立体几何综合复习课程 教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点1.空间图形（柱、锥、台、球）等表面积与体积的计算公式；2.空间中点、直线、平面之间的位置关系；3.用线、平面平行、垂直的判定和性质、线线角、线面角、二面角以及三垂线定理、逆定理；教学目标能对不规则立体图形求体积求表面积。2.掌握立体几何的基本证明方法，理解线、平面平行、垂直的判定和性质、线线角、线面角、二面角教学重点1.立体几何表面积及体积的计算2.立体几何的基本证明教学难点1.立体几何的证明2.线面夹角，二面角的求解【教学建议】1.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，熟背面积公式，体积公式. 2.了解基本几何体与其三视图、

2、展开图（球除外）之间的关系3.熟背判定定理和性质定理4.熟记求二面角的方法【知识导图】教学过程一、导入我们都知道一棵大树它的枝干是组成大树必不可少的条件，但是要使一棵大树能够茁壮成长，根基也是相当重要的。数学学科的学习也是如此，我们有了一定的知识积累，但是更重要的是能够进行运用。在学习的前面立体几何的四讲之后，我们有了“大树的枝干”那么接下来这节课，我们将合理运用大树的“根基”让立体几何这棵大树茁壮的成长起来。复习1、空间几何体的结构，直观图和三视图2、空间几何体的表面积和体积3、空间点直线平面的关系，直线平面平行判定和性质4、直线平面垂直判定和性质考点1 空间几何体的结构，直观图和三视图二、

3、知识讲解1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体.分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱.几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形.（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体.分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥.几何

4、特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台.几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体.几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形.（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.

5、几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形.（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分.几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形.（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧

6、视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.3、空.间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半.考点2 空间几何体的表面积和体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=考点3空间点直线平面的关系，直线平面平行判定和性质考点2 单调区间的定义点与平面的关系点A在平面内，记作；点不在平面内，记作点与直线的关系：点A的直线l上，记作：Al

7、； 点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系：直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作l.（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面.公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号：平面和相交，交线

8、是a，记作a.符号语言：公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线. 异面直线性质：既不平行，又不相交. 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，

9、90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.（7）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示：a aA a（8）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行考点4直线平面垂直判定和性质（1）线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，

10、那么这两条直线平行.（2）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为.两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角.两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.（3）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为. 平面的垂线与平面所成的角：规定为.平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射

11、影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线.（4）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

12、.三 、例题精析类型一 空间几何体的结构，直观图和三视图例题11. 若一个几何体的三视图如图所示 a 3 a a 3 a 3（1）求侧视图的面积； （2）求几何体的表面积【解析】 (1)S=1223=3(2)S表=23+18【总结与反思】空间几何体的三视图是高考数学中的一个必考点，考生在做此类题时首先要能够将所给的三视图进行还原原立体图形，此外必须熟记立体几何图形的表面积体积求解公式.例题2某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A B C D:.【答案】A【解析】由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体，再由俯视图能够判定该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置所以表面积由底面半圆，侧面的一半

13、，和轴截面的面积组成由俯视图可得底面半圆半径，所以底面半圆面积，几何体的侧面为圆锥侧面的一半，由正视图可得圆锥的母线，所以侧面面积，轴截面为三角形，底为2（侧视图），高为2（正视图）所以可得面积，所以该几何体的表面积为.例题3一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.eq f(1,2)eq f(r(2),2) B1eq f(r(2),2)C1eq r(2) D2eq r(2)【答案】D【解析】设直观图为OABC，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中OCOA，且OC2，BC1，OA12eq f(r(2

14、),2)1eq r(2)，故其面积为eq f(1,2)(11eq r(2)22eq r(2).【总结与反思】1.解决有关“斜二测画法”问题时,一般在原图形中建立直角坐标系,尽量取原图形中互相垂直的线段所在直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的两个关系:(1)S直观图=24S原图形.(2)S原图形=22S直观图.例题4一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)，如图所示，则该几何体的侧面积为 cm2:【解析】通过三视图可判断出该几何体为正四棱锥，所以只需计算出一个侧面三角形的面积，乘4即为侧面积通过

15、三视图可得侧面三角形的底为8（由俯视图可得），高为5（左侧面的高即为正视图中三角形左腰的长度），所以面积为cm2，所以侧面积为cm2例题5已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥，该几何体的体积为故选：B【总结与反思】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.类型2： 空间直线平面的关系例题1例

16、题1如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点.（1）证明：（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即又，即故四边形为平行四边形，于是因为所以（2）因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA,取BC的中点E,连接AE，由AB=AC=3得AEBC,AE=5，由AM/BC得M到BC的距离为5，故SBCM=1245,所以四面体N-BCM的体积为VN-BCM=13SBCMPA2=453 例题1例题2如图，在直角梯形ABCP中，CP/AB, CPCB,AB=BC=12CP=2,D是CP的中点，将PAD沿AD折起

17、，使得PD平面ABCD.（）求证：平面PAD平面 ；（）若是的中点,求三棱锥A-PEB的体积.【解析】（）证明：底面，又由于CP/AB, ， ，为正方形， 又，故平面，因为平面，所以平面平面 （）解： AD/BC，又平面， 平面，所以AD/平面，点到平面的距离即为点到平面的距离又， 是的中点， 由（）知平面，所以有.由题意得AD/BC，故于是，由，可得平面， 又平面， ，AD/BC ， ，例题1例题3如图，己知中，且 （1）求证：不论为何值，总有 （2）若求三棱锥的体积【解析】(1）证明：因为AB平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD = 900，所以，BCCD，又ABBCB， 所以，

18、CD平面ABC， 又在ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且 所以，不论为何值，EF/CD,总有EF平面ABC解：在BCD中，BCD = 900，BCCD1，所以，BD,又AB平面BCD，所以，ABBD，又在RtABD中，AB=BDtan 由（1）知EF平面ABE，所以，三棱锥ABCD的体积是 【总结与反思】在解决线面垂直的证明题时，往往是线面垂直的性质和判定的一个混合应用过程.例题4如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(1)求证：DM平面APC；(2)求证： BC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积【解

19、析】(1)由已知得，MD是ABP的中位线，所以MDAP.因为MD平面APC，AP平面APC，所以MD平面APC. (2)因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB所以APPB. 又因为APPC，且PBPCP，所以AP平面PBC因为BC平面PBC，所以APBC.又因为BCAC，且ACAPA，所以BC平面APC(3)因为MD平面PBC，所以MD是三棱锥MDBC的高，且MD5，又在直角三角形PCB中，由PB10，BC4，可得PC2于是SBCDEQ * jc0 * hps21 o(sup 9(1),2)SBCP2，(12分)所以VDBCMVMDBC10【总结与反思】垂直、平行关系证明中应用转化

20、与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直类型3：空间角例题1设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD=2（1）AC与平面BCD所成角的大小（2）二面角A-BC-D的正切值（3）异面直线和的角【解析】（1）如图，RtBCD中，BC=1，CD=2BD=1+2=3 O是RtBCD斜边中点，OB=OC=OD=32，A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AO平面BC

21、D，AC与平面BCD所成角为ACO，cosACO=COAC=32ACO=30，AC与平面BCD所成角的大小为30（2）由（1）得AO=12，AB=AC=1=BC，ABC是正三角形取BC中点E，则AEBC，DEBC，AE=32，OE=12，DC=22则AEO是二面角A-BC-D的平面角，tanAEO=AOEO=22二面角A-BC-D的正切值为22(3)取AC的中点，连接EF,OE,OF,因为E,F分别为中点，所以AB与CD所成的角即为EF与EO所成的角即OEF，所以在EFO中，EF=12AB=12, EO=12CD=22, OF=12AC=12,所以EFO为等腰直角三角形，所以OEF=45。例题

22、2如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，面面，点为棱的中点.（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；（2）当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角. 【解析】：（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以，平面.（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且面面，面面，所以面，设，取DC的中点M，过M作FC的垂线MN，交FC于N，连接MN，所以BNM即为B-FC-D的二面角.在直角 BMN中，BM=3,MN=aa2+4由二面角的余弦值cos=14得tan=15

23、, 所以3aa2+4 =15，所以，由于面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角a，易知在中，从而，所以直线与平面所成的角为.例题3如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1eq r(3)，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以eq o(AE,sup17()，eq o(AD,sup17()，eq o(AA1,sup17()为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABA

24、D2，AA1eq r(3)，BAD120，则A(0,0,0)，B(eq r(3)，1,0)，D(0,2，0)，E(eq r(3)，0,0)，A1(0，0，eq r(3)，C1(eq r(3)，1，eq r(3)(1) eq o(A1B,sup17()(eq r(3)，1，eq r(3)，eq o(AC1,sup17()(eq r(3)，1，eq r(3)则coseq o(A1B,sup17()，eq o(AC1,sup17()eq f(eq o(A1B,sup17()eq o(AC1,sup17(),|eq o(A1B,sup17()|eq o(AC1,sup17()|)eq f(313,r(

25、7)r(7)eq f(1,7).因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为eq f(1,7).(2)可知平面A1DA的一个法向量为eq o(AE,sup17()(eq r(3)，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又eq o(A1B,sup17()(eq r(3)，1，eq r(3)，eq o(BD,sup17()(eq r(3)，3,0)，则eq blcrc (avs4alco1(meq o(A1B,sup17()0，,meq o(BD,sup17()0，)即eq blcrc (avs4alco1(r(3)xyr(3)z0，,r(3)x3y0.)不妨取x3，则yeq r(3

26、)，z2，所以m(3，eq r(3)，2)为平面BA1D的一个法向量，从而coseq o(AE,sup17()，meq f(eq o(AE,sup17()m,| eq o(AE,sup17()|m|)eq f(3r(3),r(3)4)eq f(3,4).设二面角BA1DA的大小为，则|cos |eq f(3,4).因为0，所以sin eq r(1cos2)eq f(r(7),4).因此二面角BA1DA的正弦值为eq f(r(7),4).例题4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形且DAB=60，O为AD中点.（）若PA=PD，求证：平面POB平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，且

27、PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角MBOC的大小为60，如存在，求 SKIPIF 1 0 的值，如不存在，说明理由.【解析】 (1)PA=PD O为AD中点 POAD又ABCD为菱形且DAB=60 OBADPOOB=O AD面POB，AD SKIPIF 1 0 面PAD 面POB面PAD (2)面PAD面ABCD且面PAD面ABCD=AD PO面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系 zx yO(0,0,0)、P(0,0, SKIPIF 1 0 )、B(0, SKIPIF 1 0 ,0)、C(-2, SKIPIF 1 0 ,0

28、)设 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 (01) M(-2, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 (1-)平面CBO的法向量为n1=(0,0, SKIPIF 1 0 )设平面MOB的法向量为n2=(x,y,z) SKIPIF 1 0 取n2=( SKIPIF 1 0 ,0, SKIPIF 1 0 )二面角MBOC的大小为60 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 解得= SKIPIF 1 0 存在M点使二面角MBOC等于60，且 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 四 、课堂运用基础1. 一个几何体的三视图如图，则俯视图的面积是_ 2 2 1 2

29、.如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6 cm,OC=2 cm,则原图形是()A.正方形B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形ABCDFE3.如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；（）求四面体的体积.4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点，（）求PB和平面PAD所成的角的大小；（）证明AE平面PCD；（）求二面角A-PD-C的正弦值. 5. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPDeq r

30、(6)，AB4(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值答案与解析1.【答案】2【解析】由三视图得S=22.【答案】C【解析】将直观图还原得OABC,如图, 因为OD=OC=2cm,所以OD=2OD=4cm, 因为CD=OC=2 cm,所以CD=2 cm,所以OC=6(cm),所以OA=OA=6 cm=OC,故原图形为菱形.3.【答案】【解析】()证明：设，取中点，连结，所以， 因为，所以， ABCDFE从而四边形是平行四边形，. 因为平面,平面, 所以平面，即平面 （）解：因为平面平面，,所以平面. 因为,，所以的面积为， 所以四面体

31、的体积. 4. 【答案】（1）45（2）如下（3）144【解析】：（）解：在四棱锥P-ABCD中，因PA底面ABCD，平面ABCD，故PAAB，又ABAD，PAAD=A，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA，故APB=45，所以PB和平面PAD所成的角的大小为45（）证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA底面ABCD，平面ABCD，故CDPA，由条件CDPC，PAAC=A，CD面PAC，又面PAC，AECD，由PA=AB=BC, ABC=60，可得AC=PA，E是PC的中点，AEPC，PCCD=C，综上得AE平面PCD.（）

32、解：过点E作EMPD，垂足为M，连结AM，由（）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD，因此AME是二面角A-PD-C的平面角，由已知，可得CAD=30，设AC=a，可得，则，在中，sinAME=，所以二面角A-PD-C的正弦值为1445.【答案】同解析【解析】(1)证明：设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，所以O

33、P平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为底面ABCD是正方形，所以OEAD.以O为原点，以eq o(OD,sup17()，eq o(OE,sup17()，eq o(OP,sup17()为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，eq r(2)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，eq o(BD,sup17()(4，4,0)，eq o(PD,sup17()(2,0，eq r(2)设平面BDP的一个法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(neq o(BD,sup17()0，,neq o(PD,sup17()0，)即eq

34、blcrc (avs4alco1(4x4y0，,2xr(2)z0.)令x1，得y1，zeq r(2).于是n(1,1，eq r(2)又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，peq f(np,|n|p|)eq f(1,2).由题知二面角BPDA为锐角，所以二面角BPDA的大小为60(3)由题意知Meq blc(rc)(avs4alco1(1，2，f(r(2),2)，C(2,4,0)，则eq o(MC,sup17()eq blc(rc)(avs4alco1(3，2，f(r(2),2).设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |cosn，eq o(MC,sup17()|eq f(

35、|neq o(MC,sup17()|,|n|eq o(MC,sup17()|)eq f(2r(6),9).所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为eq f(2r(6),9).巩固1.如图，是一个几何体的三视图，侧视图是一个等边三角形，求a=( )a 2 1 11 B. 3 C.2 D.32.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为.3. 如图，在直角梯形ABCD中，B90，DCAB，BCCDeq f(1,2)AB2，G为线段AB的中点，将ADG沿GD折起，使平面ADG平面BCDG，得到几何体ABC

36、DG.(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF平面ABG；(2)求证：AG平面BCDG；(3)求三棱锥C-ABD的体积.4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，PAB=60（）证明AD平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（）求二面角P-BD-A的正切值5. 如图，四棱锥P ABCD的底面为菱形，ABC60，E是DP的中点若APPBeq r(2)，ABPC2.(1)证明：PB平面ACE；(2)求二面角APCD的余弦值 答案与解析1.【答案】B.由三视图得，a为侧视图上的高线2.【答案】2+22 如图,在直观图

37、中,过点A作AEBC,垂足为E,在RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=.四边形AECD为矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC=+1.由此可还原原图形如图. 图 图在原图形中,AD=1,AB=2,BC=1,且ADBC,ABBC,这块菜地的面积S=12(AD+BC)AB=12（1+1+22）2=2+22.3. 【答案】【解析】(1)证明：依题意，折叠前后CD、BG位置关系不改变，CDBG.E、F分别为线段AC、BD的中点，在ACD中，EFCD，EFBG.又EF平面ABG，BG平面ABG，EF平面ABG.(2)证明：将ADG沿GD折起后，AG、GD位置关系不改变，AGGD，又平面

38、ADG平面BCDG，平面ADG平面BCDGGD，AG平面AGD，AG平面BCDG.(3)解：由已知得BCCDAG2，又由(2)得AG平面BCDG，即点A到平面BCDG的距离AG2，VC-ABDVA-BCDeq f(1,3)SBCDAGeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)22)2eq f(4,3).4.【答案】（）证明：在PAD中，由题设PA=2，PD=22可得PA2+AD2=PD2于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB又PAAB=A，所以AD平面PAB（）由题设，BCAD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB=PA2

39、+AB2-2PAABcosPAB=7由（）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故tanPCB=PBBC=72所以异面直线PC与AD所成的角正切值为72（）过点P做PHAB于H，过点H做HEBD于E，连接PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH又ADAB=A，因而PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE，从而PEH是二面角P-BD-A的平面角由题设可得，PH=PAsin60=3，AH=PAcos60=1，BH=AB-AH=2，BD=AB2+AD2=13HE= ADBDBH=413，于是在RTPHE

40、中，tanPEH=394，所以二面角P-BD-A的正切值为394.5.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF，底面ABCD为菱形，F为BD中点又E是DP中点，EFPB.PB平面ACE，EF平面ACE，PB平面ACE.(2)取AB的中点Q，连接PQ，CQ，底面ABCD为菱形，且ABC60，ABC为正三角形，CQAB.APPBeq r(2)，ABPC2，CQeq r(3)，且PAB为等腰直角三角形，PQAB，PQ1，PQ2CQ2CP2，PQCQ.以Q为坐标原点，QA，QC，QP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0，eq r(3)，0)，P(

41、0,0,1)，D(2，eq r(3)，0)，eq o(AP,sup17()(1,0,1)，eq o(CP,sup17()(0，eq r(3)，1)，eq o(CD,sup17()(2,0,0)设平面APC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则eq blcrc (avs4alco1(n1eq o(AP,sup17()0，,n1eq o(CP,sup17()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1z10，,r(3)y1z10，)令y11，得x1eq r(3)，z1eq r(3)，故n1(eq r(3)，1，eq r(3)设平面DPC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则eq blcrc

42、 (avs4alco1(n2eq o(CD,sup17()0，,n2eq o(CP,sup17()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x20，,r(3)y2z20，)令y21，得z2eq r(3)，故n2(0,1，eq r(3)cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(13,r(7)2)eq f(2r(7),7)，由图知二面角APCD为锐角，二面角APCD的余弦值为eq f(2r(7),7).拔高1. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为()A.5B. 6C.2 2D.32. 如图，在四棱锥中，底面，是以为斜边的等腰直角三角形，是上的点求证：（

43、1）平面；（2）平面平面3.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD/BC,BCD=90, PA=PB，PC=PD,(1)证明平面PAB平面ABCD(2)如果CD=AD+BC,二面角P-BC-A等于60，求二面角P-CD-A的大小4. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，.（）若点是线段的中点，证明：平面；(II)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.答案与解析1.【答案】B【解析】将几何体还原在长方体中,如图.该几何体为三棱锥P-ABC,可得最长棱为长方体的一条体对角线PB=4+1+1=6.2.【答案】同解析【解析】（1），平面，平面，平面（2）底面，底面，由题意可知，且，是等腰

44、直角三角形，即又，平面平面，平面平面3.【答案】 （1）取AB、CD的中点E、F连结PE、EF、PF，由PA=PB、PC=PD得PEAB，PFCDEF为直角梯形的中位线，BCD=90，EFCD又PFEF=FCD平面PEF又PF平面PEF，得CDPE又PEAB且梯形两腰AB、CD必相交PE平面ABCD又由PE平面PAB平面PAB平面ABCD由（1）及二面角的定义知PFE为二面角P-CD-A的平面角作EGBC于G，连PG，由三垂线定理得BCPG，故PGE为二面角P-BC-A的平面角即PGE=60，由已知，得EF12，(AD+BC)12CD,又EG=CF=12CDEF=EG，RtPEFRtPEG（1

45、1分）PEF=PGE=60，故二面角P-CD-A的大小为604.【答案】同解析【解析】（1）连接，.四边形为菱形，且，为等边三角形.为的中点，.，又是的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面.又平面，.由，平面.（2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.，.设平面，平面的法向量分别为，.由.解得.取，.又由解得.取，.平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.五 、课堂小结本节讲了3个重要内容：三视图与表面积及体积2直线与平面的位置关系3. 空间角（1）几何法（2）向量法六 、课后作业基础1.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部

46、分后,剩余几何体的三视图如图所示,则截去的几何体是()A.三棱锥B.三棱柱 C.四棱锥D.四棱柱2如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.（）证明：平面；（）若，求三棱锥的体积3.在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的余弦值.4.如下图,四梭锥中,底面, ,为线段上一点，,为的中点.(I)证明:平面；()求直线与平面所成角的正弦值.答案与解析【答案】B【解析】由三视图还原几何体可知,截去的几何体是三棱柱.2. （）证明：如图，连接，连接，四棱锥的底面为菱形，为中点，又是中点，在中，是中位线，又平面，而平面，平面 （）解：如图，取的中点，连接，为菱形，且，为正三角形，且为等

47、腰直角三角形，即，且，又，平面,VC-PAE =VE-ACP= 12VD-ACP= 12VP-ACD = 121312231=36 .3.【答案】13【解析】取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：设四面体的棱长为2，则AE=BE=3，且AECD，BECD，则AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角在ABE中，cosAEB=AE2+BE2-AB22AEBE=13故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是13故答案为：13.4.【答案】同解析【解析】()由己知得,取的中点,连接由为中点知又故,四边形为平行四边形，于是.因为平面,平面，所以平面.（）取的中点,连结,

48、由得,从而,且以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知，,.设 为平面的法向量，则，即，可取故直线 与平面所成角的正弦值为.巩固1. 在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.如果小正方形网格的边长为1,那么该四面体最长棱的棱长为()A.4B.6C.4D.22.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，.（）证明：平面平面；（）若是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积.3在棱长为1的正方体AC1中，（1）求二面角A-B1D1-C的余弦值（2）求平面C1BD与地面 ABCD所成二面角的正切值4.如图，已知四棱锥S ABCD的底面为菱形，SA平面ABCD，ADC60，

49、 E，F分别是SC，BC的中点(1)证明：SDAF；(2)若AB2，SA4，求二面角FAEC的平面角的余弦值答案与解析1.【答案】B【解析】B将该四面体还原在正方体中,为三棱锥P-ABC,如图所示,最长棱为PA=6. 2.【答案】同解析【解析】（）平面底面，平面底面，平面又平面平面平面 （）如图，设的中点为，连接，平面底面，平面底面底面是面积为的等边三角形 是的中点，四边形为矩形，故是等腰直角三角形，故 在直角三角形中有直角梯形的面积为 3.【答案】16；22【解析】（1）取D1B1的中点O1,连接AO1,CO1由定义法知AO1C为面A-B1D1-C的二面角，有余弦定理有COSAO1C=16（

50、2）取DB的中点O,由三垂线定理得，C1OC为平面C1BD与地面 ABCD所成二面角，所以tanC1OC=224.【答案】同解析【解析】 (1)证明：由四边形ABCD为菱形，ADC60，可得ABC为正三角形，因为F为BC的中点，所以AFBC，又BCAD，所以AFAD.因为SA平面ABCD，AF平面ABCD，所以SAAF.又SA平面SAD，AD平面SAD，且SAADA，所以AF平面SAD，又SD平面SAD，所以AFSD.(2)由(1)知AF，AD，AS两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(eq r(3)，1,0)，C(eq r(3)，1,0)，D(0,2

51、,0)，S(0,0,4)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，F(eq r(3)，0,0)，所以eq o(AE,sup17()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，eq o(AF,sup17()(eq r(3)，0,0)设平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(meq o(AE,sup17()0，,meq o(AF,sup17()0，)因此eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)xf(1,2)y2z0，,r(3)x0，)取z1，则m(0,4，1)连接BD，则BDAC，又BDSA，SAACA，所以BD平面AEC，故eq o(BD,sup17()为平面AEC的一个法向量，易得eq o(BD,sup17()(eq r(3)，3,0)所以cosm，eq o(BD,sup17()eq f(meq o(BD,sup17(),|m|eq o(BD,sup17()|)eq f(43,r(17)r(12)eq f(2r(51),17)，由于二面角FAEC的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的余弦值为eq f(2r(51),17)