初中数学里常用的几种经典解题方法中考经典错题集综合知识讲解

1、总共三部分：一、初中数学里常用的几种经典解题方法中考经典错题集综合知识讲解初中数学里常用的几种经典解题方法介绍1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到 它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起

2、着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部 分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0）根的判别 eq oac(,，)=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法 ，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数 乃至

3、几何、三角运算中都有非常广泛的应用。1韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解 一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用 的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是

4、一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造 法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用 反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌

5、握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有(n 一 1)个； 至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾； 与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。28、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证

6、明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明 或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助 线，也很容易考虑到。9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的

7、习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条 件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10.客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷 的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未 给出答案，可以防止

8、学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解 选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。3（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量 命题时，常用此法。特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而 获得解答。这种方法叫特殊元素法。排除、筛选法：对

9、于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选 法。图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选 择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选 出正确的结果，称为分析法.4第二章2.1 代数篇一 数与式（一）有理数有理数的分类数轴的定义与应用相反数倒数绝对值有理数的大小比较有理数的运算（二）实数实数的分类实数的运算科学记数法近似数与有效数字平方根与算术根和立方根非负数零指数次幂 负指数次幂（三)代数式代数式 代数

10、式的值列代数式（四）整式整式的分类整式的加减 乘除的运算幂的有关运算性质乘法公式因式分解应知应会知识点5（五）分式分式的定义分式的基本性质分式的运算（六）二次根式二次根式的意义根式的基本性质根式的运算二 方程和不等式（一）一元一次方程方程 方程的解的有关定义一元一次的定义一元一次方程的解法列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程二元一次方程的定义二元一次方程组的定义二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）二元一次方程组的应用（三）一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法） 38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39 一元二次方程的

11、应用（四）分式方程分式方程的定义分式方程的解法（转化为整式方程 检验）分式方程的增根的定义分式方程的应用（五）不等式和不等式组6不等式（组）的有关定义不等式的基本性质一元一次不等式的解法一元一次不等式组的解法一元一次不等式（组）的应用三 函数（一）位置的确定与平面直角坐标系位置的确定坐标变换平面直角坐标系内点的特征平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置对称问题：P(x,y)Q(x,- y）关于 x 轴对称P(x,y)Q(- x,y)关于 y 轴对称P(x,y)Q(- x,- y)关于原点对称变量 自变量 因变量 函数的定义函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件 图象法）函数的图象

12、：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数一次函数的定义与正比例函数的定义一次函数的图象：直线，画法一次函数的性质（增减性）一次函数 y=kx+b(k0)中 k b 符号与图象位置待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）一次函数的平移问题一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系（图象法） 64 一次函数的实际应用65 一次函数的综合应用一次函数与方程综合一次函数与其它函数综合一次函数与不等式的综合7（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数反比例函数的定义反比例函数解析式的确定反比例函数的图象：双曲线反比例函数的性质（增减性质）反比例函数的实际应用反比例函数的综合应

13、用（四个方面 面积问题）（四）二次函数二次函数的定义二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）二次函数解析式的确定（待定系数法）二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）二次函数 y=ax2+bx+c(a0)中 a b c eq oac(,与)eq oac(, )特殊式子的符号与图象位置关系 78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值二次函数的交点问题二次函数的对称问题二次函数的最值问题（实际应用）二次函数的平移问题二次函数的实际应用二次函数的综合应用二次函数与方程综合二次函数与其它函数综合二次函数与不等式的综合二次函数与几何综合2.2 几何篇1 过两

14、点有且只有一条直线8两点之间线段最短同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行同旁内角互补 两直线行两直线平行 同位角相等两直线平行 内错角相等两直线平行 同旁内角互补三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边三角形三个内角的和等 180直角三角形的两个锐角互余三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全

15、等三角形的对应边 对应角相等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS) 23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 25 有三边对应相等的两个三角形全等 (SSS)26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边9等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和

16、高互相重合等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中 如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合关于某条直线对称的两个图形是全等形如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线两个图形关于某

17、直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a+b=c如果三角形的三边长 a b c 有关系 a+b=c 那么这个三角形是直角三角形 48 四边形的内角和等于 360四边形的外角和等于 360多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)180任意多边的外角和等于 360平行四边形的对角相等平行四边形的对边相等夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形的对角线互相平分两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边

18、形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形10矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半 即 S=(ab)2四边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的四个角都是直角 四条边都相等正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 71 关于中心对称的两个图形是全等的72 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一

19、点平分那么这两个图形关于这一点对称等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 81 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半82 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半L=(a+b) S=Lh83 如果 a:b=c:d 那么 ad=bc如果 ad=bc 那么 a:b=c:d84 如果 a/b=c/d 那么(ab)/ b=(cd)/d118

20、5 如果 a/b=c/d=m/n(b+d+n0) 那么(a+c+m)/(b+d+n)=a/b三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例88如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 ) 相交所构成的三角形与原三角形相似两角对应相等 两三角形相似(ASA)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似两边对应成比

21、例且夹角相等 两三角形相似(SAS)三边对应成比例 两三角形相似(SSS)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值圆是定点的距离等于定长的点的集合圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合同圆或等圆

22、的半径相等到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线12不在同一直线上的三个点确定一条直线垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧圆的两条平行弦所夹的弧相等圆是以圆心为对称中心的中心对称图形在同圆或等圆中 相等的圆心角所

23、对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相 等在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角直线 L 和O 相交 dr直线 L 和O 相切 d=r直线 L 和O 相离 dr经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的

24、半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线 的夹角圆的外切四边形的两组对边的和相等弦切角等于它所夹的弧对的圆周角如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等13如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中 项从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上135 两圆

25、外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdR+r(Rr)两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含 dR-r(Rr)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦把圆分成 n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆正 n 边形的每个内角都等于(n-2)180/n正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长正三角形面积3a/4 a 表示边长14

26、3如果在一个顶点周围有k 个正 n 边形的角由于这些角的和应为360因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4弧长计算公式:L=nR/180扇形面积公式:S 扇形=nR/360=LR/2内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)14第三章例题讲解【例】如图 10，平行四边形 ABCD 中，AB5，BC10，BC 边上的高 AM=4，E 为 BC边上的一个动点（不与 B、C 重合）过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F FE 与 DC 的延 长线相交于点 G，连结 DE，DF。求证：BEFCEG当点 E 在线段 BC 上运动时 eq oac(,，)BEF e

27、q oac(,和)CEG 的周长之间有什么关系？并说明你 的理由设 BEx eq oac(,，)DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何 值时，y 有最大值，最大值是多少？ADFBMx EC图 10G解析过程及每步分值1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB DG 1 分所以B GCE ,G BFE所以BEF CEG 3 分（2）BEF 与CEG的周长之和为定值 4 分理由一：过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H ，因为 GFAB，所以四边形 FHCG 为矩形所以 FHCG，FGCH因此，BEF 与CEG的周长之和等于 BCCH

28、BH由 BC10，AB5，AM4，可得 CH8，BH6，所以 BCCHBH24 6 分 理由二：1522由 AB5，AM4，可知AHD在 eq oac(,Rt)BEF 与 eq oac(,Rt)GCE 中，有：FEF 4 3 4 3 BE , BF BE , GE EC , GC CE5 5 5 5，BMx EC所以 eq oac(,，)BEF 的周长是12 12BE ， ECG 的周长是 5 5CEG又 BECE10，因此 BEF 与 CEG 的周长之和是 24 6 分（3）设 BEx，则EF 4 3x, GC (10 x ) 5 5所以1 1 4 3 6 22 y EF DG x (10

29、x ) 5 x 2 x2 2 5 5 25 5 8 分配方得：6 55 121 y ( x ) 2 25 6 6所以，当x 556时，y 有最大值 9 分最大值为1216 10 分【例】如图 二次函数 yax bxc(a0)与坐标轴交于点 A B C 且 OA1 OBOC 3 求此二次函数的解析式写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 M N 在 yaxbxc 的图像上(点 N 在点 M 的右边) 且 MNx 轴 求以 MN 为直径且与 x 轴相切的圆的半径16解析过程及每步分值（1）依题意A( 1，0)，B (3，0)， C (0，3)分别代入y ax2bx c 1 分解方程组得所求解析式为y x

30、 2 2 x 3 4 分（2）y x2 2 x 3 ( x 1)24 5 分顶点坐标(1，4)，对称轴x 1 7 分（3）设圆半径为 r ，当 MN 在 x 轴下方时， N 点坐标为 (1r，r) 8 分把N点代入y x 2 2 x 3得r 1 172 9 分同理可得另一种情形r 1 172圆的半径为1 17 1 17或 10 分2 2【例 3】已知两个关于x的二次函数y1与当x k时，y 172；且二次函数y2的图象的对称轴是直 y ，y a ( x k ) 2 2( k 0)，y y x 2 6 x 12 线 x 1 2 1 1 2（1）求k的值；（2）求函数y ，y12的表达式；（3）在

31、同一直角坐标系内，问函数 y 的图象与 y 的图象是否有交点？请说明理由1 2解析过程及每步分值（1）由y a ( x k ) 122，y y x 1 226 x 12得y ( y y ) y x 2 6 x 12 a ( x k ) 2 2 x 2 6 x 10 a ( x k ) 2 2 1 2 1又因为当x k时，y 172，即k 2 6 k 10 17，解得k 1 ，或 k 7 1 2（舍去），故 k 的值为1 （2）由k 1，得y x22 6 x 10 a ( x 1)2(1a ) x2(2 a 6) x 10 a，17所以函数y2的图象的对称轴为x 2a 62(1a )，于是，有2

32、a 62(1a )1，解得 a 1，所以y x122 x 1， y 2 x224 x 11（3）由y (x 1)2 2 1，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1，2) ；由y 2 x 2 4 x 11 2( x 1)2 9 2，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为 ( 1，9)；故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点【例 4】如图,抛物线y x 2 4 x与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB 所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点.求点 A 的坐标;以点 A、B、O、

33、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接 写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标;（ 3 ）设以点 A 、 B 、 O 、 P 为顶点的四边形的面积为S, 点 P 的横坐标为 x, 当4 6 2 S 6 8 2时,求 x 的取值范围.解析过程及每步分值解：（1）y x2 4 x ( x 2) 24A(-2,-4)18S （2）四边形 ABP O 为菱形时，P (-2,4)1 1四边形 ABOP 为等腰梯形时，P (2 125，)四边形 ABP O 为直角梯形时，P ( 3 14 8 ，5 5)四边形 ABOP 为直角梯形时，P (4 1（3）6 12，5 5)由已知条件可求得

34、 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8, 所以直线 y=-2x当点 P 在第二象限时，x0,19过点 A、P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A、P 则四边形 POAA 的面积SPOAASS 梯形PAA PP O4 2 x 1(x 2) (2x) x4 x 4 2 2eq oac(,AA)eq oac(, )B 的面积SAAB4 2 4S SPOAASAAB4 x 8( x 0)4 6 2 S 6 8 2，S 4 6 2 S 6 8 2即4 x 8 4 6 2 4 x 8 6 8 2x S 2 222 12x 的取值范围是3 2 2 4 2 1x 2 2【例 4】随着绿城南宁近几年城市建

35、设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润 y 与投资量2示（注：利润与投资量的单位：万元）x成二次函数关系，如图所（1）分别求出利润 y 与 y 关于投资量 x 的函数关系式；1 2（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能 获取的最大利润是多少？202 2解析过程及每步分值解：（1）设y1=kx,由图所示，函数y1=kx的图像过（1，2），所以 2=k 1，k 2故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2 x；因为该抛物线的顶点是原点

36、，所以设 y = ax ，由图 12-所示，函数 y = ax 的图像2 2过（2，2），所以2 a 22，a 故利润 y 关于投资量 x 的函数关系式是 2y x2；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0 x 8），则投入种植树木（8 x）万元，他获得的利润是 z万元，根据题意，得z=2(8 x )+1 1 1x 2 = x 2 2 x 16 = 2 2 2( x 2) 2 14当 x 2 时， z 的最小值是 14；因为0 x 8，所以2 x 2 6所以( x 2)236所以( x 2) 2 18所以( x 2)214 18 14 32 ，即 z 32 ，此时 x 8当x 8时， z的最

37、大值是 32.【例 5】如图，已知 A( 4,0) ， B (0, 4) ，现以 A 点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB 向 右侧放大，B 点的对应点为 C求 C 点坐标及直线 BC 的解析式;一抛物线经过 B、C 两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画 出函数图象;现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为3 2的点 P21解析过程及每步分值解:（1）过 C 点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知：ABOACD， AO BO 4 AD CD 9由已知 A( 4,0)， B (0, 4)可知： AO 4

38、, BO 4AD CD 9C 点坐标为 (5,9)直线 BC 的解析是为：y 49 4x 05 0化简得： y x 4（2）设抛物线解析式为y ax 2 bx c ( a 0) 4 c，由题意得： 9 25a 5b c，b24 ac 0222251125c 4223124 1a a 1 4 解得： b 4 b 1 c 4 解得抛物线解析式为y x124 x 4或1 4y x 2 x 425 5又y 21 4x 2 x 4 25 5的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去满足条件的抛物线解析式为y x 2 4 x 4（准确画出函数y x24 x 4图象）（3） 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛

39、物线相交与另一点 P，设 P 到 直线 AB 的距离为 h，故 P 点应在与直线 AB 平行，且相距3 2的上下两条平行直线l1和l2上由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为3 2如图，设l1与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EFBC 于 F 点，在 eq oac(,Rt)BEF 中EF h 3 2 ， EBF ABO 45， BE 6 可以求得直线 l 与 y 轴交点坐标为 (0,10)1同理可求得直线l2与 y 轴交点坐标为 (0, 2)两直线解析式l : y x 10 1；l : y x 2 2y x 2 4 x 4 y x 2 4 x 4根据题意列出

40、方程组： ； y x 10 y x 2 解得： x 6 x 1 x 2 x 3； ； ； y 16 y 9 y 0 y 11 2 3 4满足条件的点 P 有四个，它们分别是P (6,16) ， P ( 1,9) ， P (2,0) ， P (3,1) 1 2 3 4 .23【例 6】如图，抛物线L : y x 122 x 3 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点.抛物线 L 向1右平移 2 个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于 C、D 两点.（1）求抛物线 L 对应的函数表达式；2（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点 N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形

41、.若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是抛物线 L 上的一个动点（P 不与点 A、B 重合），那么点 P 关于原点的对1称点 Q 是否在抛物线 L 上，请说明理由.2解析过程及每步分值24【例 7】如图，在矩形 ABCD 中， AB 9 ， AD 3 3 ，点 P 是边 BC 上的动点（点 P 不与点 B ，点 C 重合），过点 P 作直线 PQ BD ，交 CD 边于 Q 点，再把 PQC 沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为xeq oac(,，)PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为 y 求 CQP 的度数；当 x 取何值时，点 R 落在矩形

42、ABCD 的 AB 边上？ （3）求 y 与 x 之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？DQCDCD CPARBA（备用图 1）BA（备用图 2）B解析过程及每步分值解：（1）如图，四边形 ABCD 是矩形， AB CD，AD BC又AB 9，AD 3 3，C 90， CD 9，BC 3 3BC 3 tan CDB ，CDB 30CD 325PQ BD ，CQP CDB 30（2）如图 1，由轴对称的性质可知，RPQ CPQ，DQCRPQ CPQ ， RP CP P由（1）知CQP 30 ，RPQ CPQ 60，AR（图 1）BRPB 60 ， RP 2 BPCP

43、 x ， PR x ， PB 3 3 x在RPB中，根据题意得：2(3 3 x ) x，解这个方程得：x 2 3（3）当点 R 在矩形 ABCD 的内部或 AB 边上时，0 x 2 3，SCPQ1 1 CP CQ x 3 x 2 232x2，RPQ CPQ ， 当 0 x 2 3 时， y 32x2当 R 在矩形 ABCD 的外部时（如图 2），2 3 x 33，在RtPFB中，RPB 60，DQC PF 2 BP 2(3 3 x ) ，又 RP CP x ， RF RP PF 3 x 6 3 在 Rt ERF 中，EFR PFB 30， ER 3x 6，AE FR（图 2）PB SERF1

44、3 3 ER FR x2 2218 x 18 3，y S RPQS ERF， 当 2 3 x 3 3 时， y 3 x218 x 18 326综上所述，y与x之间的函数解析式是：y 32x 2 (0 x 2 3) 3x 2 18 x 18 3(2 3 x 3 3)矩形面积9 3 3 27 3，当0 x 2 3时，函数y 32x2随自变量的增大而增大，所以y的最大值是6 3，而矩形面积的7 7的值 27 3 7 3 27 27，而7 3 6 3，所以，当0 x 2 3时，y的值不可能是矩形面积的727；当2 3 x 3 3时，根据题意，得： 3x 2 18 x 18 3 7 3，解这个方程，得x

45、 3 3 2，因为3 3 2 3 3，所以所以x 3 3 2x 3 3 2不合题意，舍去 综上所述，当x 3 3 2时， PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的727第四章兴趣练习4.1 代数部分1. 已知：抛物线y ax 2 bx c与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C 其中点 A 在 x轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA 、OC 的长（ OAOC ）是方程x2 5 x 4 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 1求 A、B、C 三点的坐标；求此抛物线的解析式；若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、B 不重合），过点 D 作 DEBC 交

46、 AC于点 E，连结 CD，设 BD 的长为 m eq oac(,，)CDE 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐标；若不存在，请说明理由27yA O D BxEC2. 已知，如图 1，过点E 0，1作平行于 x 轴的直线 l ，抛物线y 14x2上的两点 A、B 的横坐标分别为1 和 4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点 C 、 D ，连接 CF、DF （1）求点A、B、F的坐标；（2）求证：CF DF；（3）点P是抛物线y 14x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作P

47、Q PO交x轴于点 Q ，是否存在点 P 使得 OPQ 与 CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由yyBFAOC E DlxFOC EDx（图 1）备用图283. 已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将POC沿PC翻折得到 PEC ，再在 AB 边上选取适当的点 D，将PAD 沿 PD 翻折，得到 PFD ，使得 直线 PE、PF 重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OAB

48、C的内部，如图，设OP x ，AD y ，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标CyEBCyBFEOFDP A xO PDA x图图294. 如图，已知抛物线y x24 x 3 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C， 抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点 P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由

49、；（3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在点 M，使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请 说明理由DyCA E BOx305. 如图， 已知抛物线 y ax 与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；2bx 3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0），（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P， eq oac(,使)CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE

50、、CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时 E 点的坐标yCyCB MABAOxOx图图31二、动态几何6. 如图，在梯形ABCD中，DC AB，A 90，AD 6 厘米，DC 4厘米，BC的坡度 i 34，动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以 3 厘米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；当 t 为何值时， PC 与 BQ 相互平分；连结 PQ，设PBQ 的面积为 y，探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值

51、时， y 有最大 值？最大值是多少？D CQAPB7. 已知：直线y x 1 与 y 轴交于 A，与 x 轴交于 D，抛物线1y x22bx c与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 在x轴上移动， eq oac(,当)PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使| AM MC |的值最大，求出点 M 的坐标yEAD O B Cx328. 已知：抛物线y ax 2 bx c a0的对称轴为x 1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A 3，0、C0，2求这条抛物线的函数表达式

52、已知在对称轴上存在一点 P，使得PBC的周长最小请求出点 P 的坐标（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）过点 D 作DE PC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由yA O BCx9. 如图 1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4) ；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x 轴、 y 轴上，且AD 2，AB 3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿

53、x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P 也以相同的速度 从点 A 出发向 B 匀速移动设它们运动的时间为 t 秒（0 t 3 ），直线 AB 与该抛物线的交点为 N （如图 2 所示）当t 52时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由yMyMC BCNBPD O(A)图 1E x D O A图 2E x33110. 已知抛物线：1y x222 x（1）求抛物线y1的顶点坐标（2）将抛物线 y 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线 y ，求抛物线1 2y2的解析式（

54、3）如下图，抛物线 y 的顶点为 P， x 轴上有一动点 M，在 y 、 y 这两条抛物线上是2 1 2否存在点 N，使 O（原点）、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在， 求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由【提示：抛物线y ax2bx c （ a 0 ）的对称轴是x b2 a，顶点坐标是b 4ac b ，2 a 4 a2】y54321y1Py211234O 1 2 3 45 6 7 8 9 x3411. 如图，已知抛物线 C ：1y a x225的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1求P点坐标及a的值；（4分）

55、如图（1），抛物线 C 与抛物线 C 关于 x 轴对称，将抛物线 C 向右平移，平移后2 1 2的抛物线记为 C ，C 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C 的解析式；（43 3 3分）（3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 Q 旋转 180后得到抛物1线 C 抛物线 C 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 4 4N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标（5 分）C1yMC1yNABAB QOxOE FxPC2C3PC4图 1图 23512. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩

56、形ABCD的三个顶点B (4，0) 、C (8，0) 、D (8，8) 抛物线y ax2bx过A、C两点（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为t秒过点P作PE AB交AC于点 E 过点 E 作 EF AD 于点 F ，交抛物线于点 G 当 t 为何值时，线段 EG 最长？连接 EQ 在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的t值yA FGDPEQO B C x3613. 如图 1，已知正比例函数和反比例函数

57、的图像都经过点 M（2，- 1），且 P（- 1，2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分 别是 A、B写出正比例函数和反比例函数的关系式；当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使 eq oac(,得)OBQ eq oac(,与)OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值yBA OQxMP图 1yBA OQxMCP图 23714. 如图，矩形 AB

58、CD 中，AB = 6 cm，AD = 3 cm，点 E 在边 DC 上，且 DE = 4 cm动点 P从点 A 开始沿着 ABCE 的路线以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 A 开始沿着 AE 以1cm/s 的速度移动，当点 Q 移动到点 E 时，点 P 停止移动若点 P、Q 从点 A 同时出发，设 点 Q 移动时间为 t（s），P、Q 两点运动路线与线段 PQ 围成的图形面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式D E CQAP B15. 如图，已知二次函数y ( x m )2k m2的图象与 x 轴相交于两个不同的点A( x ，0) 、 B ( x ，0) ，与 y 轴的

59、交点为 1 2C设 ABC的外接圆的圆心为点P（1）求 P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果AB恰好为P的直径，且 ABC的面积等于5，求m和k的值3816. 如图，点A、B坐标分别为（ 4，0）、（0，8 ），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE 2OC设OE tt ( 0)，矩形OEDC与 AOB重合部分的面积为 S 根据上述条件，回答下列问题：y（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；B（2）当t 4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程）CD（4）若 S 12 ，则 t OE A x17. 直线

60、y x 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线OBA运动（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标yBPO Q Ax39PABCAB18. 如图 1， eq oac(,过)ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离 eq oac(,叫)ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线 eq oac