2021年特岗教师招聘考试知识点分析

1、2021 年特岗教师招聘知识点分析数学专业知识知识点集合的运算1交集：ABx|xA，且 xB2并集：ABx|xA，或 xB3补集：UAx|xU，且 xA知识点集合的运算性质1并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA2交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB3补集的性质：A（UA）U；A（UA）；U（UA）A4定律：U（AB）=（UA）（UB）；U（AB）=（UA）（UB）知识点四种命题及相互关系知识点四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系知识点充分条件与必要条件1如果 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p

2、 的必要条件2如果 pp，则 p 是 q 的充要条件1知识点简单复合命题的真值表知识点命题的否定1全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题2p 或 q 的否定：非 p 且非 q；p 且 q 的否定：非 p 或非 q知识点函数的定义设 A ， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A到集合 B 的一个函数，记作 y f x, x A 知识点函数的单调性知识点函数的奇偶性1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f

3、 x f x ，那么函数2增函数减函数定义一般地，设函数 f x 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 , x2当 x1x2 时，都有 f x1 f x2 ，那么就说函数 f x 在区间 D 上是增函数当 x1x2 时，都有 f x1 f x2 ，那么就说函数 f x 在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的pq非 p非 qp 或 qp 且 q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假f x 就叫做偶函数一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数

4、奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称2奇、偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数复合函数的奇偶性可以概括为“同奇则奇，一偶则偶”知识点函数的周期性周期函数：对于函数 y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f x T f x ，那么就称函数 y f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期最小正周期：如果在周期函数 f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那

5、么这个最小正数就叫做 f x 的最小正周期3由周期函数的定义，采用迭代法结论（1）函数 f x 满足 f x a f x ，则 f x 是周期为 2a 的函数1（2）若 f x a a 0 恒成立，则T 2a f x（3）若 f x a f x a ，则T 2a （4）若 f x a 1 f x ，则T 4a 1 f x 知识点函数的图象变换1平移变换： y f x aa0 的图象，可由 y f x 的图象沿 x 轴方向向左或向右得到； y f x bb0 的图象，可由 y f x 的图象沿 y 轴方向向上或向平移 a 个下平移b 个得到即“右减，上加下减”3对称变换： y f x 与 y f

6、 x 的图象关于 y 轴对称； y f x 与 y f x 的图象关于 x 轴对称； y f x 与 y f x 的图象关于原点对称； y f 1 x 与 y f x 的图象关于直线 y x 对称伸缩变换： y kf xk0 的图象，可由 y f x 的图象上每一个点的纵坐标伸长k1 或缩短k1 到原来的 k 倍而得到； y f kxk0 的图象，可由 y f x 的图象上每一个点的横坐标伸长k1 或缩短k1 到原来的 1 倍而得到kf x 的图象，可先画出 y f x 的图象，然后“上不动，4翻折变换：要得到 y 下翻上”即到；由于 y f x 是偶函数，要得到 y f x 的图象，可先画出

7、 y f x的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即到知识点函数图象的对称性若对函数 y f x 的定义域内的任一自变量 x 的值都有 f x 2b f 2a x ，则y f x 的图象关于点a,b 成中心对称若对函数 y f x 的定义域内的任一自变量 x 的值都有 f x f 2a x ，则y f x 的图象关于直线 x a 成轴对称函数 y f x 的图象与函数 y 2b f 2a x 的图象关于点a,b 对称函数 y f x 的图象与函数 y f 2a x 的图象关于直线 x a 对称知识点反函数1只有满足 x y ，函数 y f (x) 才有反函数例： y x 无反函数2唯一2函数

8、y f (x) 的反函数记为 x f 1( y) ，上记为 y f 1(x) 在同一坐标系，函数 y f (x) 与它的反函数 y f 1(x) 的图象关于 y x 对称单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的因此，所有偶函数不存在反函数如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数设函数 y f (x) 定义域，值域分别为 X 、Y 如果 y f (x) 在 X 上是增（减）函数，那么反函数 y f 1(x) 在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同46一般地，如果函数 y f (x) 有反函数，且 f (a) b ，那么 f 1(b) a 这就是说点

9、（ a,b ）在函数 y f (x) 图象上，那么点（ b, a ）在函数 y f 1(x) 的图象上知识点同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2cos212商数关系：sin tancos 知识点六组诱导公式知识点三角函数的图象和性质5函数性质y sin xy cosxy tanx定义域RRx x k ,k Z 2在一个周期内的图象值域1,11,1R对称性对称轴：x k k Z 2对称中心： k ,0 k Z 对称轴： x k k Z 对称中心： k k Z 2,0对称中心： k 2 ,0k Z 周期22单调性单调增区间单调增区间 2 k , 2 k 单调增区间组数一二三四五六角2k（kZ

10、）22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀奇变偶不变，符号看象限知识点函数 y sin x 的图象经变换得到 y A sin x 的图象的步骤如下知识点两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin 3 tan( ) tan tan 1 tantan 知识点二倍角的正弦、余弦、正切公式1 sin22sin cos 2 cos 2cos2 sin2 2cos2 112sin2 3 tan 2 2 tan 1 tan 2 知识点正弦定理 b c a 2R，其中

11、 R 是三角形外接圆的半径sin Asin Bsin C6 2k , 2k ， 22单调减区间 2k, 3 2k 22k Z 单调减区间2k , 2k k Z k , k 22k Z 奇偶性奇函数偶函数奇函数由正弦定理可以变形：（1）abcsinAsinBsinC；（2）a2RsinA，b2RsinB， a b c c2RsinC；（3）sinA2R，sinB2R，sinC2R等形式，以解决不同的三角形问题知识点余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC余弦定理可以b2c2a2a2c2b2a2b2c2变形：cosA，cosB，cosC2bc2ac

12、2ab知识点数列 n(a1 an ) na n(n 1) d 1等差数列基本公式： a a(n 1)d ； Sn1n122a (1 qn )a a q （ q 0）； 1 1n （ q 1 ）；S n a 2等比数列基本公式：a a q n 1Snqn1n1（ q 1 ）3数列求和方法：（1）分组转化法；（2）错位相减法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法知识点基本事件的特点任何两个基本事件是互斥的任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和知识点古典概型1具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果每一个试验结果出现的

13、可能性相等2如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 Anm n的概率 P ( A ) 7知识点几何概型如果每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型1要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个等可能性：每个结果的发生具有等可能性2几何概型中，事件 A 的概率计算公式事件A的区域测度（长度、面积、体积等）P(A) 试验全部结果的区域测度（长度、面积、体积等）知识点离散型随

14、1若离散型随量的均值与方差量 X 的分布列为（1）称 EXx1p1x2p2xipixnpn 为随量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随量取值的平均水平（2）称 DXE（XEX）2 为随EX 的平均偏离程度均值与方差的性质（1）E（aXb）aEXb（2）D（aXb）a2DX（a，b 为常数）二项分布的均值、方差若 XB（n，p），则 EXnp，DXnp（1p）量 X 的方差，它刻画了随量 X 与其均值知识点二项式定理(a b)n C0an C1an1b1 C anrbr Cnbn (n N) nnnn这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式，其中的系数

15、C r 0,1, 2, nr nr rr叫做二项式系数式中的Ca b叫做二项展开式的通项，用nn C a br nr rT表示，即展开式的第r 1 项Tr 1r 1n8Xx1x2xixnPp1p2pipn知识点二项展开式形式上的特点项数为n 1各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到n 01n1n4二项式系数从，一直到C , CC ,Cnnnn知识点二项式系数的性质1对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C Cmnm nn，当r n 1

16、时，二项式系数是递增的；当r n 12增减性与最大值：二项式系数Cn22时，二项式系数是递减的n当n 是偶数时，中间的一项C 2 取得最大值nn1n1当n 是奇数时，中间两项C 2 和C 2 相等，且同时取得最大值nn3各二项式系数的和(a b) 的展开式的各个二项式系数的和等于C C C C C 2012rnnn，即二n2nnnnn项展开式中， 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C C C C C C 2n1135024nnnnnn知识点法则1概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导运算，直到该极限的类型为可以直接代入求解即可2适用类型：通常情况下适用于

17、0 型或者是 型极限0知识点常见的等价无穷小当 x 0 时， sintanx ，x ，ex 1 x ln(1 x) ，ax 1 x ln a ，91 cos x 1 x2 ，2(1 x)a 1 ax 知识点求0 或 型极限的方法01通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四则运算法则2利用法则变量替换与重要极限等价无穷小因子替换知识点求 0 型极限的方法求 0 型的方法和上述方法基本相同，必须注意的是：为使用法则需根据函数的特点先将0 型化为 0 或 型注意，一般将较复杂的因子取作分子，特别地含有0对数因子时，将该因子取作分子知识点求 型极限的方法求 型，一般通过适当的方法将

18、其化为 0 或 型若是两个分式函数之差，则0通分转化，若是与根式函数之和、差有关的，则需用分子有理化方法转化知识点利用两个重要极限1 xsin x x1 1 ， lim 1 e （或lim 1 x x e ）limx 0 x x x 0知识点水平渐近线lim f (x) c ，则 y c 为水平渐近线；x知识点垂直渐近线f ( x) ，则 x x0 为垂直渐近线；limx x010知识点斜渐近线a lim f (x) ， b lim f ( x) ax ，则 y ax b 为斜渐近线xxx知识点导数的几何意义函数 f x 在点 x 0 处的导数 f x0 的几何意义是在曲线 y f x 上点

19、x0 , f x0 处的切线的斜率相应地，切线方程为 y f x0 f x0 知识点基本初等函数的导数公式知识点导数的运算法则1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f xf x g x f x g x g2 xg x 0 3 g x 知识点复合函数的导数 的导数和函数 复合函数 y y f u ,u g xy y u的导数间的关系为，即f g xxux11原函数导函数f（x）c（c 为常数）f（x）0f（x）x（ 为实数）f（x）x1f（x）sinxf（x）cosxf（x）cosxf（x）sinxf（x）ax（a0，a1）f（x）axlnaf（

20、x）exf（x）exf（x）logax（a0，a1）f（x） 1x ln af（x）lnxf（x） 1xf（x）tanxf（x）1c o s 2 xf（x）cotxf（x）1s i n 2 xy对 x 的导数等于 y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积知识点导数与函数的单调性在某个区间a,b 内，如果 f x 0 ，那么函数 y f x 在这个区间内是增加的；如果f x 0 ，那么函数 y f x 在这个区间内是减少的f x0 是极值的方法知识点判断一般地，当函数 f x 在点 x 0处连续时，附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x 是极大值；0附近的左侧 f x 0

21、 ，右侧 f x 0 ，那么 f x 是极小值0如果在 x 0如果在 x 0知识点求可导函数极值的步骤1求 f x ；2求方程 f x 0 的根；查 f x 在方程 f x 0 的根的左右两侧导数值的符号如果负，那么 f x3检在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f x 在这个根处取得极小值知识点函数的最值在闭区间a,b 上连续的函数 f x 在a,b 上必有最大值与最小值若函数 f x 在a,b 上是增加的，则 f a 为函数的最小值， f b 为函数的最大值；若函数 f x 在a,b 上是减少的，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的最小值设函数 f x 在a,b 上连续，在

22、a,b 内可导，求 f x 在a,b 上的最大值和最小值的步骤如下：求 f x 在a,b 内的极值；将 f x 的各极值与 f a ， f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值12知识点直接使用积分公式计算x 1 sin xdx cos x C x dx 1 C 1 dx arctan x Ccos xdx sin x C21+x exdx ex C1dx arcsin x C1 x2知识点凑微分法（第一类换dx d x C ）基础：常见的凑微分形式dx 1 d kx C kxdx 1 d x 2 C x 2 dx 1 d x 3 C 23 1 dx 2d x C 1 dx

23、 d 1 C xx 2xe x dx d e x C cos xdx d sin x C 1 dx d ln x C xsin xdx d cos x C 11dx d tan x C dx d arctan x C 1 x 2cos 2 x知识点分部积分法 udv uv vdu （ uvdx uv uvdx ）使用原则：由v 易求出v ； vdu （ uvdx ）比 udv （ uvdx ）好求，幂，指，三”的顺序，排前者取为u ，排后者取为v 一般经验：按“知识点定积分的性质a1f (x)dx 0 a13b2 dx b a aba3f (x)dx f (x)dx abbb4 kf (x)d

24、x kf (x)dx aabcb5f (x)dx f (x)dx f (x)dx aacbbb6f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx aaa7在区间a,b 恒有bf (x) 0 ，则f (x)dx 0 abb8 f (x) g(x),f (x)dx g(x)dx aabbf (x)dxf (x) dx 9aab10 m f (x) M , x a, b a) f (x)dx M (b a) ，则m(b a11 定积分中值定理： f (x) 在 a, b 连续，至少存在一个 a, b ，使 f (x)dx f (b )(b a) aaaaf (x)f (x)12为奇函数，则f

25、 (x)dx 0 ；为偶函数，则f (x)dx 2f (x)dx aa0知识点曲线的弧长1参数方程形式光滑曲线MN 满足参数方程 x (t), y (t), t ，2 (t) 2 (t)dt 则曲线MN 的长为 s 2直角坐标形式b光滑曲线MN 的方程 y f(x),a x b，则曲线MN 的长为s 1 f 2 (x)dx a知识点旋转体体积将区 间 a,b 的连 续曲线 y f( x) 绕 x 轴 旋转一 周所得旋 转体体积 14bV f (x)dx ；2a将区间 c, d 的连续曲线 x g( y ) 绕轴旋转一周所得旋转体体积yd2V g( y)dy c知识点旋转体侧面积bf (x) 1

26、 f 2 (x)dxS 2a知识点微积分基本定理一般地，如果 f（ x ）是区间a ， b 上的连续函数，并且 F（ x）（fx），那么公式可bf (x)dx F (b) F (a) 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做abb a以把 F（b）F（a）记为F (x) |，即 f (x)dx F (x) | F (b) F (a) baa知识点变限积分b( x) F (x) f (t)dt ， F(x) f (b(x)b(x) f (a(x)a(x) a( x) 知识点行列式的基本性质行列式的值等于其转置行列式的值，即 D D T 行列式中任意两行（列）位置互换，行列式的值反号3若行列式中两行（列

27、）对应元素相列式值为零4若行列式中某一行（列）有公因子 k，则公因子 k 可提取到行列式符号外，即a11kas1an1a12kaan2a1na11a12aan2a1nannan1ann行列式中若一行（列）均为零元素，则此行列式值为零行列式中若两行（列）元素对应成比例，则行列式值为零15知识点矩阵的概念由数域 F 中 mn 个数 a ij （ i 1,2,m; j 1,2,n ）排成的 m 行 n 列的矩形数表 a11a12 a22a1n a21a2n amn aa m1m2称为数域 F 上的一个 mn 矩阵，可以写作 A aij 时，也可以写作 Amn 在不需要表示出矩阵的元素mn 知识点相等

28、矩阵设 Aaij 与 B bij 是两个同型矩阵如果对应的元素都相等，即snsnaij bij (i 1,2,.s. j 1,2,.n) ，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B知识点n 阶方阵对 A aij ，当 m=n 时，则称 A 为 n 阶矩阵，或叫 n 阶方阵mn 知识点零矩阵如果一个矩阵的所有元素都是 0，则矩阵称为零矩阵，记为 O知识点对称矩阵对 A (aij )nn ，当 aij aji (i, j 1,2,.n) 时，称 A 为对称矩阵知识点称矩阵对 A (aij )n n ，当 aij a ji (i, j 1, 2, n) 时，称 A 为称矩阵对于对角线元素，aii

29、 aii (i 1,2,n) ，所以 aii 0(i 1, 2, n) ，即称矩阵的对角线元素为零知识点三角矩阵主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵例如 nn 矩阵16n n 0 0a为 n 阶上三角矩阵又例如 nn 矩阵nn a110 0 a0 a2122 aaa n1n 2nn 为 n 阶下三角矩阵知识点对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵例如 nn 矩阵 a11000 0a220 0ann 为 n 阶对角矩阵，通常简记为 A diag(a11,a22,.ann)知识点数量矩阵主对角线元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵例如 nn 矩阵 a0a00 00 0a

30、 为 n 阶数量矩阵知识点矩阵主对角线上元素全为 1 的数量矩阵称为矩阵例如 nn 矩阵0 1010 00 01 为 n 阶矩阵，记为En 在不会引起的情况下，常简记为 E 知识点矩阵的加法定义：设 A=（aij )sn 与 B (bij )sn 是两个同型矩阵，称 sn 矩阵A 与矩阵 B 的和，记为 A+B为矩阵运算规律：设 A，B，C，0 都是 sn 矩阵，则矩阵的加法满足下面的运算规律1A+B=B+A2(A+B)+C=A+(B+C)3A+0=0+A=A4A+(-A)=0知识点矩阵的数乘定义：设 A=（aij )sn 是数域 F 上的矩阵，k 是数域F 上的一个数，称 sn 矩阵（kai

31、j )sn为数 k 与矩阵 A 的数量乘积，简称数乘，记为 kA运算规律：设 A=（ aij )s n ， B (bij )sn 为数域 F 上的矩阵，k 和 l 皆为数域 F 上的任意数由定义可知，矩阵的加法与数乘满足下列运算规律l ) A kA lA 1 ( kB ) ka k B2 k ( A3 k(lA) (kl)A l(kA) 4 1 A A 知识点矩阵的乘法定义：设 A=（aij )sn ， B(bij )sn 都是数域 F 上的矩阵记 sn 矩阵，其中mcij ai1b1 j ai2b2 j . aimbmj aikbkj ，称矩阵 C 为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作 C=AB

32、k 1运算规律：若 A，B，C 满足可乘条件，则1结合律： ( AB )CA( BC ) B ) C AC BC , C ( A B ) C A C B2分配律： ( A3 k ( AB ) ( kA ) BA ( kB ) ( k E ) A 4 k AA ( k E ) 18知识点矩阵的特征值和特征向量相关定义设 A 为数域 F 上的 n 阶方阵，如果存在数域 F 上的数0 和非零向量 ，使得 A=0，则称0 为 A 的一个特征值（特征根），而 称为 A 的属于特征值0 的一个特征向量设 A =（aij）n 为 n 阶方阵，则矩阵E- A 称为 A 的特征矩阵，其行列式称为 A 的特 a1

33、1a12 a22. a1n a21a2n.征多项式，记为 f () ，即 f () E- A，称 f () E- A 为 A 的an1 an 2 ann.特征方程知识点矩阵的特征值和特征向量相关性质1若i 是 A 的任一特征值，非零向量 为 A 的属于特征值i 的特征向量，即满足A= i ，则必有 一定是 A 的特征值（ k 为正整数）kki2若 i 是 A 的任一特征值，非零向量 为 A 的属于特征值 i 的特征向量，若f (x) a xn a xn1 . a 为任一多项式，则有 f (i ) 是 f ( A) 的特征值01n3若i 是 A 的任一特征值，非零向量 为 A 的属于特征值i 的

34、特征向量，则4如果 是 A 的属于特征值 0 的一个特征向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属于特征值0 的特征向量即特征向量不是被特征值所唯一决定的相反，特征值确实被特征向量所唯一决定的一个特征向量只能属于一个特征值注：属于不同特征值的特征向量是线性无关的知识点矩阵特征值和特征向量的求法1根据定义，构造 A 0 ，求得 A 的特征值 0 ，及 A 属于特征值 0 的一个特征向量 0 可以求出矩阵 A 的全部特征值 i ，再根2设 A =（aij）n 为 n 阶方阵，则由 E- A据其次线性方程组(iE A) X 0 ，求出 A 属于i 的特征向量其中，基础解系即为 A 属19Af

35、 ( A)ATA1A*P1 APf ()1| A |于i 的线性无关特征向量，通解即为 A 属于i 的全体特征向量（不包含 0 向量）知识点极大线性无关组一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关注：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价知识点向量组的秩向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，因此一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同知识点矩阵的秩矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等，称为矩阵的秩知识点向量

36、组的极大线性无关组及矩阵的秩的基本性质任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价等价的向量组必有相同的秩（秩相同的向量组未必等价）矩阵 A 的秩是 r 的充分必要条件为 A 中有一个 r 阶子式不为零，同时所有 r+1阶子式全为零知识点空间向量的表示 a xi y j zk ，记为 a (x, y, z) 其中 i, j, k 分别为x，y，z方向的单位向量知识点方向角向量 a 与 i, j, k 的夹角, , 称为 a 的方向角，方向角的余弦cos, cos , cos称为向量 a 的方向余弦 20 xyzcos , cos , cos x2 y2 z2x2 y2 z2x2 y2 z2cos2

37、 cos2 cos2 1 知识点向量的数量积（内积，点积）a1 a2 a1a2cos ，其中 为向量 a ,a 的夹角12 a2 =x1x2 y1 y2 z1z2 用坐标表示： a1知识点向量的向量积（外积，叉积）b sin ，其中 为夹角其方向规定a b 是一个向量，其模 a baix1 x2jy1 y2kz1 z2为与 a ，b 都垂直且 a ，b ，a b 符合右手系，坐标运算为 a b向量积的运算法则：a b a c， (a) b (a b) ， a (b c) a b ba，a a 0 知识点向量的混合积 三个向量 a,b, c 的混合积(a,b, c) 是一个数，规定为(a,b,

38、c) (a b) c 用坐标x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3 表示为(a, b, c) 知识点两个平面间的关系1 : A1x B1 y C1z D1 0,2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 ，则 A1 B1 C1 D1 ； 12ABCD2222211 2 A1A2 B1B2 C1C2 0 ；1 的2 夹角 （法向量间的夹角，不大于 90 度）满足 A1 A2 B1B2 C1C2cos A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2111222知识点两条直线间的关系 : x x2 y y2 z z2 ，则x x y yz z设 L :, L11112lmnlmn111

39、222l m nL L ，且(x , y , z )不满足 的方程；L1 1 1 121 1 12lmn222L1 L2 l1l2 m1m2 n1n2 0 ；L1L2的夹角 （方向 向量 间的 夹角 ，不 大 于 90 度） 满足 cos l1l2 m1m2 n1n2 l 2 m2 n2 l 2 m2 n2111222知识点直线与平面的位置关系直线和它在平面投影直线所夹锐角 称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时，规定夹角为 2 A, B,C ；L : x x0 y y0 z z0 , : Ax By Cz D 0, sl, m, n , nlmn则 L s n, Al Bm Cn 0 且 A

40、x0 By0 Cz0 D 0 ；A BCL sn ，即 lmnL 与 的夹角 ， sin s, n2A2 B2 C 2 l2 m2 n2知识点平面的方程1点法式n (A, B,C)已 知 点M (x0 , y0 , z0 )， 法 向 量， 平 面 的 点 法 式 方 程 为A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 2一般式22Al Bm Cnn1 n2 n1n2Ax By Cz D 0 （ A, B,C 不全为 0），其中法向量为 n (A, B,C) 3截距式一般方程 Ax By Cz D 0 中，令 A D， B D ，C D，代入一般方程abcx y z 1 ，为平面

41、方程的截距式abc知识点确定平面方程的两个基本思路已知平面 上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 和平面 的法向量 n (A, B,C) ，则平面被确定，方程利用一般式即可求得已知平面 上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 和两个与平面 平行且不共线的向量 m ( x1 , y1 , z1 ) ，x x0 x1 x2y y0 y1 y2z z0 z1 z2n ( x2 , y2 , z2 ) ，则平面方程为 0 知识点两个平面间的关系1： A1x B1 y C1z D1 0 ，2： A2 x B2 y C2 z D2 0 ，则 A1 B1 C1 D1 ；12ABCD222212 A

42、1A2 B1B2 C1C2 0 的夹角 满足cos | A1 A2 B1B2 C1C2 | 和 12A2 B2 C2 A2 B2 C2111222知识点曲面的切平面与法线方程x x(t) 1设曲面的方程为 F (x, y, z) 0 ，在曲面上任取一条通过点 M 的曲线： : y y(t) 曲z z(t) 线在 M 处的切向量为T (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) 切平面方程为 Fx (M )(x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (z z0 ) 0 ，法线方程为 x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0 , z0 )

43、Fz (x0 , y0 , z0 )2空间曲面方程形为 z f (x, y) ，令 F (x, y, z) f (x, y) z ，曲面在 M 处的切平面的法向量为： n fx (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 ), 1 23曲线在 M 处的切平面的方程为 fx (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) z z0 曲线在 M 处的法线方程为 x x0 ( y y0 ) z z0 fx (x0 , y0 )f y (x0 , y0 )1知识点级数敛散性的定义 的极限存在，即 i S若数项级数 u 的部分和数列Slim S，则称级数 u 收敛

44、，i 1nnini 1否则就称级数 ui 发散当级数 ui 收敛时，称极限值 lim Sn S 为此级数和，ni 1i 1un1 un2 . 为级数的余项或余和r知识点几个重要级数1几何级数（等比级数） qn 当 q 1 时收敛，当 q 1 时发散n 02 p 级数 1 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散n 0 np知识点数项级数的基本性质1如果级数un 收敛，其和为 S ，k 为常数，则级数kun 也收敛，其和为 kS n1n12若级数un 与级数vn 分别收敛于与 ，则级数(un vn ) 收敛于 n1n1n13添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变4两边夹定理： un vn wn 而un 与 wn 都收敛，则级数vn 也收敛n1n1n1 nlim u 0u5级数收敛的必要条件：若级数收敛，则nnn1知识点收敛原理级数u n 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 ，总存在正整数n 1N，使24得当 n N 时，对于任意的正整数 p