初等矩阵和方阵的逆矩阵

1、初等矩阵和方阵的逆矩阵第1页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一1.下面三种变换称为矩阵的初等行变换. 把上述定义中的 “行” 换成 “列”, 即得到初 等列变换的定义 (相应的记号是把“r”换成“c”).初等行变换与初等列变换统称为初等变换.(1) 对调两行(对调i, j两行记为ri rj),(2) 以非零的数k乘某一行中的所有元素 (第i行乘以k记为kri),(3) 把某一行所有元素的k倍加到另一行对 应的元素上去(第j行的k倍加到第i行记 为ri+krj).第一章 矩阵第2页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第3页，共24页，202

2、2年，5月20日，13点35分，星期一2. 阶梯形矩阵与行最简形矩阵 则称A为行阶梯形矩阵. 这时称A中非零行的行数为A的阶梯数. 例如如果矩阵A满足如下条件 若A有零行(元素全为零的行), 则零行位于 最下方, 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为 零的元)的列标随行标的递增而递增,1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,第一章 矩阵第4页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一则称A为行最简形矩阵. 例如 如果阶梯阵A还满足如下条件： 各非零首元全为1, 非零行的非零

3、首元所在列的其余元素全为0, 1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0第一章 矩阵矩阵的等价，等价标准形第5页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第6页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一E(i, j) = 第i行1 1 0 11 01 1 1 1 第j行第i列第j列 第一章 矩阵第7页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一E(i(k) = 第i行1 k 1 1 第i列1 第一章 矩阵第8页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一E(i, j(k) = 第i行1 k 1 1

4、第j行第i列第j列1 第一章 矩阵第9页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一x 二. 初等矩阵 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3 y z a b c 1 2 a b c x y z 1 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 第一章 矩阵第10页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一a1 0 0 0 1 0 0 0 k 3k bc x y z k 2k a b c x y z 1 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 k k 第一章 矩阵第11页，共24页，2022

5、年，5月20日，13点35分，星期一a+kx 1 k 0 0 1 0 0 0 1 3 b+ky c+kz x y z 1 2 a b c x y z 1 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 k 0 0 1 0 0 0 1 k 第一章 矩阵第12页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一a x 1 b y 2 c z 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 = x 3 a 1 y b 2 z c 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 第一章 矩阵第13页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一 第一章 矩阵a x

6、1 b y 2 c z 3 1 0 0 0 1 0 0 0 k = x 3k a k y b 2k z c a x 1 b y 2 c z 3 1 k 0 0 1 0 0 0 1= ak+x 3 a 1 bk+y b 2 ck+z c 第14页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第15页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第16页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第17页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第18页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第19页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第20页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第21页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第1章 矩阵 第22页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期一第一章 矩阵 1.5 方阵的逆矩阵 例1. 设 A = , 求A1. 3 -1 0 -2 1 12 -1 4例2. 设A = , , B = 0 15 05 5求矩阵X使AX = B.3 -1 0 -2 1