高中数学一轮复习课件：函数的单调性与最大(小)值

1、函数的单调性与最大(小)值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有_，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1x2时，都有_，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是上升的自左向右

2、看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做yf(x)的单调区间.单调递增单调递减区间D2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有_；(2)x0I，使得_(1)xI，都有_；(2)x0I，使得_结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M常用结论解(1)错误，应对任意的x1x2，都有f(x1)f(x2)成立才可以.(2)错误，反例：f(x)x在1，)上为增函数，但f(x)x的单调区间是(，).(3)错误，此单调区间不能用“”连接，故单调递减区

3、间为(，0)和(0，).D2.下列函数中是增函数的为()B解f(x)的定义域为1，)，f(x)在1，)上单调递增，故f(x)minf(1)9.9解得1a1.5.(易错题)函数yf(x)是定义在2，2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_.1，1)解由x22x30得x1或x3，故f(x)的定义域(，1)(3，)，由函数yx22x3在(，1)上单调递减，故f(x)的单调增区间是(，1).(，1)考点确定函数的单调性(区间) 解ysin x和yx22x3在(0，)上不具备单调性；yln(x1)在(0，)上单增.故选D.1.(2022百校大联考)下列函数中，在区间(0，)上为减函数

4、的是()DA该函数图象如图所示，其单调递减区间是0，1).0，1)设x1x22，因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增.(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.解设1x1x2，因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围是(0，1.1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(2)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf

5、(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.感悟提升考点求函数的最值8解法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.1当02时，h(x)3x是减函数，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析

6、式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.感悟提升根据图象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，).训练1 (1)函数y|x1|x2|的值域为_.3，)作出函数的图象如图所示.f(x)minf(4)4，f(x)maxf(3)6，角度1比较函数值的大小考点函数单调性的应用例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)上单调递减，则()C解f(x)为偶函数且在(0，)上单调递减，利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.

7、感悟提升解因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示.例3 (1)(2020新高考全国卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A.1，13，) B.3，10，1C.1，01，) D.1，01，3角度2解函数不等式D当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1，01，3.解因为函数f(x)

8、ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，(2)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.感悟提升解令t|xa|，yet，t|xa|在(，a上单调递减，在a，)上单调递增.又yet为增函数，f(x)e|xa|在(，a上单调递减，在a，)上单调递增，a1.例4 (1)(2022九江三校联考)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间1，)上是增函数，则实数a的取

9、值范围是_.角度3求参数的取值范围(，1由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.解函数f(x)的图象如图所示，(，14，)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立等价于函数f(x)在(1，)上单调递减，所以bac.Df(x)在定义域(2，)上是减函数，且f(1)3，由f(a2)3，得f(a2)f(1)，即2a21，即0a1.(0，1)解由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增.又22blog2b22blog2b122blog2(2b)，2alog2a22blog2(2b)，即f(a)f(2b)，a2b B.ab2 D.ab2B解原已知条件等