)2+(t+m)+mm2(1tt)m+(t22+2tt+1)0，m m=9，当t= -4时时，对任任意的xx1,9，恒有ff(x4)x=(x2100 x+99)=(x11)(xx9)0，m的最

17、最大值为为9。解法二：f(xx-4)=f(2-xx)，函数的的图象关关于x=1对称， ，b=2aa。由知当当x= 1时时,y=0，即即abb+c=0；由得 f(11)11，由得 f(1)1。f(11)=11，即a+b+cc=1，又ab+cc=0a= b= cc=f(xx)=(x+1)22 ， 由由f(xx+t)=(xx+t+1)22x 在x1,m上上恒成立立 4ff(x+t)-x=x2+2(t-11)x+(t+1)220当x1,m时时，恒成成立； 令令 x=1有t2+4tt04tt0令x=mm有t2+2(m+11)t+(m-1)220当t-44,0时，恒恒有解；令t= 4得得，m210mm+9

18、01m99，即当t= 44时，任任取x1,9恒恒有f(x-44)-xx=(xx2100 x+99)=(x11)(xx9)0， mmmin=9。点评：本本题属于于存在性性探索问问题，处处理这道道题的方方法就是是通过xx的特殊殊值得出出t的大致致范围，然后根根据t的范围围，再对对x取特殊殊值，从从而解决决问题。题型4：探究性性问题之之“联想类类比”例8（20111年湖湖北理，15）给个自上上而下相相连的正正方形着着黑色或或白色。当时，在所有有不同的的着色方方案中，黑色正正方形互互不相连连的着色色方案如如下图所所示：由此推断断，当时时，黑色色正方形形互不相相连的着着色方案案共有 种，至至少有两两个黑

19、色色正方形形相连的着着色方案案共有 种，（结果用用数值表表示）解析：当当n=66时，如如果没有有黑色正正方形有有1种方方案，当当有1个个黑色正正方形时时，有66种方案案，当有有两个黑黑色正方方形时，采用插插空法，即两个个黑色正正方形插插入四个个白色正正方形形形成的55个空内内，有CC=100种方案案，当有有三个黑黑色正方方形时，同上方方法有CC=4种种方案，由图可可知不可可能有44个，55个，66个黑色色正方形形，综上上可知共共有1+6+110+44=211种方案案将6个正正方形空空格涂有有黑白两两种颜色色，每个个空格都都有两种种方案，由分步步计数原原理一共共有266种方案案，本问问所求事事件

20、为第第一问事事件的对对立事件件，故至至少有两两个黑色色正方形形相邻的的着色方方案有226211=433种点评：本本题主要要考查排排列组合合、计数数原理等等内容，考查了了类比推理理能力例9（20110陕西西文，11）观察下下列等式式：13323（112）2，132333（1123）22，13233343（112344）2，根据据上述规规律，第第四个等等式为1323334353（1123445）2（或1152）.解析：第第i个等等式左边边为1到到i+11的立方方和，右右边为11到i+1和的的完全平平方，所所以第四四个等式式为1323334353（1123445）2（或1152）。例10(20003

21、年年上海市市春季高高考题）设，利利用课本本中推导导等差数数列前nn项和的的公式的的方法，可求得得的值是是 。分析：利利用f（1-xx）+f（x）=，可求求=。题型5：探究性性问题之之“赋值推推断”例11（20011年年江西文文，100）如图图，一个个“凸轮轮”放置置于直角角坐标系系X轴上上方，其其“底端端”落在在原点OO处，一一顶点及及中心M在在Y轴正正半轴上上，它的的外围由由以正三三角形的的顶点为为圆心，以正三三角形的的边长为为半径的的三段等等弧组成成.今使“凸凸轮”沿沿X轴正正向滚动动前进，在滚动动过程中中“凸轮轮”每时时每刻都都有一个个“最高高点”，其中心心也在不不断移动动位置，则在“凸

22、轮”滚动一一周的过过程中，将其“最高点点”和“中心点点”所形形成的图图形按上上、下放放置，应应大致为为（ ）答案：AA 根据据中心MM的位置置，可以以知道中中心并非非是出于于最低与与最高中中间的位位置，而而是稍微微偏上，随着转转动，MM的位置置会先变变高，当当C到底底时，MM最高，排除CCD选项项，而对对于最高高点，当当M最高高时，最最高点的的高度应应该与旋旋转开始始前相同同，因此此排除BB ,选选A。例12.（20004年高高考江苏苏卷）二二次函数数y=aax2+bxx+c(xR)的部分分对应值值如下表表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式式ax2+bxx+c0的解解

23、集是。题型6：探究性性问题之之“几何意意义法”例13设x、y为实数数，集合合A(x,y)|y2x1=00,BB=(x,y)|16xx2+8xx2yy+5=0,C=(x,yy)|ykx+b，问是是否存在在自然数数k,bb使（AB）C？分析：此此题等价价于是否否存在自自然数kk，b，使得得直线yykx+b与抛抛物线yy2x1=00和16x2+8xx2yy+5=0都没没有交点点。解析：因因为抛物物线y2x1=00和16x2+8xx2yy+5=0在y轴上的的截距分分别为11、，所以以取b=2，由由无实数数解，得得，从而而k=11，此时方程程组无实实数解.故存在在k=11，b=22满足（AB）C.点评：

24、与与集合运运算有关关的一类类探索性性问题，它的题题设往往往都具有有鲜明的的几何意意义。题型7：开放型型题目例14（社会会经济问问题）（20111湖北北理，117）提高过过江大桥桥的车辆辆通行能能力可改改善整个个城市的的交通状状况。在在一般情情况下，大桥上上的车流流速度vv（单位位：千米米/小时）是车流流密度xx（单位位：辆/千米）的函数数。当桥桥上的的的车流密密度达到到2000辆/千米时时，造成成堵塞，此时车车流速度度为0；当车车流密度度不超过过20辆/千米时时，车流流速度为为60千米米/小时，研究表表明；当当时，车车流速度度v是车流流密度xx的一次次函数（）当当时，求求函数的的表达式式;（）

25、当当车流密密度为多多大时，车流量量（单位位时间内内通过桥桥上某观观点的车车辆数，单位：辆/每小时时）可以以达到最最大，并并求出最最大值（精确到到1辆/小时）本小题主主要考查查函数、最值等等基础知知识，同同时考查查运用数数学知识识解决实实际问题题的能力力。（满满分122分）解：（）由题题意：当当；当再由已已知得故函数数的表达达式为 （）依题题意并由由（）可得得当为增增函数，故当时时，其最最大值为为6020=12000；当时，当且仅仅当，即即时，等等号成立立。所以，当在区区间220，2200上取得得最大值值综上，当时，在区间间0，2000上取取得最大大值。即当车车流密度度为1000辆/千米时时，车

26、流流量可以以达到最最大，最最大值约约为33333辆辆/小时时。例15（拟合合问题）“人口问问题”是我国国最大社社会问题题之一,估计人人口数量量和发展展趋势是是我们制制定一系系列相关关政策的的基础.由人口口统计年年鉴，可可查得我我国从119499年至19994年年人口数数据资料料如下：年1949919544195991964419699人口数（百万）541.67602.66672.09704.99806.71年1974419799198441989919944人口数（百万）908.59975.4210344.75511066.76611766.744试估计我我国19999年年的人口口数.（第一一

27、届北京京高中数数学知识识应用竞竞赛初赛赛题五）方法1 ：(利用计计算器) (11) 在在坐标系系中描出出数据的的散点图图,直观判判断散点点近似在在一直线线上；(2) 用回归归直线作作为其拟拟合模型型,为便于于计算,可将数数据适当当简化,再用计计算器计计算相应应的数据据之和.771255a2255b=2221 8600.555, 由 2255a10bb=85530.38, 解解得 aa=144.5110 006,bb=5226.5561 6.(3) 预测测：根据据上述模模型，当当x=550(即即20005年)时，y=1 2252.0644 612.52（亿） Xi0510152025Yi541.

28、67602.66672.09704.99806.71908.59Xi2Yi2Xi30354045225Yi975.4210344.75511066.76611766.74485300.388Xi271255Yi22218860.55例16（优化化问题）（20007年年四川理理9文111）某某公司有有60万万元资金金，计划划投资甲甲、乙两两个项目目，按要要求对项项目甲的的投资不不小于对对项目乙乙投资的的倍，且且对每个个项目的的投资不不能低于于5万元元，对项项目甲每每投资11万元可可获得00.4万元元的利润润，对项项目乙每每投资11万元可可获得00.6万万元的利利润，该该公司正正确规划划投资后后，

29、在这这两个项项目上共共可获得得的最大大利润为为（）（A）336万元元 （B）31.2万元元（C）330.44万元 （D）24万元元解析：选选B对对甲项目目投资224万元元，对乙乙项目投投资366万元，可获最最大利润润31.2万元元因为为对乙项项目投资资获利较较大，故故在投资资规划要要求内（对项目目甲的投投资不小小于对项项目乙投投资的倍倍）尽可可能多地地安排资资金投资资于乙项项目，即即对项目目甲的投投资等于于对项目目乙投资资的倍时时可获最最大利润润这是是最优解解法。也也可用线线性规划划的通法法求解注意线线性规划划在高考考中以应应用题型型的形式式出现。例17（概率率模型）（20111年重重庆文，17）某市公公租房的的房源位位于A、B、CC三个片片区，设设每位申申请人只只申请其其中一个个片区的的房源，且申请请其中任任一个片片区的房房源是等等可能的的，求该该市的任任4位申申请人中中： （I）没有有人申请请A片区区房源的的概率； （II）每每个片区区的房源源都有人人申请的的概率。解：这是是等可能能性事件件的概率