巧用构造法解题

1、巧用构造法解题构造法是运用数学的基本思想原理，经过认真观察，深入思考，构造出问题的数学模型，从而使问题得以解决构造的内涵相当丰富，没有固定的模式可以套用，它以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点，采用相应的解决问题的方法数学中的所谓构造法是通过观察、联想，构造出一种学习者已经认识的某个数学模型，将问题转化成研究该数学模型的特征，由此通向解决问题的目标一般模式如下：用构造法解数学题时，要明确构造的目的，弄清问题的特点，使构造出的数学模型能反映出原问题的本质特征，既能进行理性分析，又能进行计算和逻辑推理，而且所得结果一定是原问题的解题目标下面例谈构造法的应用一、构造函数在求

2、解某些数学问题时，根据问题的条件构想、组合一种新的函数关系，使问题转化，并利用函数的有关性质解决原问题例1、若两个实数a,a，满足a2+a2二1,求证：a+a5.2。121212证明：构造函数f(x)二(xa)2+(xa)2二2x22(a+a)x+1,1212对一切实数x，恒有f(x)0,A0从而4(a+a)280，:a+af2。1212小结函数是数学中的重要内容，函数的性质千变万化，所以若能构造函数，并利用函数的性质来解题，将会给我们的解题带来很大的方便二、构造几何图形如果问题条件中的数量关系有明显或隐含的几何意义与背景，若能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的

3、数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质，而得到问题的解决例2、求函数f(6)二士咚的值域。解：f(6)=5(sin6)，如图1.3(cos6)构造平面直角坐标系XOY,则f(0)表示点P(3,5)与Q(-cos9，-sin9)连线的斜率,令x二-cos0,y=-sin0，则点Q得轨迹是圆，其方程是x2+y2二1,过P作圆的两条切线PT,PT，设KK，则Kf(0)K12PT1PT2PT1PT215-8f(0)y2x2+xy+=253例3、设正数x,y,z满足y2+z2=93x2+xz+z2=16求xy+2yz+3xz的值。y)2+z2=32，3构造满足条件的三角形ABC(如图2)：

4、AB=5，BC=3，CA=4,分析：直接进行代数恒等变形，难看透它们之间的联系，问题解决起来很困难。若将题设条件中的三个等式分别变形为x2+(丄)2-2x2=52，寸3J3x2+z2-2xzcoh20=42，故xy+2yz+3xz=24、；3小结其实，数学中的每个公式就是一个模型，如两点间的距离公式、直线的斜率公式、正余弦定理等只要我们仔细观察合理构建就一定能找到合适的解题途径三、构造向量由于向量的模长、共线、垂直以及向量的数量积，用坐标表示后呈现出来的都是代数形式。用向量的观点研究教材的知识结构体系，可以不断培养我们运用向量解决问题的意识，向量应用是培养创新意识与创新能力的极佳契机。因此，它

5、给将代数问题转化为向量问题提供了方便，使我们可以根据具体的代数式的特征去构造向量来解决代数问题。例4、已矢口a,beR+,a+b=1.求证：J2a+1+p2b+12J2.分析：观察此题的结构，左边是和的形式，右边是常数，对左边的式子稍加变形就能表示出两个向量的坐标，从而能够计算出两个向量的模，再结合数量积和模的关系就构造了一个不等式，从而结论得证.”证明：设m=(1,1),n=(、：2a+1八2b+1),则有mn*2a+1+.j2b+1.由于m=J2,n=J2a+1+2b+1=2,所以J2a+1+2b+122解后反思本例通过构造二维向量利用向量数量积的定义及性质来求最大值，大大降低了本题求最大值的难度在求最值中，巧妙构造适当的向量，会收到直观明快、出奇制胜的效果，同时也体现了向量解决问题的优越性不言而喻，正是在问题按照定向、按照常规难以解决的情况下，我们才改变思维方向，创造解题条件长此以往，这将有利于我们优化思维品质，提高思维能力；深刻理解概念，综合运用知识；发挥主观作用，激发学习兴趣在中学数学课的教学中，引导学生运用构造法解题不仅能提高学生的解题能力，更重要