高中数学必修二 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积（重难点突破）（含答案）

1、专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底例1（1）.（2019四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）ABCD【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B.（2）.（2019江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）A与B与C与

2、D与【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C：与不共线，能作为基底.故选：C（3）.（2020内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得.设内切圆在边上的切点为，则，有，故.故选：D【变式训练1】（2020北京高三开学考试）在平行四边形ABCD中，则 .（用表示）【答案】【解析】如图：2().故本题答案为.【变

3、式训练2】（2020辽宁高考模拟）在中，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此，故本题选D.(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1)(3)若a(x，y)，R，则a(x，y)(4)abx1x2y1y2.(5)|a|eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq o(AB,sup6()|eq

4、r(（x1x2）2（y1y2）2).例2（1）.（2020福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以,解得: ,.所以.故选D.（2）.（2019湖南高一期末）已知，则（ ）A2BC4D【答案】C【解析】由题得=（0,4）所以故选：C【变式训练1】.（2020湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标； （2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），与共线，【变式训练2】.（2018上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标【答案】(1)

5、，；（2）.【解析】（1）,.（2）,与同向的单位向量.(三) 平面向量的数量积知识点3平面向量数量积1平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB(0180)叫作向量a与b的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e

6、的夹角，则(1)eaae|a|cos .(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|eq r(aa).(3)cos eq f(ab,|a|b|).(4)|ab|a|b|.3平面向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2.(2)|a|eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq o(AB,sup6()|eq r(（x1x2）2（y1y2）2).(3)cos eq f(x1x2y1y2,r(xeq oal(2,1)yeq o

7、al(2,1)r(xeq oal(2,2)yeq oal(2,2).(4)abab0 x1x2y1y20.例3（1）（2020浙江高一期末）已知向量，则_，与方向相反的单位向量_.【答案】 【解析】依题意，故.与方向相反的单位向量为.（2）.（2019全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A-3B-2C2D3【答案】C【解析】由，得，则，故选C【变式训练1】.（2019安徽高三月考（理）已知，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( )ABC2D3【答案】B【解析】设与的夹角为，因为，所以，所以，所以，此时.故选：B【变式训练2】.（2020四川高一月考）已知，若，则实数=_

8、；=_.【答案】0 0 【解析】，解得故答案为【变式训练3】.（2019江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_.【答案】.【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【变式训练4】.（2020浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；【答案】（1）；（2）.【解析】由题得；由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1）；（2）.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0

9、)，则ab(x1x2，y1y2)(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件为x1y2x2y10.ab的充要条件不能表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定(2)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0 x1x2y1y20.x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件例4(1)（2020江西高一期末）已知向量，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】向量，且，解得.故选：D.(

10、2)(多选题)已知向量(2，1)，(1，1)，(m2，n)，其中m，n均为正数，且()，下列说法正确的是（ ）Aa与b的夹角为钝角B向量a在b方向上的投影为C2m+n=4Dmn的最大值为2【答案】CD对于A，向量(2，1)，(1，1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，1)，则 (1，2)，若()，则(n)=2(m2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2mn) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【变式训练1】（2020浙江高一期中）已知向量满足.