分离变量法第一节预备知识

1、分离变量法第一节预备知识第1页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一 分离变量法基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成特征值问题。 分离变量法理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 特征值（本征值）理论。分离变量法又称特征展开法和Fourier级数方法第2页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一第一节：预备知识第3页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一1.下面的定理叙述了Fourier级数展开的一个结论定理1设函数 f 是以 2L 为周期的函数，在-L,L上满足Dirich

2、let条件，即在-L,L上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点则在 -L,L 上，f 可以展成 Fourier 级数：上式的含义：在 f 的连续点处取等号，在 f 的间断点处取其左右极限的平均值，其中第4页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一如果 f 是奇函数，则其中,注1. 在定理1的条件下，如果 f 是偶函数，则其中,第5页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一对 应用定理1，可知在 0,L 上，注2. 如果 f 在 0,L 上满足 Dirichlet 条件将 f 展开成 Fourier 级数的方法其中,方法1. 将 f 延拓成整个实轴上 2L 周

3、期的“奇函数” 第6页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一其中,方法2. 将 f 延拓成整个实轴上 2L 周期的偶函数 对 应用定理1，可知在 0,L 上，第7页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一例1. 把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有在 x = 2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一(2) 将 作偶周期延拓,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，

4、星期一2.正交函数系，标准正交系，带权函数的正交函数系定义. 一列函数 构成的函数系称为在 a,b 上正交, 如果正交系 称为标准正交的，如果函数系在 a,b 上称为带权函数 r(x) 正交的，如果第10页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一例2 是 0, L 上的正交函数系；是 -L, L上的正交函数系，但不是 0, L 上的正交函数系是 0, L 上的正交函数系；是的正交函数系上带权函数第11页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一完备正交函数集： 如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足 则称此函数集为完备正交

5、函数集。(可比较课本上的定义)( i =1，2，n)第12页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一对应的特征方程： 两个根： .3. 常系数二阶线性常微分方程的通解(3)(1) 为相异实数，通解为:(2) 为相同实数，通解为：为两个虚数，通解为：第13页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一例3.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例4. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一4 欧拉 (Euler)

6、 方程 变系数的线性微分方程 , 一般来说不易求解 ,但有些特殊的变系数线性微分方程可通过变量代换化为常系数线性微分方程 . 欧拉方程就是一种可化为常系数方程的方程 .方程(1)称为二阶欧拉方程 , 其中 a , b 为常数 .而称 n 阶方程(2)为 n 阶欧拉方程 , 其中 为常数 .第15页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一二阶欧拉方程 (1) 的求解令则 t = lnx ,代入方程 (1) 有第16页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一即(3)这是一二阶线性常系数微分方程 .例5求方程 的通解 . 解这是一二阶欧拉方程令则 t = lnx ,原

7、方程可化为特征方程特征根齐次方程的通解:第17页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一设非齐次方程的特解:代入方程解得所以非齐次方程的通解原方程的通解第18页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一5.线性方程的叠加原理n阶线性常微分方程的一般形式为其中a1(x),an1(x),an(x)和f(x)均为x的已知连续函数.如果f(x)0,则式(9.22)变为第19页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一定理 (线性常微分方程解的性质定理)(1) 齐次线性方程组的叠加原理: 如y1(x), , ym(x)是n阶齐次线性方程(9.23)的m个解,则

8、它们的线性组合y(x)=C1y1(x)+Cmym(x)也是方程(9.23)的解,其中C1,Cm为任意常数;第20页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一(2) 非齐次线性方程解的叠加原理:如果y1(x)和y2(x)分别为非齐次线性方程和的解,则y1(x)+y2(x)是非齐次线性方程.的解第21页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一线性偏微分定解问题的叠加性质L称为算子，偏微分方程可以用算子作用在函数上标示出来非齐次方程 Lu=f(x,y,z,t) 齐次方程 Lu=01. 算子 第22页，共24页，2022年，5月20日，10点59分，星期一2. 性质u2是齐次方程的解 Lu2=0Lu1=f1) 分别是齐次方程的解 2)