圆的方程 教案-00002

1、第 PAGE17 页适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点圆的标准方程，圆的一般方程，与圆有关的轨迹方程.教学目标了解确定一个圆的几何要素（圆心、半径、不在同一直线的三个点等）；掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，并能够进行相互转化.教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特征的理解与掌握.圆的一般方程的代数特征及用待定系数法求圆的方程.教学难点会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.圆的一般方程的应用,用待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.【教学建议】通过上一节以

2、及这一节的学习初步建立学生平面解析几何的思维以及解题思想：运动代数的方法解决几何问题.【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。右图是一个公园内的摩天轮该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角

3、坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示： eq r(x2y2)eq f(153,2).问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示：设计意图：从生活中常见事物出发研究数学问题，从而调动学生积极性；通过设置启发式问题逐步把学生导如新课的讲解.二、知识讲解考点1 圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半

4、径为r的圆注：1由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点2几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上x2(yb)2r2(r0)圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2(a0)圆心在y轴上且过原点x2(yb)2b2(b0)与x轴相切(xa)2(yb)2b2(b0)与y轴相切(xa)2(yb)2a2(a0)【教学建议】可视学生掌握情况逐步渗透.考点2 点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(

5、yb)2r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MCr点M在圆C上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内MCr点M在圆C外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2考点3 圆的一般方程1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为eq f(1,2) eq r(D2E24F).注：1圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2，y2的系数相等且不为0；(

6、2)没有xy项2对方程x2y2DxEyF0的说明：方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0表示以为圆心，以eq f(1,2)eq r(D2E24F)为半径的圆【教学建议】可视学生掌握情况逐步渗透.三 、例题精析类型一 求圆的标准方程例题1(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq r(5)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为eq f(4r(5),5)，则圆C的方程为_(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_【解析】(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a0)，由题意知eq f(|2a|,r(5)eq f(4r(5),5)，解得a2，则圆C的半径为r|CM|eq

7、r(22r(5)2)3.圆的标准方程为(x2)2y29.(2)圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.【总结与反思】 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等例题2【教学建议】本题解法不唯一，建议都给学生详细讲解求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程【解析】方法一(待定系数法)设圆的标

8、准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b3，,r5.)圆的标准方程是(x4)2(y3)225.方法二(直接法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由eq blcrc (avs4alco1(2x3y10，,xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y3，)即圆心坐标为(4，3)，半径为.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.【总结与反思】待定系数法求圆的标准方程的一般步骤类型二 点与圆的位置关系例题1(1)点P(m2，5)与圆x2y224的位置关系是()A点P在圆内B点P在圆外C点P在圆上D

9、不确定(2)已知点M(5eq r(a)1，eq r(a)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_【解析】A(1)由(m2)252m42524，得点P在圆外(2)由题意知即eq blcrc (avs4alco1(a0，,26a26，)解得0a0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解例题2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)(1)求ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值【解析】(1)设ABC外接圆的方程

10、为x2y2DxEyF0，由题意，得eq blcrc (avs4alco1(22222D2EF0，,52325D3EF0，,32123DEF0，)解得eq blcrc (avs4alco1(D8，,E2，,F12.)即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或6.【教学建议】本题可以视学生掌握情况进行拓展若本例中将点“C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？【解析】kABeq f(32,52

11、)eq f(1,3)，AB的中点坐标为(eq f(7,2)，eq f(5,2)，AB的垂直平分线方程为yeq f(5,2)3(xeq f(7,2)联立得eq blcrc (avs4alco1(xf(13,2)，,yf(13,2)，)即圆心C的坐标为(eq f(13,2)，eq f(13,2)，圆C的方程为(xeq f(13,2)2(yeq f(13,2)2eq f(185,2).【总结与反思】应用待定系数法求圆的方程时应注意：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一

12、般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 类型四 与圆有关的轨迹方程例题1已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点A(3，5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程【解析】设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心坐标为C(3,3)因为CMAM，所以kCMkAM1，即eq f(y3,x3)eq f(y5,x3)1，即x2(y1)225.所以弦PQ的中点M的轨迹方程为x2(y1)225(已知圆内的部分)【总结与反思】求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明(2)定义法：当动点的

13、运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程【教学建议】在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点 类型五 与圆有关的最值问题例题1已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求eq f(y,x)的最大值和最小值【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以eq r(3)为半径的圆，设eq f(y,x)k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq f(|2k0|,r(k21)eq r(

14、3)，解得keq r(3).故eq f(y,x)的最大值为eq r(3)，最小值为eq r(3).【教学建议】本题可以视学生掌握情况进行拓展1若本例条件不变，求yx的最大值和最小值【解析】设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，即b2eq r(6).故yx的最大值为2eq r(6)，最小值为2eq r(6).2若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值【解析】x2y2表示圆上的点与原点距离的平方由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2

15、eq r(3)274eq r(3)，(x2y2)min(2eq r(3)274eq r(3).【总结与反思】与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如ueq f(yb,xa)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yeq f(a,b)xeq f(l,b)截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题四 、课堂运用基础1.以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210B(x1)2(y2)2100

16、C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)2252.已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部，则a的取值范围是_3.已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq r(3)，求圆的方程4.已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程5.已知x和y满足(x1)2y2eq f(1,4)，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值答案与解析1.【答案】D【解析】AB为直径，AB的中点(1,2)为圆心，eq f(1,2)|AB|5为半径，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.2. 【答案】(，1)(1，)【解析】由题意知，(1a

17、)2(1a)24，2a220，即a1.3. 【答案】(x1)2y213或(x5)2(y4)237.【解析】方法一(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得eq blcrc (avs4alco1(4D2EF200， ,D3EF100. )令x0，得y2EyF0， 由已知得|y1y2|4eq r(3)，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得eq blcrc (avs4alco1(D2，,E0，,F12)或eq blcrc (avs4alco1(D10，,E8，,F4.)故圆的方程为x2y22x120或

18、x2y210 x8y40.方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径长由已知得圆C截y轴所得的线段长为4eq r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a2(eq f(4r(3),2)2，代入整理得a26a50，解得a11，a25，r1eq r(13)，r2eq r(37).故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.4. 【答案】x2y24x3yeq f(21,4)0.【解析】设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则eq blcrc (avs4alco1(xf(x0,2)，,yf(y0,2)，

19、)eq blcrc (avs4alco1(x02x，,y02y.)点P(x0，y0)在圆C：x2y28x6y210上，xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)8x06y0210，(2x)2(2y)28(2x)6(2y)210，即点M的轨迹方程为x2y24x3yeq f(21,4)0.5.【答案】(1)eq f(9,4)和eq f(1,4).(2)最大值为eq f(r(2),2)1，最小值为eq f(r(2),2)1.【解析】(1)由题意知，x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值原点(0,0)到圆心(

20、1,0)的距离为d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1eq f(1,2)eq f(3,2)，最小距离为1eq f(1,2)eq f(1,2)，因此x2y2的最大值和最小值分别为eq f(9,4)和eq f(1,4).(2)令xyz并将其变形为yxz，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有eq f(|1z|,r(2)eq f(1,2)，解得zeq f(r(2),2)1，因此xy的最大值为eq f(r(2),2)1，最小值为eq f(r(2),2)1.巩固1.已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直

21、线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)212. 经过三点(2，1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为_3.已知实数x，y满足方程x2y24x10.求：(1)eq f(y,x)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值答案与解析1.【答案】B【解析】圆C1的圆心坐标为(1,1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得eq blcrc (avs4alco1(f(a1,2)f(b1,2)10，,f(b1,a1)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2

22、，,b2，)所以圆C2的圆心坐标为(2，2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x2)2(y2)21.2.【答案】x2y24x8y50.【解析】设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则eq blcrc (avs4alco1(22122DEF0，,52025D0F0，,62126DEF0，)解得eq blcrc (avs4alco1(D4，,E8，,F5，)故所求圆的一般方程为x2y24x8y50.【答案】(1)kmaxeq r(3)，kmineq r(3).(2)(yx)min2eq r(6).(3)(x2y2)max|OC|2(2eq r(3)274eq r(3)，(x2y2)min|

23、OB|2(2eq r(3)274eq r(3).【解析】(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以eq r(3)为半径的圆设eq f(y,x)k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值由eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得k23，kmaxeq r(3)，kmineq r(3).(2)设yxb，则yxb，当且仅当直线yxb与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，即b2eq r(6)，故(yx)min2eq r(6).(3)x2y2是

24、圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max|OC|2(2eq r(3)274eq r(3)，(x2y2)min|OB|2(2eq r(3)274eq r(3).拔高1.已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D42.已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_3.已知ABC的三个顶点为A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径答案与解析1.【答案】B【解析】根据题意，

25、画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|eq f(1,2)|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|eq r(3242)5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.2.【答案】(2，4)5【解析】由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆.3.【答案】外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.(x1)2(y1)225.【解析】

26、法一：设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，eq blcrc (avs4alco1(116D4EF0，,492D3EF0，,16254D5EF0，)eq blcrc (avs4alco1(D2，,E2，,F23，)ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二：kABeq f(43,12)eq f(1,3)，kACeq f(45,14)3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形，外心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，req f(1,2)|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)22

27、5.五 、课堂小结1判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.2求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心(3)圆心与切点的连线长是半径长(4)圆心与切点的连线必与切线垂直3判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆此

28、时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数4待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.5求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)(2)列出点M满足条件的集合(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0.(4)将上述方程化简(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点六 、课后作业基础1.已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)25

29、2D(x2)2(y3)2522.点(5a1,12a)在圆(x1)2y21的内部，则实数a的取值范围是()A|a|1 Baeq f(1,3)C|a|eq f(1,5) D|a|eq f(1,13)3.圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为()A2 B.eq f(r(2),2) C1 D.eq r(2)4.已知圆C：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则a_.答案与解析1.【答案】B【解析】如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为.故所求圆的标准方程为(x2)2(y3)213.2.【答案】D【解析】依题意有(5a)2144a21，所以1

30、69a21，所以a2eq f(1,169)，即|a|eq f(1,13)，故选D.3.【答案】D【解析】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线xy1的距离为deq f(|121|,r(2)eq r(2).4.【答案】2【解析】由题意知，直线l：xy20过圆心(1，eq f(a,2)，则1eq f(a,2)20，得a2.巩固1. 若圆心在x轴上，半径为eq r(5)的圆C位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆C的标准方程为()A(xeq r(5)2y25B(xeq r(5)2y25C(x5)2y25D(x5)2y252. 设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ

31、|的最小值为()A6 B4 C3 D23.已知三点A(1,0)，B(0，eq r(3)，C(2，eq r(3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.eq f(5,3) B.eq f(r(21),3) C.eq f(2r(5),3) D.eq f(4,3)4.已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称图形，则ab的取值范围是_答案与解析1.【答案】D【解析】设圆心坐标为(a,0)，由题意知eq f(|a|,r(5)eq r(5)，|a|5.圆C位于y轴左侧，a5，2.【答案】B【解析】如图，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6.又圆的半径为2，故所求最短距离为

32、624.3.【答案】B【解析】设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得eq blcrc (avs4alco1(1DF0，,3r(3)EF0，,432Dr(3)EF0，)解得D2，Eeq f(4r(3),3)，F1.即ABC外接圆的方程为x2y22xeq f(4r(3),3)y10.圆心坐标为(1，eq f(2r(3),3)，圆心到原点的距离为 eq r(12f(2r(3),3)2)eq f(r(21),3).4.【答案】(，1)【解析】由题意知，直线y2xb过圆心，而圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，得b4，所以圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25a，所以a5，由此得ab1.拔高 1. 若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A(，2) B(，1)C(1，) D(2，)2.设P(x，y)是圆C：(x2)2y21上任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6 B25C26 D363.已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求eq f(n3,m2)的最大值和最小值4.已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)表示的图