因式分解教案2

1、学习好资料辅欢迎下载案个性化导教授课时间 ：2022 年 11 月 30 日备课时间 ：2022 年 11 月 27 日年级： 初二 科目： 数学 课时： 2 同学姓名：方雪瑜课题：因式分解（二）老师姓名 ：郭孔优教学 1, 进一步把握因式分解的概念,加深对提公因式法和公式法的懂得,目标 2,学会用十字相乘法,分组分解法分解因式重点敏捷运用分组分解法分解因式难点一,上节内容回忆1因式分解1定义把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式2因 式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是相反方向的变形如：教学ababa 2b 2. 即多

2、项式乘以多项式或单项式乘以多项式整式乘法 是“ 积化和” ,而因式分解就是“ 和化积” ,故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性谈重点因式分解的懂得1因式分解专指多项式的恒等变形,等式的左边必需是多项式,右边每个因式必需是整式2因式分解的结果必需要以积的形式表示 ,否就不是因式分解 3因式分解中每个括号内如有同类项要合并,因式分解的结果要求必需将每个因式分解完全内【例 1】 以下各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是容AaxyaxayBy 24y4yy44 C10a 25a5a2a1 Dy 216yy4y4y答案： C 点拨：A 是整式乘法, B、D 等号右边不是整式积的形式,而是和的形式,

3、不是因式分解2公因式1定义 多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因 式2确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时,要对数字系数和字母分别进行考虑,确定学习好资料 欢迎下载公因式时：一看系数,二看字母,三看指数解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法： 1对于系数 只考虑正数,取各项系数的最大公约数作为公因式的系数2对于字母, 需考虑两条,一是取各项相同的字母； 二是各相同字母的指数取次数最低次,即取相同字母的最低次幂最终仍要依据情形确定符号【例 2】 把多项式 6a 3b 23a 2b 212a 2b 3 分解因式时,应提取的公因式是 A3a 2b B3ab 2C3a

4、3b 3D3a 2b 2答案： D 点拨： 在多项 式 6a 3b 23a 2b 212a 2b 3 中,这三项系数的最大公约数是 3,各项都含有字母 a,b,字母 a 的最低次幂是 a 2,字母 b 的最低次幂是 b 2,所以各项的公因式是 3a 2b 2,应选 D. 3提公因式法1定义一般地, 假如多项式的各项有公因式, 可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一 因式法个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公2提公因式的步骤 确定应提取的公因式；用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式；把多项式写成这两个因式的积的形式警误区提公因式要完全1所提的公因式必需是 “ 最大

5、公因式 ” ,即提取公因式后,另一个因式中不能仍有公因式；2假如多项式的首项系数是负数,应先提出 “ ” 号可按以下口诀分解因式： 各项有 “ 公” 先提“ 公” ,首项有 “ 负” 先提“ 负” ,某项提出莫漏 “ 1” ,括号里面分到 “ 底” 【例 3】 用提公因式法分解因式：112x 2y18xy 224x 3y 3；25x 215x5；327a 2b9ab 218ab；42xa2b3y2ba4za2b解： 112x 2y18xy 224x 3y 36xy2x6xy3y6xy4x 2y 26xy2x3y4x 2y 2；25x 215x5 5x 23x1；学习好资料 欢迎下载327a 2

6、b9ab 218ab 9ab 3ab2；42xa2b3y2ba4za2b2xa2b3ya2b4za2b a2b2x3y4z4用平方差公式分解因式1因式分解的平方差公式 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积即a 2b 2abab这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来2平方差公式的特点 左边是二项式, 两项都能写成平方的形式, 且符号相反； 右边是两个数 或 整式的和与这两个数 或整式 的差的积凡是符合平方差公式左边特点的多项 式都可以用这个公式分解因式【例 4】 把以下多项式分解因式：14x 29；216m 29n 2；3a 3bab；4xp2xq2. 解： 14x

7、 292x23 22x32x3；216m 29n 24m 23n 24m3n 4m3n；3a 3bababa 21aba1a1；4xp 2xq2xpxq xpxq 2xpqpq5用完全平方公式分解因式1因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上 或减去 这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和 或差的平方即 a 22abb 2ab 2,a 22abb 2ab 2. 这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来2完全平方公式的特点左边是一个三项式,其中两项同号且均为一个整式的平方 平方项 ,另一项是平方项幂的底数的2 倍乘积项 ,符号可正也可负,右边是两个整式的和或差 的平方,中间的符

8、号同左边的乘积项的符号【例 5】 把以下多项式分解因式：1x 214x49；2mn 26mn9；33ax 26axy3ay 2；4x 24y 24xy. 解： 1x 214x49x 22 7x7 2x7 2；2 mn 26mn 9mn 22mn 33 2mn3 2；学习好资料 欢迎下载33ax 26axy3ay 23ax 22xyy 2 3axy 2；4x 24y 24xy x 24xy4y 2 x 22x2y2y 2 x2y 2. 6因式分解的一般步骤依据多项式的特点敏捷挑选分解因式的方法,其一般步骤可概括为： 一提、二套、三查一提：假如多项式的各项有公因式, 第一考虑提取公因式； 二套：提

9、公因式后或没有公因式可提,就要考虑运用公式法, 即平方差公式或完全平方公式； 三查：因式分解肯定要分解到不能分解为止,要检查每个因式是否仍可以连续分解7运用公式法分解因式易显现的错误在分解因式时, 多项式的项数如是两项, 且含有平方项, 就考虑用平方差公式进行分解因式 如多项式是三项式, 就考虑用完全平方公式 在应用公式法分解因式经常显现的错误是：对公式的结构特点把握不熟, 懂得不透彻, 易显现符号、项数上的错误,二次项、一次项系数搞错,把两个公式混淆等【例 6】 把以下各式分解因式：118x 2y50y 3；2ax 3yaxy 32ax 2y 2. 解： 118x 2y50y 32y9x 2

10、25y 2 2y3x5y3x5y；2ax 3yaxy 32ax 2y 2axyx 2y 22xyaxyxy 2. 【例 7】 以下各式能用完全平方公式分解因式的是 24x 24xyy 2； x 22 5x 1 25； 1aa 4； m 2n 2 44mn； a 22ab4b 2； x 28x9. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析： 不符合完全平方公式的结构特点,不能用完全平方公式分解因式符合完全平方公式的特点, 提取 “ ” 号后也符合完全平方公式的特点,所以 能用完全平方公式分解 中的 y 2前面是 “ ” 号,不能用完全平方公式分解中中间项有 a、b 的积的 2 倍,前后项都是平

11、方式,但中间项不是 “ 首尾积的 2 倍” ,不能用完全平方公式分解也不符合答案： C 学习好资料 欢迎下载例 8,把以下式子分解因式：x2a4y24xy ；2 4 b c25 a b184 a b3281 a b . 3 51（3）22 bc22（4）xy4xy注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点是：有三项,并且这三项是一个完全平方式,有时需对所给的多项式作一些变形,使其符合完全平方公式1. 2 x . 练习：、a6162 a ；a2 22ab2；416x482 x1；x22 14 x x2注： 整体代换思想： a、b比较复杂的单项式或多项式时,先将其作为整体替代公式中字母 . 仍要

12、留意分解到不能分解为止 . 二,十字相乘法【1】二次三项式 多项式ax2bxc,称为字母 x 的二次三项式,其中2 ax 称为二次项, bx 为一次项, c 为常数项例如,x22x3和x25 x6都是关于 x 的二次三项式 在多项式x26学习好资料欢迎下载x 的二次三项式；xy8y2中,假如把 y 看作常数,就是关于假如把 x 看作常数,就是关于y 的二次三项式2 ab27ab3,就 在多项式2 a2 b27ab3中,把 ab 看作一个整体,即是关于 ab 的二次三项式 多项式xy27 xy12,把 xy 看作一个整体,就是关于xy 的二次三项式十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法【2

13、】十字相乘法的依据和详细内容 利用十字相乘法分解因式, 实质上是逆用 axb cxd 竖式乘法法就 它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1 的二次三项式x2pxq,假如能把常数项q 分解成两个因数 a,b 的积,并且 ab 为一次项系数 p,那么它就可以运用公式x2abxabxaxb分解因式 这种方法的特点是“ 拆常数项,凑一次项” 公式中的 x 可以表示单项式,也可以表示多项式, 当常数项为正数时, 把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时, 把它分解为两个异号因数的积,其中肯定值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同（2）对于二次项系数不是1 的二次

14、三项式ax2bxc a,b,c 都是整数且 aa 1a 2a 0 来说,假如存在四个整数a 1,a 2,c 1,c 2,使,c 1c 2c,且a 1 c 2a 2c 1b那么：c 1a 2xc2ax2bxca 1 a2x2a 1 c2a 2c 1xc 1c2a 1x 它的特点是“ 拆两头,凑中间” ,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是 1 的情形复杂, 因此,一般要借助“ 画十字交叉线”的方法来确定 学习时要留意符号的规律为了削减尝试次数,使符号问题简洁化,当 二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项；常数项为正数时,应分解为两同号因数, 它们的符号与一次

15、项系数的符号相同；常数项为负数时, 应将它分解为两异号因数, 使十字连线上两数之积肯定值较学习好资料 欢迎下载大的一组与一次项系数的符号相同 用十字相乘法分解因式, 仍要留意防止以下两种错误显现：一是没有仔细地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；漏写字母如：5x26xy8y2x2 5x4 【3】因式分解一般要遵循的步骤二是由十字相乘写出的因式 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公 式或十字相乘法, 最终考虑分组分解法 对于一个仍能连续分解的多项式因式 仍旧用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下：“ 第一提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要

16、合适,四种方法反复试,结果 应是乘积式” 四、归纳总结巩固新知1、学问点的归纳总结：x2ab xabxaxb2、运用新知解决问题： （重点例习题的强化训练）例 9把以下各式分解因式：5xy6y2（1）x22x15；（2）x2点悟：（1）常数项 15 可分为 3 5 ,且 3 5 2 恰为一次项系数；（ 2）将 y 看作常数,转化为关于x 的二次三项式,常数项6y2解：（1）x22x15x3 x5 ；3y（2）x25xy6y2x2yx例 10, 把以下各式分解因式：（1）2x25x3；（2）3x28x3ax 1c 1ax 2c 2的形式,这里点悟： 我们要把多项式ax2bxc分解成形如a 1 a

17、 2a,c 1c 2c而a 1 c2a 2c 1b解：（1）2x25x32x1 x3；（2）3x28x33x1x3学习好资料 欢迎下载点拨：二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次, 这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积存体会,才能提高速度和精确性例 11 ,把以下各式分解因式：（1）x 4 10 x 2 9；（2）7 x y 3 5 x y 2 2 x y ；（3） a 2 8 a 2 22 a 2 8 a 120点悟：（1）把 x 看作一整体,从而转化为关于 x 的二次三项式；（2）提取公因式 xy 后,原式

18、可转化为关于 xy 的二次三项式；（3）以a2x8 a为整体,化为关于2a28a的二次三项式10 x29x21 x解：（1）49 x1 x1 x3 x3 （2）7xxy325 xxy22 xyxyy2y75 xy xy 17 xy 2 xy xy17 x7y2 （3）a28 a222a28 a120a28 a8a12a210a2a6 a28 a10 点拨： 要深刻懂得换元的思想,这可以帮忙我们准时、精确地发觉多项式中到底把哪一个看成整体, 才能构成二次三项式, 以顺当地进行分解 同时要留意已分解的两个因式是否能连续分解,课堂练习： 将多项式分解因式如能分解,要分解到不能再分解为止x27x6；3

19、x22x1；x25 x6；学习好资料4x25欢迎下载x9；15x223x8；x411 x212三、分组分解法分组分解法是针对项数较多的多项式进行因式分解的一种敏捷且有用的方法 2 2 定义：分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如 a b a b 没有公 因式,又不能直接利用分式法分解, 但是假如将前两项和后两项分别结合,把 原多项式分成两组；再提公因式,即可达到分解因式的目的；例如：a2b2ab =a2b2abab abababab1,这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法 . 原就： 用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能显现公因式或可 运用公式 . 例 12,分解因式：（1）4x

20、224xyyy22z2；y3（2）a3a2b2a2b（3）2x2xy2x分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采纳分组分解法, ；四项式一般采纳“ 二、二” 或“ 三、一” 分组,五项式一般采纳“ 三、二” 分 组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法连续分解；答案：（1）2x学习好资料yz欢迎下载yz2x（三、一分组后再用平方差）（2）a2ba1a1（三、二分组后再提取公因式）3xy1（三、二、一分组后再用十字相乘法）（3）xyx24xy4y2x2y6. 练习： 分解因式： 运用分解因式解决动手操作题 动手操作题是让同学在实际操作的基础上设计有关的问题这类题对同学 们的才能有

21、更高的要求,有利于培育同学乐于动手、勤于摸索的意识和习惯,有利于培育同学的创新才能和实践才能这类题目主要考查动手操作才能,它包括裁剪、折叠、拼图等不仅考查 动手才能,仍考查想象才能,往往与面积、对称性质联系在一起此类题目就 是通过拼图,用不同的式子表示图形面积,以达到把多项式分解因式的目的【例 8】 如某同学剪出如干个长方形和正方形卡片,如图 1所示,请运 用拼图的 方法,选取图中相应的种类和肯定数量的卡片拼成一个大长方形,使它的面积等于 a 24ab3b 2,并依据你拼成的图形的面积, 把此多项式分解 因式图1 图2 解：由于拼成一个面积等于a 24ab3b 2 的大长方形,就要用一个边长为

22、a的正方形、 3 个边长为 b 的正方形和 4 个边长分别为 a,b 的长方形,可以拼成如图 2所示的图形, 由此知长方形的边长分别为ab和a 3b由面积可学习好资料 欢迎下载知 a 24ab3b 2aba3b强化训练一、填空：1、如x22m3 x16是完全平方式,就 m的值等于 _；2、x2xmxn2就 m=_n=_ 3、2x3y2与12x6y的公因式是4、如xmyn=xy2xy2x2y4,就 m=_,n=_；5、在多项式m2n2,a2b2,x44y2,4s29t4中,可以用平方差公式分解因式的有_ ,其结果是 _；6、如x22m3x16是平方差形式,就m=_；7、x2_x2x2x_8、x2

23、6x_x3 2,x2_9x3 29、如9x2ky2是完全平方式,就k=_；10、如x2ax15x1 x15 就 a=_；二、分解因式：1 、x42x335x2 2 、3x63x23 、25x2y2学习好资料欢迎下载x24xy14y242yx24、5、x5x 6、9x436y27、ax2bx2bxaxba 8、x418x2819、x1 x2 x3 x424三、运算：（ 1 ）0.753.6632 .662（ 2）412022120222224422856562（3）2学习好资料 欢迎下载小结 解因式分解题时,第一考虑是否有公因式,假如有,先提公因式；假如没有公因式是两项, 就考虑能否用平方差公式分解因式 . 是三项式考虑用完全平方式,最终,直到每一个因式都不能再分解为止 .一、挑选题复 习 及 作 业1. 假如x2pxqxa xb,那么 p 等于 AabB