大学有限单元法课件

1、第一章 绪论计算机辅助工程（CAE）是一种迅速发展的信息技术，是实现重大工程和工业产品的计算分析、模拟仿真与优化设计的工程软件，是支持工程科学家进行创新研究和工程师进行创新设计的、最重要的工具和手段。1.1.1 有限单元法有限单元法（以下简称为有限元法）是在当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法。将一个表示结构或连续体的求解域离散为有限个简单单元的组合，并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体，从而将一个连续的无限自由度的问题简化为离散的有限自由度问题。2.真实系统有限元模型有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点具有一定的自由度。齿轮有限元模型3.1

2、.2 有限单元法的发展历史4.1.3 有限单元法的应用土木工程5.轴承强度分析机械工程6.机械工程三维椭圆封头开孔补强7.车辆工程8.航空工程9.生物工程10.核电工程11.冶金工程钢板精轧机热轧制有限元分析12.1.4 有限元常用软件从20世纪70年代开始，基于有限元法在结构线性分析方面已经成熟，并被工程界广泛采用，一批由专业软件公司研制的大型通用商业软件（如NASTRAN，ASKA，SAP，ANSYS，MARC，ABAQUS，JIFEX等）公开发行和被应用。它包含众多的单元型式、材料模型及分析功能，并具有网格自动划分、结果分析和显示等先后处理功能。13.ANSYS 简介1970 年成立的美

3、国ANSYS公司是世界CAE行业最著名的公司之一,长期以来一直致力于设计分析软件的开发、研制,其先进的技术及高质量的产品赢得了业界的广泛认可。在我国,ANSYS用户也越来越多,三峡工程、二滩 电站、黄河下游特大型公路斜拉桥、国家大剧院、浦东国际机场等在结构设计时都采用了ANSYS作为分析工具。14.ANSYS中国http：/15.2022/9/316ANSYS功能概览结构分析热分析电磁分析流体分析 (CFD)耦合场分析 - 多物理场.2022/9/317结构分析用于确定结构的变形、应变、应力及反作用力等.结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这个术语是一个广义的概念，它包括土木工程

4、结构，如桥梁和建筑物；汽车结构，如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结构，如飞机机身等；同时还包括机械零部件，如活塞，传动轴等等。ANSYS 结构分析.结构分析的类型:静力分析 - 用于静态载荷. 可以考虑结构的线性及非线性行为，例如: 大变形、大应变、接触、塑性及蠕变等.模态分析 - 计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析 是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变。谐响应分析 - 确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.瞬态动力学分析 - 确定结构对随时间任意变化的载荷的响应. 特征屈曲分析 - 用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状. 专项分析: 断裂分析, 复

5、合材料分析，疲劳分析18.19.2022/9/320用于模拟冲击、碰撞、快速成型等问题.载有假人的汽车撞击刚性墙壁的有限元模拟 .2022/9/321ANSYS热分析概览热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力. ANSYS功能:相变 (熔化及凝固), 内热源 (例如电阻发热等)三种热传递方式 (热传导、热对流、热辐射)ANSYS 热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的获取或损失、热梯度、热通量等.工件淬火3.06 min 时的温度分布 (NSHT3D)22.2022/9/323ANSYS电磁分析概览磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、磁力矩、阻

6、抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等.磁场可由电流、永磁体、外加磁场等产生.磁场分析 用于计算磁场.2022/9/324磁场分析的类型:静磁场分析 - 计算直流电（DC)或永磁体产生的磁场.交变磁场分析 - 计算由于交流电(AC)产生的磁场.瞬态磁场分析- 计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场.电磁接触：磁悬浮列车仿真.2022/9/325电场分析 用于计算电阻或电容系统的电场. 典型的物理量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热等.高频电磁场分析 用于微波及RF无源组件，波导、雷达系统、同轴连接器等分析.2022/9/326ANSYS 流体分析 概览流体分析 用于确定流体的流动及热行为. 流体

7、分析分以下几类:CFD - ANSYS/FLOTRAN 提供强大的计算流体动力学分析功能，包括不可压缩或可压缩流体、层流及湍流，以及多组份流等.声学分析 - 考虑流体介质与周围固体的相互作用, 进行声波传递或水下结构的动力学分析等.流体动力学耦合分析 - 在考虑流体约束质量的动力响应基础上，在结构动力学分析中使用流体耦合单元.速度压力.超音速飞行压力分布汽车气动分析高速导弹气动27.2022/9/328ANSYS 耦合场分析概览耦合场分析 考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如果两个物理场之间相互影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此你需要将两个物理场组合到一起求解。其他需要耦合

8、场分析的典型情况有：热应力分析流体结构相互作用感应加热（电磁热）, 感应振荡两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，图示为加热后的变形.29.温度分布特征是：在布管区，管板的大部分厚度上温度接近流入或流出管板处换热器的管程流体温度，只在靠近壳程流体一侧很薄的区域温度接近壳程流体温度。 温度分布30.热应力分析工况7 正常工况下应力强度分布云图 工况的产生： 设备正常运转时，为此种工况。此工况是壳程压力与温差应力强度共同作用的操作工况与管程压力单独作用是的工况进行加和。是管程、壳程、温差应力强度共同作用的结果。31.弹性力学就是研究物体在外部因素作用下产生的应力、应变及其位移规律的一门学科。理想弹性体

9、：指符合下述四个假定的物体。1）连续性假定。2）完全弹性假定。3）均匀性假定。4）各向同性假定。1.5 弹性力学概念32.33.求解思路：弹性力学的基本方程是以偏微分方程组来表示的。在分析应力时，一般总是从构件的连续性出发，依据无限小单元的物理数学模型建立微分方程式，然后求得解答。工程实际中，构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，无法求出解析解，只能用数值计算求近似解。34.有限单元法一个简单的例子35.对于单元1：36.37.38.轴向力公式：2.分析过程:结构离散化,确定位移模式, 位移模式：近似的表示单元位移分量随坐标变化的简单函数。单元力学特性分析 (1)通过几

10、何方程建立单元应变与节点位移关系式；（2）利用物理方程导出单元应力与节点位移关系式；（3）由虚功原理推出作用于单元上节点力与节点位移之间的关系式，及单元的刚度方程。43.整体分析,单元到整体的组集：(1) 所有相邻单元在公共节点处位移相等；（2）所有各节点需满足平衡条件。解方程,输出计算结果,其他处理44.第二章 弹性力学基础2.1 弹性力学中的几个基本概念45.1-2 弹性力学中的几个基本概念基本概念：外力、应力、主应力。1. 外力体力、面力(1) 体力 弹性体内单位体积上所受的外力 体力分布集度（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m346.(2) 面力

11、作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)47.(1) 一点应力的概念AS内力由于外力作用引起的物体内部相互作用力.P应力：由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度应力分量n(法线)应力的法向分量 正应力应力的切向分量 剪应力单位:与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的2. 应力48.用矩阵表示：剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标 x 表示作用面；第2个下标 y 表示作用方向.应力正负号的规定：应力作用面的外法线方向与坐标轴正方向一致，则应力分量沿坐

12、标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负；反之亦反。xyzO49.2)主应力： 在过一点的所有截面中，存在着三个互相垂直的特殊截面，在这三个截面上没有剪应力，只有正应力。这种没有剪应力存在的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的方向总是与主平面的法线方向平行，称为该点的主方向。50.弹性力学分析问题方法静力学：平衡微分方程几何学：几何方程物理学：物理方程51.2-2 平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DXYZ 方向取单位长度。设P点应力已知：体力：X ，Y两边同除以dx dy，并整理得：52.两边同除以dx dy，并整理得：PBACDXY53.平面问

13、题的平衡微分方程：（2-2）PBACxyODXY54.空间平衡微分方程应力分量与体积力分量之间的关系式55.研究弹性体内各点的应变分量与位移分量之间的关系2-3 几何方程56.2-4 变形谐调方程描述六个应变分量之间所存在的关系式57.2-5 物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。58.边界条件：建立应力分量与外载荷间的关系。xyOqP只有当应力分量与外载荷满足一定条件时，物体边界上的点才能处于平

14、衡状态。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界2-6 边界条件指在物体的全部边界上，各点的位移分量均为坐标的已知函数指在物体的全部边界上，各点所受的面力均为坐标的已知函数指在物体的部分边界上位移分量已知，而在其余的边界上面力分量是已知的59. 弹性力学基本方程一、平衡方程二、几何方程三、物理方程四、变形协调方程五、边界条件(应力,位移)位移应力60.弹性力学基本方程矩阵表示位移列阵体积力列阵应力列阵应变列阵表面外法线方向余弦矩阵微分算子列阵表面力列阵已知位移列阵二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、应力边界条件一、平衡方程位移边界条件61.1、平面应力问题2.7 弹性力学中的几个

15、典型问题2.7.1 平面问题 所谓平面应力问题，是指所研究的对象在z方向上的尺寸很小(即呈平板状)，外载荷(包括体积力)都与z轴垂直，且沿z方向没有变化，在zh/2处的两个外表面(平面)上不受任何载荷。62.（3）物理方程：平面应力问题63.2、平面应变问题当物体z方向上的尺寸很长，物体所受的载荷(包括体积力)又垂直于z铀且不沿长度方向(z方向)变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这种问题就称为平面应变问题。64.平面应变问题平面应变问题（1）平衡方程（2）几何方程（3)物理方程 轴对称问题 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态，以及其他外在因素都是

16、对称于某一根轴(过该轴的任一平面都是对称面)，那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通常称为空间轴对称问题。66.2.8 圣维南原理 圣维南原理一般可以这样来叙述：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(即主矢量相同、对同一点的主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。 作用：可以简化边界条件67.圣维南原理也可以这样来叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(主矢量及主矩都等于零)，那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。68.2.9弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法

17、、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应变分量与应力。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由物理方程、几何方程求出应变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，并求出这些未知量，再求出其余未知量。69.2.10 虚位移原理 弹性体处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时 ，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体所具有的虚应变能。总虚应变能：弹性体虚位移原理总外力虚功：质点虚位移原理如果一个质点处于平衡状态，则作用于质点上

18、的各力，在该质点的任意虚位移上所做的虚功总和等于零。70.第3章 平面问题的有限单元法3.1 三角形常应变单元71.72.同理：I 二阶单位阵, N 形函数矩阵73.应变应变矩阵为常量，单元内应变是常数74.应力 应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。75.3.2 形函数的性质本点是1，它点是076.面积坐标 单元刚度矩阵3.3 刚度矩阵单元节点虚位移内力虚应变能 整体刚度矩阵79.整体刚度矩阵的特点 整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状

19、态，在各节点上所需要施加的节点力。整体刚度矩阵主对角线元素总是正的整体刚度矩阵具有对称性整体刚度矩阵具有稀疏性 整体刚度矩阵是奇异矩阵 80.3.4 等效结点力与载荷列阵单元节点等效力81. 3.6 收敛准则一、收敛准则1、位移模式必须包含单元的刚体位移满足条件1、2的单元为完备单元二、多项式位移模式阶次的选择按照帕斯卡三角形选2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调满足条件3的单元为协调单元帕斯卡三角形82.3.7 有限元分析的实施步骤83.应注意的几个方面：1.对称性的利用2.节点的选择及单元的划分节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不同的材料组成时，厚度不同或材料不同的部分，也应该划分为不同的单元。 节点的多少及其分布的疏密程度(即单元的大小)，一般要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑。84.3.节点的编号平面问题的半带宽为85.对角线元素乘大数法4.边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正86.5.