高中数学必修二 期中测试卷01（含答案）

1、人教A版2019 必修第二册 期中测试卷01高一数学满分：150分 时间：120分钟第卷（选择题 共60分）一单项选择题（5分12=60分）1.设复数z满足1+iz=2i，则z=（ ）A.12B.22C. 2D.2【C】【解析】z=21+=2(1-i)(1+)(1-i)=i1-i=1+i,所以z=12+12=2,故选C.2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD=（ ）A.-2B. 6C. 2D.-6【C】【解析】由题意有AEBD=AD+DEBA+AD=AD+12ABAD-AB=AD2+12ABAD-ABAD-12AB2=4+0-0-4=2,故选C3.已知点O是ABC所在平面

2、内一点，点D为BC边的中点，且AO=2OD,mOA+OB+OC=0, 则m的值为（ ）A. 1B. 2C.-1D.-2【A】【解析】如图，OB+OC=2OD,因为AO=2OD,所以2OD-2mOD=0,故m=1,故选A4.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=1,-2,AD=(2,1)则ABAC=（ ）A. 5B. 4C. 3D.2【A】【解析】由题意知DC=AB=1,-2,AC=AD+DC=3,-1,ABAC=13+-2-1=5,故选A5.已知a=10,ab=-5302，且a-ba+b=-15，则向量a与b的夹角为（ ）A. 23B. 34C. 56D. 3【C】【

3、解析】因为a-ba+b=-15,所以b=5,因为ab=-5302,所以a bcos=-5302,即cos=-32,所以向量a与b的夹角为56.6.复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2z1是纯虚数的一个z1是（ ）A. 4+3iB. 3+4iC. 4-3iD. 3-4i【C】【解析】由图可知复数z=-2+i,则z2=3-4i,对于A,z24+3i=24-7i不是纯虚数,排除A;对于B,z23+4i=25不是纯虚数,排除B;对于C,z24-3i=-25i是纯虚数,C正确;对于D,z23-4i=-7-24i不是纯虚数,排除D,故选C.7.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A

4、BC的面积为a2+b2-c24，且c=2，那么ABC外接圆的半径为（ ）A. 1B. 2C. 3D.4【A】【解析】SABC=a2+b2-c24=2ab cosC4=12ab cosC,又SABC=12ab sinC,故tanC=1,C=4.由正弦定理可得2R=csinC=222=2,所以ABC外接圆的半径R=1,故选A8.已知a=sin,1-4cos2,b=1,3sin-2,(0, 2)，若a/b，则tan- 4=（ ）A. 19B.-17C. 27D.-27【B】【解析】因为a/b,所以sin3sin-2-1-4cos2=0,化简得5sin2+2sin-3=0,解得sin= 35或-1舍,

5、所以cos=1-sin2=45,tan=sincos=34,所以tan-4=tan-11+tan=-17,故选B9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F.给出下列四个结论，错误的是（ ）A.存在点E，使得A1C1/平面BED1FB.对于任意的点E，平面A1C1D平面BED1FC.存在点E，使得B1D平面BED1FD.对于任意的点E，四棱锥B1-BED1F的体积均不变【C】【解析】对于A，当点E位于棱CC1的中点时，A1C1/EF，因为A1C1平面BED1F，EF平面BED1F，所以A1C1/平面BED1F，故排除A；对于B，容易证明B1

6、D平面A1C1D，因为BD1平面BED1F，所以平面A1C1D平面BED1F，故排除B；对于D，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，因为四棱锥B1-BED1F的体积V四棱锥B1-BED1F=2V三棱锥B1-BED1=2V三棱锥D1-BEB1=23SBEB1D1C1=23a22a=a33为定值，排除D，所以选C.10.已知ABAC，AB=1t,AC=t,若点P是ABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，则PBPC的最大值等于（ ）A. 13B. 15C. 19D.21【A】【解析】以点A为坐标原点，AB,AC的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A0,0

7、,B1t,0,0,t,t0.因为AP=AB|AB|+4AC|AC|,所以P1,4,PB=1t-1,-4,所以PC=(-1,t-4), 所以PBPC=17-4t+1t17-4=13(当且仅当t=12时等号成立)，即PBPC的最大值为13，故选A11.已知向量OB=1,0,OC=0,1,CA=(cos,sin)，则的|AB|取值范围是（ ）A. 1,2 B. 22,4C. 2-1,2+1D. 2,2+1【C】【解析】易知AC=-cos,-sin,CO=0,-1.因为OB=1,0,所以AB=AC+CO+OB=1-cos,-1-sin,所以AB=1-cos2+-1-sin2=3+22sin-4,当si

8、n(-4)=1时，AB取最大值为2+1；当sin-4=-1时，AB取最小值为2-1，故AB的取值范围为2-1,2+1，故选C12.如图所示，梯形ABCD是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，AD=2BC=2,AB=1,则平面图形ABCD的面积为（ ）A. 2B. 22C. 3D.32【C】【解析】如图，作平面直角坐标系xAy，AD在x轴上，且AD=2，AB在y轴上，且AB=2，过点B作BC/AD，且BC=1，则直角梯形ABCD为原平面图形，其面积S=121+22=3，故选C第卷（选择题 共60分）二填空题（5分4=20分）13.已知向量a=x,2x,b=(-3x,2)，若a与b的夹角为钝角

9、，则x的取值范围是_.-,-13-13,0(43,+) 【解析】设向量的夹角为，则cos=ab|a|b|=-3x2+4xx2+4x29x2+4，因为2，所以-1cos0，即-1-3x2+4xx2+4x29x2+40，解得x43且x-13，所以实数x的取值范围为-,-13-13,0(43,+).14.已知A1,1,B(5,3)，向量AB绕点A顺时针旋转2到AC位置，则点C的坐标为_.3,-3 【解析】由题意得AB=4,2,设点C(x,y)，则AC=(x-1,y-1)，所以ABAC=4x-1+2y-1=0,因为|AB|=|AC|,所以20=x-12+y-12,解得x=3,y=-3,或x=-1,y=

10、5,结合题意得到符合条件的点C的坐标为3,-3. 15.若复数z满足3z+z=1+i,其中i为虚数单位，则z=_.14+12i 【解析】设复数z=a+bi,a,bR,则z=a-bi,a,bR,3z+z=4a+2bi=1+i,a,bR,则a=14,b=12,故z=14+12i. 16.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_.34 【解析】设圆柱面底半径为r,由题意可得r=12-122=32,所以圆柱体积V=r21=322=34.三解答题（本大题共6小题，一共70分）17.(本小题满分10分) ()已知i为虚数单位，计算1+1-2013；()已知z是复

11、数，z+3i与z3-均为实数(为i虚数单位)，求复数z. 【解析】() 1+1-2013=i2013=i.()设z=x+yi,x,yR,因为z+3i=x-y+3i,由题意得y=-3.因为z3-=x-3i3-=110 x-3i3+i=1103x+3+110 x-9i,由题意得x-9=0,x=9,所以z=9-3i.18.(本小题满分12分)ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA+6=2cosA.()求A的值；()若 a=3,BC边上的高为23，求b+c的值.【解析】()因为sinA+6=2cosA,所以sinA=3cosA,所以tanA=3.因为0A,所以A=3.()由题意可知SA

12、BC=12323=12bc sinA,因为A=3, 所以bc=43.又32=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=b+c2-3bc=b+c2-4.19.(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点P为矩形内一点，且AP=1,，设BAP=.()当=3时，求证：PCPD；()求PC+PDAP的最大值.【解析】以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图，则A0,0,B2,0,C2,3,D0,3.()证明：当=3时，P12,32,则PC=32,32,PD=-12,32, 所以PCPD=32-12+322=0,所以PCPD. ()由三角函数

13、的定义可得Pcos,sin02,则PC=2-cos,3-sin,PD=-cos,3-sin,AP=cos,sin,所以PC+PD=2-2cos,23-2sin,所以PC+PDAP=2cos-2cos2+23sin-2sin2=4sin+6-2.因为02,所以当+6=2，即=3时，PC+PDAP取得最大值，最大值为2.20.(本小题满分12分)已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等. 求：()棱锥的表面积；()球的半径R.【解析】()如图所示的正三棱锥A-BCD.由题意可知AE=1,CD=26,EF=1332CD=2,所以侧面的高AF=AE2+EF

14、2=3,所以s表=326312+26322612=92+63.()由题意可得1-R3=R2,所以R=6-2.21.(本小题满分12分)在多面体ABCDEF中，直角梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，FAD=EFA=90, EF=AF=12AD=1,EDA=45,M,N分别是FD,AC的中点.()求证：AE平面CDE；()求证：MN/平面ABF.【解析】()证明：因为平面ABCD平面ADEF，CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面ADEF，所以CDAE.在ADE中，AE=DE=2,AD=2，所以AE2+DE2=AD2,，所以AEDE,又因为DECD=D,所以AE平面CDE.()连接BD,在正方形ABCD中，点N也为BD的中点，所以在BDF中，MN/BF,又因为BF平面ABF,MN平面ABF,所以 MN/平面ABF.22.(本小题满分12分)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=cosA,cosB,b=(a,2c-b)，且a/ b.()求角A的大小；()若b=3，ABC的面积SABC=33，求a的值.【解析】()因为a/b，所以2c-bcosA-acos